学年苏科版七年级数学下册第七章平面图形的认识二 压轴培优三.docx
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学年苏科版七年级数学下册第七章平面图形的认识二压轴培优三
七年级数学下册第七章《平面图形的认识
(二)》
压轴培优(三)
1.如图1,AB∥CD,直线MN分别交AB、CD于点E、F,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,GH⊥EG交MN于H.
(1)求证:
PF∥GH.
(2)如图2,连接PH,K为GH上一动点,∠PHK=∠HPK,PQ平分∠EPK交MN于Q,则∠HPQ的大小是否发生变化?
若不变,求出其值;若改变,请说明理由.
2.如图1,E点在BC上,∠A=∠D,∠ACB+∠BED=180°.
(1)求证:
AB∥CD;
(2)如图2,AB∥CD,BG平分∠ABE,与∠EDF的平分线交于H点,若∠DEB比∠DHB大60°,求∠DEB的度数.
(3)保特
(2)中所求的∠DEB的度数不变,如图3,BM平分∠EBK,DN平分∠CDE,作BP∥DN,则∠PBM的度数是否改变?
若不变,请求值;若改变,请说明理由.
3.如图,CD⊥AB于D,FE⊥AB于E,∠ACD+∠F=180°.
(1)求证:
AC∥FG;
(2)若∠A=45°,∠BCD:
∠ACD=2:
3,求∠BCD的度数.
4.已知:
如图,线段AC和BD相交于点G,连接AB,CD,E是CD上一点,F是DG上一点FE∥CG,且∠1=∠A.
(1)求证:
AB∥DC;
(2)若∠B=30°,∠1=63°,求∠EFG的度数.
5.已知:
点A在射线CE上,∠C=∠D.
(1)如图1,若AC∥BD,求证:
AD∥BC;
(2)如图2,若∠BAC=∠BAD,BD⊥BC,请探究∠DAE与∠C的数量关系,写出你的探究结论,并加以证明;
(3)如图3,在
(2)的条件下,过点D作DF∥BC交射线于点F,当∠DFE=8∠DAE时,求∠BAD的度数.
6.如图,已知点E,F在直线AB上,点G在线段CD上,ED与FG交于点H,∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD.
(1)求证:
AB∥CD;
(2)若∠EHF=70°,∠D=30°,求∠AEM的度数.
7.如图,AB∥CD,GM、HN分别为∠BGE和∠DHG的角平分线
(1)试判断GM和HN的位置关系;
(2)如果GM是∠AGH的角平分线,
(1)中的结论还成立吗?
(3)如果GM是∠BGH的角平分线,
(1)中的结论还成立吗?
如果不成立,请你猜想GM和HN的位置关系,不必说明理由.
8.如图,已知AE平分∠BAC交BC于点E,AF平分∠CAD交BC的延长线于点F,∠B=64°,∠EAF=58°.
(1)试判断AD与BC是否平行(请在下面的解答中,填上适当的理由或数学式);
解:
∵AE平分∠BAC,AF平分∠CAD(已知),
∴∠BAC=2∠1,∠CAD= (角平分线定义).
又∵∠EAF=∠1+∠2=58°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2(∠1+∠2)= °(等式的性质).
又∵∠B=64°(已知),
∴∠BAD+∠B= °.
∴AD∥BC( ).
(2)若AE⊥BC,求∠ACB的度数.
9.如图,以n边形的n个顶点和它内部m个点作为顶点,把原n边形分割成若干个互不重叠的小三角形.观察图形,解答问题:
(1)填表:
m
个数
n
1
2
3
…
3
3
5
7
…
4
4
…
(2)填空,三角形内部有m个点,则原三角形被分割成 个不重叠的小三角形;四边形内部有m个点,则原四边形被分割成 个不重叠的小三角形;n边形内部有m个点,则原n边形被分割成 个不重叠的小三角形;
(3)若多边形内部的点的个数为多边形顶点数的五分之一,分割成互不重叠的小三角形共有2021个,求这个多边形的边数.
10.阅读下面内容,并解答问题
在学习了平行线的性质后,老师请同学们证明命题:
两条平行线被第三条直线所截,一组同旁内角的平分线互相垂直.
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件.
已知:
如图1,AB∥CD,直线EF分别交AB,C于点E,F.∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G.
(1)直线EG,FG有何关系?
请补充结论:
求证:
“ ”,并写出证明过程;
(2)请从下列A、B两题中任选一题作答,我选择 题,并写出解答过程.
A.在图1的基础上,分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M,得到图2,求∠EMF的度数.
B.如图3,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F.点O在直线AB,CD之间,且在直线EF右侧,∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P,请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系,并证明它.
11.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起(其中,∠A=60°,∠D=30°;∠E=∠B=45°).
(1)如图1,①若∠DCE=40°,求∠ACB的度数;
②若∠ACB=150°,直接写出∠DCE的度数是 度.
(2)由
(1)猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是 .
(3)若固定△ACD,将△BCE绕点C旋转,
①当旋转至BE∥AC(如图2)时,直接写出∠ACE的度数是 度.
②继续旋转至BC∥DA(如图3)时,求∠ACE的度数.
12.如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=82°,请将求∠AGD的过程填写完整.
解:
因为EF∥AD
所以∠2=∠ ( )
又因为∠1=∠2
所以∠1=∠3( )
所以AB∥ ( )
所以∠BAC+∠ =180°( )
因为∠BAC=82°
所以∠AGD= °
13.在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的3倍,这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如,三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“三倍角三角形”.
(1)△ABC中,∠A=35°,∠B=40°,△ABC是“三倍角三角形”吗?
为什么?
(2)若△ABC是“三倍角三角形”,且∠B=60°,求△ABC中最小内角的度数.
14.已知,如图1,射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点,∠PFD的平分线与直线AB相交于点M,射线PM交CD于点N,设∠PFM=α,∠EMF=β,且
+|β﹣30|=0.
(1)α= °,β= °;直线AB与CD的位置关系是 ;
(2)如图2,若点G是射线MA上任意一点,且∠MGH=∠PNF,试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系,并证明你的结论;
(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转(如图3),分别与AB、CD相交于点M1和点N1时,作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q,问在旋转的过程中
的值变不变?
若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.
15.阅读下面材料:
小亮同学遇到这样一个问题:
已知:
如图甲,AB∥CD,E为AB,CD之间一点,连接BE,DE,得到∠BED.
求证:
∠BED=∠B+∠D.
(1)小亮写出了该问题的证明,请你帮他把证明过程补充完整.
证明:
过点E作EF∥AB,
则有∠BEF= .
∵AB∥CD,
∴ ∥ ,
∴∠FED= .
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D.
(2)请你参考小亮思考问题的方法,解决问题:
如图乙,
已知:
直线a∥b,点A,B在直线a上,点C,D在直线b上,连接AD,BC,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,且BE,DE所在的直线交于点E.
①如图1,当点B在点A的左侧时,若∠ABC=60°,∠ADC=70°,求∠BED的度数;
②如图2,当点B在点A的右侧时,设∠ABC=α,∠ADC=β,请你求出∠BED的度数(用含有α,β的式子表示).
参考答案
1.解:
(1)证明:
∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠DFE=180°,
∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,
∴∠PEF=
BEF,∠PFE=
DFE,
∴∠PEF+∠PFE=
(∠BEF+∠DFE)=
180°=90°,
∴∠EPF=90°,
∵GH⊥EG,
∴∠EGH=90°,
∴∠EPF=∠EGH,
∴PF∥GH;
(2)∠HPQ的大小不发生变化,理由如下:
∵PF∥GH,
∴∠FPH=∠PHK,
∵∠PHK=∠HPK,
∴∠FPH=∠HPK,
∵PQ平分∠EPK,
∴∠EPQ=∠QPK,
设∠FPH=∠HPK=α,∠FPQ=β,
∴∠EPQ=∠FPH+∠HPK+∠FPQ=2α+β,
∴∠EPF=∠EPF+∠QPF=2α+β+β=2(α+β)=90°,
∴α+β=45°,
∴∠HPQ=∠HPF+∠FPQ=α+β=45°.
所以∠HPQ的大小不发生变化.
2.
(1)证明:
如图1,延长DE交AB于点F,
∵∠ACB+∠BED=180°,∠CED+∠BED=180°,
∴∠ACB=∠CED,
∴AC∥DF,
∴∠A=∠DFB,
∵∠A=∠D,
∴∠DFB=∠D,
∴AB∥CD;
(2)如图2,作EM∥CD,HN∥CD,
∵AB∥CD,
∴AB∥EM∥HN∥CD,
∴∠1+∠EDF=180°,∠MEB=∠ABE,
∵BG平分∠ABE,
∴∠ABG=
ABE,
∵AB∥HN,
∴∠2=∠ABG,
∵CF∥HN,
∴∠2+∠β=∠3,
∴
ABE+∠β=∠3,
∵DH平分∠EDF,
∴∠3=
EDF,
∴
ABE+∠β=
EDF,
∴∠β=
(∠EDF﹣∠ABE),
∴∠EDF﹣∠ABE=2∠β,
设∠DEB=∠α,
∵∠α=∠1+∠MEB=180°﹣∠EDF+∠ABE=180°﹣(∠EDF﹣∠ABE)=180°﹣2∠β,
∵∠DEB比∠DHB大60°,
∴∠α﹣60°=∠β,
∴∠α=180°﹣2(∠α﹣60°)
解得∠α=100°
∴∠DEB的度数为100°;
(3)∠PBM的度数不变,理由如下:
如图3,过点E作ES∥CD,设直线DF和直线BP相交于点G,
∵BM平分∠EBK,DN平分∠CDE,
∴∠EBM=∠MBK=
EBK,
∠CDN=∠EDN=
CDE,
∵ES∥CD,AB∥CD,
∴ES∥AB∥CD,
∴∠DES=∠CDE,
∠BES=∠ABE=180°﹣∠EBK,
∠G=∠PBK,
由
(2)可知:
∠DEB=100°,
∴∠CDE+180°﹣∠EBK=100°,
∴∠EBK﹣∠CDE=80°,
∵BP∥DN,
∴∠CDN=∠G,
∴∠PBK=∠G=∠CDN=
CDE,
∴∠PBM=∠MBK﹣∠PBK
=
∠EBK﹣
CDE
=
(∠EBK﹣∠CDE)
=
80°
=40°.
3.
(1)证明:
∵CD⊥AB,FE⊥AB,
∴∠AFH=∠ADC=90°,
∴EF∥DC,
∴∠AHE=∠ACD,
∵∠ACD+∠F=180°.
∴∠AHE+∠F=180°,
∵∠AHE+∠EHC=180°,
∴∠EHC=∠F,
∴AC∥FG;
(2)解:
∵∠BCD:
∠ACD=2:
3,
∴设∠BCD=2x,∠ACD=3x,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴解得x=15°,
∴∠BCD=2x=30°.
答:
∠BCD的度数为30°.
4.解:
(1)∵FE∥CG,
∴∠1=∠C.
又∵∠1=∠A,
∴∠C=∠A,
∴AB∥DC;
(2)∵AB∥DC,
∴∠D=∠B=30°.
∵∠1=63°,
∴∠EFG=∠D+∠1=30°+63°=93°.
5.解:
(1)如图1,∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠C,
又∵∠C=∠D,
∴∠DAE=∠D,
∴AD∥BC;
(2)∠EAD+2∠C=90°.
证明:
如图2,设CE与BD交点为G,
∵∠CGB是△ADG是外角,
∴∠CGB=∠D+∠DAE,
∵BD⊥BC,
∴∠CBD=90°,
∴△BCG中,∠CGB+∠C=90°,
∴∠D+∠DAE+∠C=90°,
又∵∠D=∠C,
∴2∠C+∠DAE=90°;
(3)如图3,设∠DAE=α,则∠DFE=8α,
∵∠DFE+∠AFD=180°,
∴∠AFD=180°﹣8α,
∵DF∥BC,
∴∠C=∠AFD=180°﹣8α,
又∵2∠C+∠DAE=90°,
∴2(180°﹣8α)+α=90°,
∴α=18°,
∴∠C=180°﹣8α=36°=∠ADB,
又∵∠C=∠BDA,∠BAC=∠BAD,
∴∠ABC=∠ABD=
∠CBD=45°,
∴△ABD中,∠BAD=180°﹣45°﹣36°=99°.
6.解:
(1)证明:
∵∠CED=∠GHD,
∴CE∥GF,
∴∠C=∠DGF,
又∵∠C=∠EFG,
∴∠DGF=∠EFG,
∴AB∥CD;
(2)∵∠CED=∠GHD,∠GHD=∠EHF=70°,
∴∠CED=70°,
在△CDE中,∠CED=70°,∠D=30°,
∴∠C=180°﹣70°﹣30°=80°,
∵AB∥CD,
∴∠AEC=∠C=80°,
∴∠AEM=180°﹣∠AEC=180°﹣80°=100°.
答:
∠AEM的度数为100°.
7.解:
(1)GM∥HN;理由如下:
∵AB∥CD,且GM、HN分别为∠BGE和∠DHG的角平分线,
∴∠EGB=∠GHD,∠EGD=2∠EGB,∠GHD=2∠GHN,
∴∠EGM=∠GHN,
∴GM∥HN.
(2)
(1)中的结论还成立;理由如下:
如图,当GM′平分∠AGH时,∠AGH=2∠M′GH;
∵AB∥CD,
∴∠AGH=∠GHD;而∠GHD=2∠GHN,
∴∠M′GH=∠GHN,
∴GM′∥HN.
(3)
(1)中的结论不成立;此时,GM⊥HN.
8.解:
(1)∵AE平分∠BAC,AF平分∠CAD(已知),
∴∠BAC=2∠1,∠CAD=2∠2(角平分线定义).
又∵∠EAF=∠1+∠2=58°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2(∠1+∠2)=116°(等式的性质).
又∵∠B=64°(已知),
∴∠BAD+∠B=180°.
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
故答案为:
2∠2,116,180,同旁内角互补,两直线平行;
(2)∵AE⊥BC,∠B=64°,
∴∠AEB=90°,
∴∠BAE=180°﹣∠AEB﹣∠B=180°﹣90°﹣64°=26°,
∵∠BAC=2∠BAE=52°,
∴∠ACB=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣64°﹣52°=64°.
9.解:
(1)观察图形,完成下表,
m
个数
n
1
2
3
…
3
3
5
7
…
4
4
6
8
…
故答案为:
6,8;
(2)三角形内部1个点时,共分割成3部分,3=3+2(1﹣1),
三角形内部2个点时,共分割成5部分,5=3+2(2﹣1),
三角形内部3个点时,共分割成7部分,7=3+2(3﹣1),
…,
所以,三角形内部有m个点时,3+2(m﹣1)=2m+1,
四边形的4个顶点和它内部的m个点,
则分割成的不重叠的三角形的个数为:
4+2(m﹣1)=2m+2,
n边形内部有m个点,则原n边形被分割成n+2(m﹣1)=2m+n﹣2个不重叠的小三角形;
故答案为:
(2m+1),(2m+2),(2m+n﹣2);
(3)设这个多边形的边数为n,则内部的点的个数为
n,
根据题意得,2×
n+n﹣2=2021,
解得:
n=1445,
答:
这个多边形的边数为1445.
10.解:
(1)结论:
EG⊥FG;
理由:
如图1中,∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠DFE=180°,
∵EG平分∠BEF,FG平分∠DFE,
∴∠GEF=
,
,
∴∠GEF+∠GFE=
=
=
=90°,
在△EFG中,∠GEF+∠GFE+∠G=180°,
∴∠G=180°﹣(∠GEF+∠GFE)=180°﹣90°=90°,
∴EG⊥FG.
故答案为:
EG⊥GF;
(2)A.如图2中,由题意,∠BEG+∠DFG=90°,
∵EM平分∠BEG,MF平分∠DFG,
∴∠BEM+∠MFD=
(∠BEG+∠DFG)=45°,
∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°,
B.结论:
∠EOF=2∠EPF.
理由:
如图3中,由题意,∠EOF=∠BEO+∠DFO,∠EPF=∠BEP+∠DFP,
∵PE平分∠BEO,PF平分∠DFO,
∴∠BEO=2∠BEP,∠DFO=2∠DFP,
∴∠EOF=2∠EPF,
故答案为:
A或B.
11.解:
(1)
①∵∠DCE=40°,
∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=50°,
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=50°+90°=140°;
②∵∠ACB=150°,∠ACD=90°,
∴∠ACE=150°﹣90°=60°,
∴∠DCE=∠ACD﹣∠ACE=90°﹣60°=30°,
故答案为:
30;
(2)∵∠ACB=∠ACD+∠BCE﹣∠DCE=90°+90°﹣∠DCE,
∴∠ACB+∠DCE=180°,
故答案为:
∠ACB+∠DCE=180°;
(3)①∵BE∥AC,
∴∠ACE=∠E=45°,
故答案为:
45°;
②∵BC∥DA,
∴∠A+∠ACB=180°,
又∵∠A=60°,
∴∠ACB=180°﹣60°=120°,
∵∠BCE=90°,
∴∠BCD=∠ACB﹣∠ECB=120°﹣90°=30°.
12.解:
∵EF∥AD,
∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等),
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3(等量代换),
∴AB∥DG(内错角相等,两直线平行),
∴∠BAC+∠DGA=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∵∠BAC=82°,
∴∠AGD=98°,
故答案为:
3;两直线平行,同位角相等;等量代换;DG;内错角相等,两直线平行;AGD;两直线平行,同旁内角互补;98.
13.解:
(1)△ABC是“三倍角三角形”,理由如下:
∵∠A=35°,∠B=40°,
∴∠C=180°﹣35°﹣40°=105°=35°×3,
∴△ABC是“三倍角三角形”;
(2)∵∠B=60°,
∴∠A+∠C=120°,
设最小的角为x,
①当60°=3x时,x=20°,
②当x+3x=120°时,x=30°,
答:
△ABC中最小内角为20°或30°.
14.
(1)证明:
∵
+|β﹣30|=0,
∴α=β=30,
∴∠PFM=∠MFN=30°,∠EMF=30°,
∴∠EMF=∠MFN,
∴AB∥CD;
故答案为:
30;30;AB∥CD;
(2)解:
∠FMN+∠GHF=180°.
理由:
∵AB∥CD,
∴∠MNF=∠PME,
∵∠MGH=∠MNF,
∴∠PME=∠MGH,
∴GH∥PN,
∴∠GHM=∠FMN,
∵∠GHF+∠GHM=180°,
∴∠FMN+∠GHF=180°.
(3)解:
的值不变,
=2.
理由:
如图3中,作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R.
∵AB∥CD,
∴∠PEM1=∠PFN,
∵∠PER=
∠PEM1,∠PFQ=
∠PFN,
∴∠PER=∠PFQ,
∴ER∥FQ,
∴∠FQM1=∠R,
设∠PER=∠REB=x,∠PM1R=∠RM1B=y,
则有:
,可得∠EPM1=2∠R,
∴∠EPM1=2∠FQM1
∴
=2.
15.解:
(1)过点E作EF∥AB,
则有∠BEF=∠B,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠FED=∠D,
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D;
故答案为:
∠B;EF;CD;∠D;
(2)①如图1,过点E作EF∥AB,
有∠BEF=∠EBA.
∵AB∥CD,
∴EF∥CD.
∴∠FED=∠EDC.
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC.
即∠BED=∠EBA+∠EDC,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,
∴∠EBA=
∠ABC=30°,∠EDC=
∠ADC=35°,
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°.
答:
∠BED的度数为65°;
②如图2,过点E作EF∥AB,
有∠BEF+∠EBA=180°.
∴∠BEF=180°﹣∠EBA,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD.
∴∠FED=∠EDC.
∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC.
即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,
∴∠EBA=
∠ABC=
,∠EDC=
∠ADC=
,
∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣
+
.
答:
∠BED的度数为180°﹣
.
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