直线的方向向量与平面的法向量.docx
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直线的方向向量与平面的法向量
直线的方向向量与平面的法向量
1.如图3-2-1,直线l//m,在直线l上取两点A、B,在直线m上取两点C、D,向量AB与CD有怎样的关系?
【提示】ABIICD.
2.如图直线l上平面a,直线l//m,在直线m上取向量n,则向量n与平面a有怎样的关系?
【提示】n±oc
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量,一条直线的方向向量有无数
个.
直线l上a,取直线l的方向向量a,贝U向量a叫做平面a的法向量.
空间中平行关系的向量表示
设两条不重合的直线l,m的方向向量分别为a=(a〔,bi,ci),b=(a2,b2,C2),线线平行
贝UlIIm?
aIIb?
(ai,bi:
ci)=k(a2:
b2,C2)
设l的方向向量为a=(a〔,bi,ci),a的法向量为u=(a2,b2,C2),则l//o?
au
线面平行
=0?
aia2+bib2+cic2=0
面面平行
设a,6的法向量分别为u=(a〔,bi,ci),v=(a2,b2,c2),贝Ua//阿u//v?
_(a^
bi:
ci)=k(a2:
b2:
c2)
求平面的法向量
3J
S
J.
D
图3-2-2
已知ABCD是直角梯形,/ABC=90°,SAL平面ABCD,SA=AB=BC=1,
AD=1,试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD与平面SAB的一个法向量.
(2)求平面SCD的一个法向量.
4
I)*
【自主解答】以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建
1
立如图所示的坐标系,贝UA(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(§,0,0),S(0,0,1).
(1)SAL平面ABCD,•••AS=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
•••AD±AB,AD±SA,..AD上平面SAB,
•••AD=(2,0,0)是平面SAB的一个法向量.
(2)在平面SCD中,dC=(2,1,0),SC=(1,1,—1).
设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),贝Un±DC,n±SC.
x=—2y
nDC=0:
x+y=0
所以得方程组2
=-z=—y.
nSC=0,x+y—z=0.y
令y=-1得x=2,z=1,..n=(2,—1,1).
II规律方法I
1.若一个几何体中存在线面垂直关系,则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量.
2.一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量,步骤如下:
(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量
a=(ai,bi,ci),b=(a2,b2,C2).
(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
na=0,
nb=0.
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
na=0,
3.在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组有无数多个解,只需给x,
nb=0
y,z中的一个变量赋于一个值,即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法
向量就不同,但它们是共线向量.
9H训坟]
正方体ABCD—AiBiCiDi中,E、F分别为棱AiDi、A1B1的中点,在如图3—2-3所
示的空间直角坐标系中,求:
Di£
图3-2-3
⑴平面BDDiBi的一个法向量.
(2)平面BDEF的一个法向量.
【解】设正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
E(i,0,2)
⑴连AC,因为AC±平面BDDiBi,所以aC=(-2,2,0)为平面BDDiBi的一个法向量.
(2)DB=(2,2,0),DE=(i,0,2).
设平面BDEF的一个法向量为n=(x,y,z).
nDB=02x+2y=0「
,,N
1nDl=0,X+A0,Z=—2x.
令x=2得y=-2,z=-1.
n=(2,—2,1)即为平面BDEF的一个法向量.
「例长方体ABCD—AiBiCiDi中,E、F分别是面对角线B1D1,AiB上的点,且DiE
=2EBi,BF=2FA1.求证:
EF//AC1.
【自主解答】如图所示,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立
空间直角坐标系,设DA=a,DC=b,DD〔=c,贝U得下列各点的坐标:
A(a,0,0),C1(0,b,
22b2、
c),E(3a,3b,c),F(a,3,3c).
%abcr
••-FE=(一£,j可,AC1=(-a,b,c),
333
••-FE=1/\Q1.
又FE与AC1不共线,
直线EF//AC1.
II规律方法I
利用向量法证明线线平行的方法与步骤:
fiIfOH
图3-2-4
如图3—2-4所示,在正方体ABCD—AiB1C1D1中,E、F分别为DD1和BBi的中点.求证:
四边形AEC1F是平行四边形.
【证明】以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1为正交基底建立空间直角坐标系,
11
不妨设正方体的梭长为1,则A(1,0,0),E(0,0,-),C1(0,1,1),F(1,1,8),
••-Al=(-1,0,2),F^1=(-1,0,1),氐1=(0,1,;),AF=(0,1,2),..a!
=FC1,EC1
=af,
•••AE//FC1,EC1//AF,
又•••F?
AE,F?
EC〔,..AE//FC1,EC1//AF,
四边形AEC1F是平行四边形.
利用空间向量证明线面平行
ft
J)
图3-2-5
如图3—2—5,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,D是AC的中点,求证:
AB1//平
面DBC1.
【自主解答】以A为坐标原点建立空间直角坐标系.
设正三棱柱的底面边长为a(a>0),侧棱长为b(b>0),
则A(O,O,0),B(23a,a,0),Bi(平a,§b),Ci(0,a,b),D(0,|,0),
••-扇1=(乎a,a'b),BD=(-乎a,0,0),
->a.、
DCi=(0,|b).
设平面DBCi的一个法向量为n=(x,y,z),
\[3
nBD=—2ax=0,x=0,
则••-a
nDCi=|y+=0,Zlby'
不妨令y=2b,则n=(0,2b,-a).
由于ABin=ab—ab=0,因此ABi-Ln.
又ABi?
平面DBCi,..ABi//平面DBCi.
II规律方法I
利用空间向量证明线面平行一般有三种方法:
方法一:
证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一
组基底表示.
方法二:
证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行
判定定理得证.
方法三:
先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明方向向量与平面的法向量垂直.
oknila
在长方体ABCD—AiBiCiDi中,AAi=2AB=2BC,E,F,Ei分别是棱AAi,BBi,AiBi
的中点.
求证:
CE//平面CiEiF.
以D为原点,以DA,DC,DDi所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直
.•晶=(1,-2,0),元1=(—1,0,1),
nC1E1=0,
nFC〔=0,x=1y.
即2取n=(1,2,1).
x=z,
Cl=(1,-1,1),nCe=1-2+1=0,
CE±n,且CE?
平面C1E1F.
•.•CE/平面GEF.
向量法证明空间平行关系
典例(12分)如图3—2-6,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF//
AB,EF±FB,AB=2EF,ZBFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.
求证:
FH//平面EDB.
【思路点拨】先通过推理证明FHX平面ABCD,建立空间直角坐标系,再设证明HF、
BE、BD共面.
I)
fi
【规范解答】..•四边形ABCD是正方形,
•••AB上BC,又EF//AB,
EF±BC.
又EF±FB,
•••EFL平面BFC.
EF±FH,•••AB±FH.2分
又BF=FC,H为BC的中点,
FH±BC.
•••FHL平面ABC.4分
以H为坐标原点,IHB为x轴正方向,IHF为z轴正方向.
建立如图所示的空间直角坐标系.
设BH=1,
则B(1,0,0),D(-1,—2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1).6分
—>__>--_
•••HF=(0,0,1),BE=(—1,—1,1),BD=(—2,—2,0),
设IHF=入BE+卬BD=入(—1,-1,1)+X—2,—2,0)=(-入一2j一入一2j腿分
(0,0,1)=(—卜2禹一卜2屿/),
,解得
1.
--HF=BE—2BD10分
向量HF,BE,BD共面.
又HF不在平面EDB内,
•••HF//平面EDB.12分
【思维启迪】1.建立空间直角坐标系,通常需要找出三线两两垂直或至少找到线面垂
直的条件.
2.证明时,要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别,注意所运用定理的条件要找全.
C
C
C
C*
C*
C*
C
C*
C
Cc
c*
1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”:
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;
(2)进行向量运算,研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等);
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
2.证明线面平行问题,可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系;也可以
转化为线线平行,利用向量共线来证明.
1.若A(—1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()
A.(1,2,3)B.(1,3,2)
C.(2,1,3)D.(3,2,1)
【解析】AB=(2,4,6)=2(1,2,3).
【答案】A
2.下列各组向量中不平行的是()
A.a=(1,2,-2),b=(—2,—4,4)
B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)
C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)
D.g=(—2,3,5),h=(16,24,40)
【解析】••-b=(—2,—4,4)=—2(1,2,-2)=-2a,二a//b,同理:
c//d,ellf.
【答案】D
3.设平面a内两向量a=(1,2,1),b=(—1,1,2),则下列向量中是平面a的法向量的是
()
A.(-1,-2,5)B.(-1,1,-1)
C.(1,1,1)D.(1,—1,—1)
【解析】平面a的法向量应当与a、b都垂直,可以检验知B选项适合.
【答案】B
4.根据下列各条件,判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系:
⑴直线1i,l2的方向向量分别是a=(1,—3,—1),b=(8,2,2);
⑵平面叫6的法向量分别是u=(1,3,0),v=(—3,—9,0);
⑶直线l的方向向量,平面a的法向量分别是a=(1,—4,—3),u=(2,0,3).
【解】
(1).ab=1x8+(-3)X2+(—1)X2=0,1i[12.
⑵.•v=(-3,—9,0)=—3(1,3,0)=-3禹乱3
(3)a、u不共线,l不与a平行,也不在a内.
又•.•au=—7乒0,l与a不垂直.
故l与a斜交.
升区I
一、选择题
1.(2013吉林高二检测)li的方向向量为vi=(1,2,3),12的方向向量V2=(入4,6),若li
H12,则出()
A.1B.2C.3D.4
12一一
【解析】-11II12,/.V1IIV2,则甘4,--出2.
【答案】B
2.(2013青岛高二检测)若aB=XCD+辰,则直线AB与平面CDE的位置关系是()
A.相交B.平行
C.在平面内D.平行或在平面内
【解析】AB=x5d+pCe,.••AB、CD、CE共面,贝uab与平面cde的位置关系是平行或在平面内.
【答案】D
3.已知平面a内有一个点A(2,-1,2),a的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面a内的是()
3
A•(1,—1,1)B.(1,3,刁
33
C.(1,—3,2)D.(-1,3,一刁
【解析】对于B,AP=(—1,4,—2),
则nAP=(3,1,2)(-1,4,一;)=0,
3
nJ_AP,则点P(1,3,3)在平面a内.
【答案】B
4.已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的一个法向量的单位向量是()
A.(1,1,1)
B•(3,3,3)
3
D•号,
'3
司
【解析】设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),Ab=(0,-i,i),Bc=(-i,i,0),AC
ABn=—y+z=0
=(-W),则BCn=-x+y=0•■-x=y=z,
ACn=—x+z=0
5.如图3-2—7,在平行六面体ABCD—AiBiCiDi中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,
BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则()
1AiM//DiP;
2AiMIIBiQ;
3AiM//平面DCCiDi;
4AiM//平面DiPQBi.
以上正确说法的个数为()
A.iB.2C.3D.4
•石■-_渣一_i_i,,
【解析】AiM=AiA+AM=AiA+^AB,DiP=DiD+DP=AiA+^AB,-AiM^DiP,所以AiM//DiP,由线面平行的判定定理可知,AiM//面DCCiDi,AiM//面DiPQBi.①③④正确.
【答案】C
二、填空题
i
6.(20i3泰安局二检测)已知直线l的万向向量为(2,m,i),平面a的法向量为(i,",2),且lIIa,贝Um=.
11
--(2,m,1)(1,-,2)=2+四+2=0,..m=—8.
【答案】一8
7.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,—5),点P(x,—1,3)在平面ABC内,则x=.
【解析】AB=(-2,2,-2),AC=(—1,6,-8),AP=(x-4,—2,0),由题意知A、B、
.r一—>,_一、,■一、,一一■
C、P共点共面,•■-AP=?
AB+(jAC=(—2入,2入,—2为+(—j6j—80=(—2卜2沛6禹一2入一80.
2沛6〃=一2入=一4
----而x—4=—2卜屿..x=11.
—2卜8(1=0,(1=1,
【答案】11
8.下列命题中,正确的是.(填序号)
1若n〔,n2分别是平面a,6的一个法向量,贝Un1//n2?
all。
;
2若n1,n2分别是平面a,6的一个法向量,贝UaX3?
n1n2=0;
3若n是平面a的一个法向量,a与平面a共面,则na=0;
4若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.
【解析】②③④一定正确,①中两平面有可能重合.
【答案】②③④
三、解答题
图3-2-8
9.已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图3-2—8所示),并且OE
.=r±
=kOA,OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF.
求证:
(1)A、B、C、D四点共面,E、F、G、H四点共面;
(2)aC//EG;
(3)OG=kOC.
【解】
(1)由AC=AD+mAB,IEG=EH+mEF,知A、B、C、D四点共面,E、F、G、
H四点共面.
(2)•/EG=EH+mEF=OH—OE+m(OF—OE)
.,—r=r,r±
=k(OD—OA)+km(OB—OA)=kAD+kmAB
=k(AD+mAB)=kAC,
•••AC//EG
.
=k(AC—AO)=kOC.
•••OG=kOC
.
10.在正方体ABCD—AiBiCiDi中,E,F分别是BBi,DC的中点,求证:
AE是平面
AiDiF的法向量.
A(1,0,0),E(1,1,
【证明】设正方体的棱长为i,建立如图所示的空间直角坐标系,则
ii~i
日),Di(0,0,i),F(0,2,0),Ai(i,0,i),AE=(0,〔,
,-i八a",」-
DiF=(0,2'—i),AiDi=(—i,0,0).
a!
dTf=(0,i,2)(0,I,-i)
=0,
又AEAiDi=0,
AE±DiF,AEJ_AiDi.
又AiDinDiF=Di,
•.•AEL平面AiDiF,
•••Al是平面AiDiF的法向量.
,一一一.一一71
11.如图3-2-9,在四棱锥O—ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,/ABC=
OAL底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点,证明:
直线MN//平面OCD.
【证明】作APICD于点P.如题图分别以AB、AP、AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,¥,0),D(一乎,乎,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1-^2,乎,t_>/2\I2八
0).MN=(1-,-1),
OP=(0,乎,-2),OD=(-乎,乎,一2).
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),
则nOp=0,nob=0.
取z=瞻,则y=4,x=0,
2y—2z=0
.2.2
一事+2y-2z=0
得n=(0,4,的.
林”=(1-殳乎,T)(0,4瞻=。
,
..MN//平面OCD.
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- 直线 方向 向量 平面
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