含参数的一元二次方程整数解.docx
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含参数的一元二次方程整数解
含参数的一元二次方程整数解
知识定位
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根情况,可以用判别式Δ=b2-4ac来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质。
知识梳理
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根,是由它的系数a, b, c的值确定的.根公式是:
x=
. (b2-4ac≥0)
2、根的判别式
1实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是:
b2-4ac≥0.
2有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是:
b2-4ac是完全平方式
方程有有理数根.
③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根
p2-4q是整数的平方数.
3、设x1, x2是ax2+bx+c=0的两个实数根,那么
3ax12+bx1+c=0 (a≠0,b2-4ac≥0),ax22+bx2+c=0 (a≠0,b2-4ac≥0);
4x1=
, x2=
(a≠0, b2-4ac≥0);
5 韦达定理:
x1+x2=
x1x2=
(a≠0, b2-4ac≥0).
4、方程整数根的其他条件
整系数方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个整数根x1的必要条件是:
x1是c的因数.
特殊的例子有:
C=0
x1=0,
a+b+c=0
x1=1,
a-b+c=0
x1=-1.
例题精讲
【试题来源】
【题目】b为何值时,方程x2-bx-2=0和x2-2x-b(b-1)=0有相同的整数根?
并且求出它们相同的整数根..
【答案】1;2
【解析】 解:
设相同的整数根为x0,由根的定义,知
x20-bx0-2=0,①
x20-2x0-b(b-1)=0.②
1-②并整理,得(2-b)[x0-(1+b)]=0,
2∴b=2或x0=b+1.
当b=2时,两方程均为x2-2x-2=0,但无整数根;
当x0=b+1时,代入①或②,解之得b=1,于是
公共根x0=b+1=2.
【知识点】含参数的一元二次方程整数解
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2,记S1=x1+1993x2,S2=x12+1993x22,…,Sn=x1n+1993x2n,则aS1993+bS1992+cS1991=
【答案】0
【解析】 解:
∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根,
∴ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0。
aS1993+bS1992+cS1991
=a(x11993+1993x21993)+b(x11992+1993x21992)+c(x11991+1993x21991)
=(ax11993+bx11992+cx11991)+(a·1993x21993+b·1993x21992+c·1993x21991)
=x11991(ax12+bx1+c)+1993x21991(ax22+bx2+c)
=0。
【知识点】含参数的一元二次方程整数解
【适用场合】当堂练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】已知方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(其中a为非负整数)至少有一个整数根.那么a=——
【答案】如下
【解析】解:
显然a≠0,故原方程为关于x的一元二次方程.
因为△=[-(3a2-8a)]2-4a2(2a2-13a+15)
=[a(a+2)]2是完全平方式,则原方程可用十字相乘
因式分解为:
[ax-(2a-3)][ax-(a-5)]=0,
【知识点】含参数的一元二次方程整数解
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】m是什么整数时,方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根
【答案】m=2
【解析】解:
解法1首先,m2-1≠0,m≠±1.Δ=36(m-3)2>0,所以m≠3.用求根公式可得
由于x1,x2是正整数,所以
m-1=1,2,3,6,m+1=1,2,3,4,6,12,
解得m=2.这时x1=6,x2=4.
解法2首先,m2-1≠0,m≠±1.设两个不相等的正整数根为x1,x2,则由根与系数的关系知
所以m2-1=2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,即
m2=3,4,5,7,9,10,13,19,25,37,73,
只有m2=4,9,25才有可能,即m=±2,±3,±5.
经检验,只有m=2时方程才有两个不同的正整数根.
说明一般来说,可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论,就比较容易求解问题,解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理,得到两个整数,再利用整除性质求解,解法2就是如此,这些都是最自然的做法
【知识点】含参数的一元二次方程整数解
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根,求a的值
【答案】a=1,3,5
【解析】 解:
因为a≠0,所以
所以
所以只要a是3或5的约数即可,即a=1,3,5.
【知识点】含参数的一元二次方程整数解
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】设m是不为零的整数,关于x的二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根,求m的值.
【答案】m=6
【解析】解:
一个整系数的一元二次方程有有理根,那么它的判别式一定是完全平方数.令
Δ=(m-1)2-4m=n2,
其中n是非负整数,于是
m2-6m+1=n2,
所以(m-3)2-n2=8,
(m-3+n)(m-3-n)=8.
由于m-3+n≥m-3-n,并且
(m-3+n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数,所以m-3+n与m-3-n同奇偶,所以
【知识点】含参数的一元二次方程整数解
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解,且a是整数,求a的值
【答案】2,-4,-10
【解析】解:
当a=0时,原方程变成-6x-2=0,无整数解.
当a≠0时,方程是一元二次方程,它至少有一个整数根,说明判别式
Δ=4(a-3)2-4a(a-2)=4(9-4a)
为完全平方数,从而9-4a是完全平方数.令9-4a=n2,则n是正奇数,
要使x1为整数,而n为正奇数,只能n=1,从而a=2.要使x2为整数,即n-3|4,n可取1,5,7,从而a=2,-4,-10.
综上所述,a的值为2,-4,-10.
说明本题是前面两种方法的“综合”.既要用判别式是平方数,又要用直接求根.有时候,往往是几种方法一同使用.
【知识点】含参数的一元二次方程整数解
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】5
【试题来源】
【题目】已知关于x的方程x2+(a-6)x+a=0的两根都是整数,求a的值.
【答案】0或16
【解析】解:
设两个根为x1≥x2,由韦达定理得
从上面两式中消去a得
x1x2+x1+x2=6,
所以(x1+1)(x2+1)=7,
所以a=x1x2=0或16.
【知识点】含参数的一元二次方程整数解
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】求所有有理数r,使得方程
rx2+(r+1)x+(r-1)=0
的所有根是整数.
【答案】-1/7或0或1
【解析】解:
当r=0时,原方程为x-1=0,所以x=1.
当r≠0时,原方程是关于x的一元二次方程,设它的两个整数根为x1,x2,且x1≥x2,则
消去r得
x1x2-x1-x2=2,
所以(x1-1)(x2-1)=3.
【知识点】含参数的一元二次方程整数解
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】已知a是正整数,且使得关于x的一元二次方程
ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0
至少有一个整数根,求a的值.
【答案】1,6,10,3
【解析】解:
将原方程变形为
(x+2)2a=2(x+6).
显然x+2≠0,于是
由于a是正整数,所以a≥1,即
所以x2+2x-8≤0,
(x+4)(x-2)≤0,
所以-4≤x≤2(x≠-2).
当x=-4,-3,-1,0,1,2时,得a的值为1,6,10,3,
【知识点】含参数的一元二次方程整数解
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1,x2
(2)求证:
b-1≤c≤b+1;
(3)求b,c的所有可能的值.
【答案】(b,c)=(5,6),(4,4),(6,5)
【解析】解:
(1)由x1x2>0知,x1与x2同号.若x1>0,则x2>0,
(2)由
(1)知,x1<0,x2<0,所以x1≤-1,x2≤-1.由韦达定理
c-(b-1)=x1x2+x1+x2+1
=(x1+1)(x2+1)≥0,
所以c≥b-1.
同理有
所以c≤b+1,
所以b-1≤c≤b+1.
(3)由
(2)可知,b与c的关系有如下三种情况:
(i)c=b+1.由韦达定理知
x1x2=-(x1+x2)+1,
所以(x1+1)(x2+1)=2,
解得x1+x2=-5,x1x2=6,所以b=5,c=6.
(ii)c=b.由韦达定理知
x1x2=-(x1+x2),
所以(x1+1)(x2+1)=1,
所以x1=x2=-2,从而b=4,c=4.
(iii)c=b-1.由韦达定理知
所以
综上所述,共有三组解:
(b,c)=(5,6),(4,4),(6,5).
【知识点】含参数的一元二次方程整数解
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5
习题演练
【试题来源】
【题目】已知:
a, b, c是实数,且a=b+c+1.求证:
两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中,至少有一个方程有两个不相等的实数根
【答案】证明如下
【解析】解:
证明 (用反证法)
设 两个方程都没有两个不相等的实数根,
那么△1≤0和△2≤0.
即
由①得b≥
,b+1≥
代入③,得
a-c=b+1≥
, 4c≤4a-5④
②+④:
a2-4a+5≤0,
即(a-2)2+1≤0,这是不能成立的.
既然△1≤0和△2≤0不能成立的,那么必有一个是大于0.
∴方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中,至少有一个
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- 参数 一元 二次方程 整数
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