新课程标准下《解析几何》高考考情解读精编.docx
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新课程标准下《解析几何》高考考情解读精编
新课程标准下《解析几何》高考考情解读
-.考情概述
1.考试要求
内容
考试说明(理科)
考试说明(文科)
1•直线与方程
'.直线与方程
(1)在平面直角坐标系中,结合具
(1)在平面直角坐标系中,结合具
体图形掌握确定直线位置的几何要素
体图形掌握确定直线位置的几何要素
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概
念,掌握过两点的直线斜率的计算公
念,掌握过两点的直线斜率的计算公
式.
式.
(3)能根据两条直线的斜率判定这
(3)能根据两条直线的斜率判定这
两条直线平行或垂直.
两条直线平行或垂直.
(4)掌握确定直线位置的几何要
(4)掌握确定直线位置的几何要
素,掌握直线方程的几种形式(点斜
素,掌握直线方程的几种形式(点斜
式、两点式及一般式),了解斜截式与
式、两点式及一般式),了解斜截式与
一次函数的关系.
一次函数的关系.
(5)能用解方程组的方法求两条相
(5)能用解方程组的方法求两条相
交直线的交点坐标.
交直线的交点坐标.
必修2,第
(6)掌握两点间的距离公式、点到
(6)掌握两点间的距离公式、点到
二章:
平
直线的距离公式,会求两条平行直线
直线的距离公式,会求两条平行直线
面解析几
间的距离.
间的距离.
何初步
2.圆与方程
2.圆与方程
(1)掌握确定圆的几何要素,掌握
(1)掌握确定圆的几何要素,掌握
圆的标准方程与一般方程.
圆的标准方程与一般方程.
(2)能根据给定直线、圆的方程,
(2)能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆的位置关系;能根据给
判断直线与圆的位置关系;能根据给
定两个圆的方程判断两圆的位置关
玄
定两个圆的方程判断两圆的位置关
玄
.系.
(3)能用直线和圆的方程解决一些
.系.
(3)能用直线和圆的方程解决一些
简单的问题.
简单的问题.
(4)初步了解用代数方法处理几何
(4)初步了解用代数方法处理几何
问题的思想.
问题的思想.
3.空间直角坐标系
3.空间直角坐标系
(1)了解空间直角坐标系,会用空
(1)了解空间直角坐标系,会用空
间直角坐标表示点的位置.
间直角坐标表示点的位置.
(2)会简单应用空间两点间的距离公式.
(2)会推导空间两点间的距离公式.
选修2-1,
(1)了解圆锥曲线的实际背景,了
(1)了解圆锥曲线的实际背景,了
第三章:
解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实
解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实
圆锥曲线
际问题中的作用.
际问题中的作用.
与方程
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几
(2)掌握椭圆的定义、几何图形、
(理)选修1-1,圆锥曲线与方程
(文)
何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、定点、离心率).
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质
(范围、对称性、定点、离心率、渐近线).
(4)了解曲线与方程的对应关系
(5)理解数形结合的思想
(6)了解圆锥曲线的简单应用.
标准方程及简单几何性质.
(3)了解双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程,知道它的简单几何性质.
(4)理解数形结合的思想.
(5)了解圆锥曲线的简单应用.
选修4-4,
坐标系与
参数方程
(1)了解坐标系的作用.
(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
(3)能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
(4)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在
极点的圆)表示的极坐标方程.通过比较这些图形的极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
没有要求.
2.近三年新课程标各省《解析几何》高考分值表(理科)
*从考试要求看,新考纲更加注重数学知识本身的认知规律,强调基本知识与基本技能,
注重通性通法,教材的编写贯彻了新课标反复出现、螺旋上升”的新理念.
*从各省的《标准》卷看,分值的分布都比较稳定,题型都是一大几小,加重了解析几何知识与其他知识的融合,与考试要求相吻合.
二.考情分析
(一)基本的解题思想
1•函数与方程思想
函数的思想就是运用运动和变化的观点,去分析和研究数学问题中的数量关系,建立或构造函数,再运用函数的图像和性质,从而使问题获得解决.
方程的思想就是从问题的数量关系入手,将问题中的条件转化为数学模型一一方程或
方程组,然后通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题使问题获得解决.
22
例1(2012广东理)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
务ab0)
ab
且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线丨:
mx•ny=1与圆0:
Xy2=1
相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?
若存在,求出点M的坐标及对应的
△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
思路:
(1)建立函数关系求最值;
(2)离心率条件要先用.
解析:
(1)由e=—可得一=-^2,因为a2=bC,所以a=『+—a?
,即a2=3b2
V3a^33
所以椭圆C的方程为:
x23y2=3b2
设椭圆C上的一动点P(x,y),-b乞y^b
则
PQ=Jx2+(y_2)2=J3b2_3y2+(y_2)2=J—2y2_4y+3b2+4=J_2(y杓)2+3b2+6
1若bA1,当y=—1时,|PQmax=3+6=3,解得b=1
2若0vb<1,PQvJ-2(_b+1)2+3b2+6=Jb2+4b+4=b+2c3
2
综合①②,b=1,所以椭圆C的方程为—y2=1.
3
(2)假设在椭圆C上,存在点M(m,n)满足题意,则m2n2=3
此时,点O到直线AB的距离d公
2
A、B,且△OAB的面积最大,最大值为
2.数形结合思想
”“数解形”的关系,它
数形结合思想是根据”数”与”形”之间的对应关系,通过相互转化来解决问题,华罗庚教授写了一首诗:
数与形,本是相倚依,焉然分作两边飞,数缺形时少直觉,形缺数时难入微•数与形,永远结合,切莫分离”.非常形象地阐述了以形助数
是优化解题的重要思想方法.
个不同的交点,则实数m的取值范围是(
0)
22-
(2009全国n文22)已知椭圆C:
冷•為=1(ab0)的离心率为——,过右焦点F
ab3
由题意知丨的斜率为一定不为0,故不妨设l:
^my1
代入椭圆的方程中整理得
(2m23)y24my-4二0,显然;0.
22
点P的坐标为(X1X2,y1y2),点P在椭圆上,即TT二1.
整理得2x13%22x23y224x1x26%y2=6.
又AB在椭圆上,即2x123y1^6,2x223y2^6.
故2x1x23y1y23=0
将x1x^(my11)(my,1)=口2%『2y2)1及①代入②解得m2
上或-辽人X2—孕2工,即P(?
一
22m+322
¥吨,
过做直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2_QB2,求直线I的方程.
故三B,AB2为直角,因此OA=OB2,得b=—.
题C20)图
在RtjABA中,0A丄Bg故Sa^b^=2|B1B2LO^OB^O^j_^b2由题设条件Sab1b2=4,得b=4,从而a=5b=20.
因此所求椭圆的标准方程为:
22
xy“
1.
204
(□)由(I)知B(_2,0),B(2,0),由题意知直线丨的倾斜角不为0,故可设直线l的
22
方程为:
x=my_2,代入椭圆方程得m・5y—4my-16=0,
设PX!
y2,Qx2,y2,贝Uy1,y2是上面方程的两根,因此
又DP二Xi-2,%,B2Q二X2-2必,所以
B2PLB2Q二人-2X2-2y』2
=:
〔my1—4my2-4y』2
2
=m1yy-4m5y16
2
16m116m2“
2_~2+16
m5m5
2
16m64
m25
所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:
x2y^0和x-2y,2=0.
5.特殊与一般思想
在解答数学问题时,把题中变化的若干变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、
图形特殊位置、特定图形、特殊方程、特殊模型)代替.即可得到问题的结论,再由特殊到一般,用数学方法论证在一般情况下也成立,这就是特殊与一般思想.在解数学选择题时,由选择题题型的特殊性,只完成第一步就可得出答案.
例5(2012湖北理21)设A是单位圆x2y2=1上的任意一点,I是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线I上,且满足|DM丰m|DACn且0,=.m当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;
(H)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m,使得对任意的k・0,都
有PQ_PH?
若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.解析:
(I)如图1,设M(x,y),
可得x=:
Xo,|y|=m|yo|,所以
因为点H在直线QN上,所以y2-kx1=2kx2
是PQ=(-2x1,_2kxJ,PH=(X2_洛,y?
_kxj=(
故存在m=2,使得在其对应的椭圆x2y1上,对任意的k0,都有PQ_PH.
2
k=:
1,求出m=』2,再证当
在做此题之前,我们怎么知道0:
:
:
m:
:
:
1时不存在呢?
是否两种都要做?
其实我们一
可以从图形发现;二可以淡化分类,从方程入手;三是先取
m='(2时,对-k0,均有PQ_PH.
(二)基本解题方法
1•联立方程法
联立方程法是《解析几何》中最基本、适用范围最广的一种方法,一般考虑把直线方程
与圆锥曲线方程联立组成方程组,通过消去一个未知数得到一元二次方程,利用韦达定理,结合其他条件去解决问题.
联立方程法几乎适合所有的解析几何题.
2.点差法
设一圆锥曲线mx2•ny2=1(mn=0,且m,n不全为负数)上两点A(x1,y1),
r22_
B(X2,y2),则mx2ny12=,上式-下式并整理得:
mx2+ny2=1
mg-X2)(XiX2)n(%*2)(%y2)=0
则kAB
mxo
ny°
AB的斜率,已知AB的斜率可得出AB中点的坐标
这说明已知AB中点的坐标可求出之间的关系,这就是所谓的“点差法”
点差法主要适用于直线与圆锥曲线相交时,有关线段中点与斜率的问题,解答过程非常
简洁.
3•点坐标法
2
2y
变量也更少,便于把握及运算,这就是所谓的“点坐标法”线很难适用.
已知抛物线y=2px(p0),我们可设抛物线上的点(丄,y°),这样非常直观明了,2p
,它适合于抛物线,椭圆与双曲
例6(2011浙江理21)已知抛物线G:
x2二y,圆C2:
x2•(y-4)2=1的圆心为点M
(I)求点M到抛物线G的准线的距离;
即y二kx「ax0
即(x?
")k22xo(4-x2)k(x2-4)2-1=0.
设pa,pb的斜率为k1,k2(k^-k2),则K’k?
是上述方程的两根,所以
ki“^^峡用-4)2-1
将①代入y=x2得x2「kx•kx^「X?
=0,
由于xo是此方程的根,
故Xi二匕-xo,x?
二k?
-xo,所以
所以直线l的方程为科二3J15X4.
115
222
*本题的点P(Xo,Xo)、A(Xi,X\)、B(X2,X2)的设法就是点坐标法,这样减少了变量,
便于计算和把握.
处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够•所谓“算”,主要讲的是算理和
算法•算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,
一个是里,一个是现象,一个是本质•有时候算理和算法并不是截然区分的•例如:
三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几部分来算?
在具体处
理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点.
处理解析几何问题,我们总是要设许多的量X,、y,,X2、y2,X0、y0---等。
但最终
都要把它们化掉,这种设而不求思想贯穿解题过程的始终。
解析几何问题虽然繁琐复杂,但总有规律可循:
联立方程求交点、韦达定理求弦长,根
的分布定范围,曲线定义不能忘,引参用参巧解题,数形结合思路明,设而不求方法好,一点破译全局活。
(三)《圆锥曲线》中的动中有静”问题
1•以过椭圆的焦点弦AB为直径的圆与椭圆的相应准线相离;
以过双曲线的焦点弦AB为直径的圆与椭圆的相应准线相交;
以过抛物线的焦点弦AB为直径的圆与椭圆的相应准线相切;
22
2.过椭圆笃•%=1(ab0)的右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,B'
ab
AB,若M为椭圆左准线I与x轴的交点,贝UMF恒为.AMB的内角平分线.
*双曲线(A、B在同一支上),抛物线均有类似的性质.
22
4.设F1、F2是椭圆~2y^-1(ab0)的左右焦点,M是椭圆上一动点,由F2ab
向.F1MF2的外角平分线做垂线,垂足为N,则点N的轨迹方程为:
x2y^a2.
22
*设F1、F2是双曲线笃-与=1(a0,b0)的左右焦点,Q是椭圆上一动点,
ab
从F,向.FQF2的内角平分线做垂线,垂足为N,则点N的轨迹方程为:
x2•y2二a2.
22
F2是左右焦点,点I为
5.已知M是椭圆y^=1(ab0)上任意一点,Rab
22
Xy
*已知M是双曲线—2=1(a0,b0)上任意一点,Fi、F2是左右焦点,
ab
则lMF1F2的内切圆与x轴相切与定点.
2
計1(排除A、A'两
2
的两个交点,则直线A'P与AQ的交点M的轨迹方程是C2:
冷
a
点).
*若把C1和C2互换,则命题也成立.
22
7.已知椭圆~2+与=1(a>bAO),P为椭圆上任意异于左右顶点的点,A、A'
ab
22
*已知双曲线~^2=1(a>0,br>0),P为双曲线上任意异于左右顶点的点,A、
ab
22
&已知椭圆笃•占=1(ab0),其右准线I交x轴与点A,左右顶点分别为A、
ab
A,Q是I上任意一点,直线QA,、QA2与椭圆的另一个交点分别为M、N,则直线MN恒过右焦点.
22
10.若点M为椭圆%■占=1(ab-0)左准线与x轴的交点,椭圆的左焦点为F,
ab
过点M作一直线l交椭圆于P、Q两点.Q关于x轴对称的点为Q1,则PQ恒过左焦点F.
Xy
11•动直线丨与双曲线—r=1(a0,b0)及其渐近线交于A、B、C、D
ab
四点,贝UAB=CD•(A、D在同一支上结论仍然成立)
22
12•动直线MN与双曲线C:
~2每=1(a0,b0)的左、右两支分别交于M、
ab
N两点,与双曲线C的由准线相交于P点,F为右焦点,贝UPF恒为•MFN的内角平分线.
22
Xy
13.已知点P为双曲线C:
—22=1(a0,b0)上除顶点外的任意一点,F|、
ab
otP
F2是左右焦点,•PRF2-二•,•PF2R=:
,则(ca)tanc(-a)tan(其中
22
c=-a2b2).
22
xy
14.已知双曲线C:
—2=1(a0,b0),过其左焦点F(-c,0)的直线交双
ab
2
15•已知点A(X1,yJ,B(X2,y2)为抛物线y=2px(p0)上任意两点,
则%y2(m为定值)=直线AB恒过定点,0).
2p
动中有静,变化中的不变是数学研究中的一大问题,也是高考的热点之一,仔细研究这些年的高考题,大家应深有体会.
三.教学建议
1.关注教材与考试要求的变化
1)新教材删减的内容
1两条直线的交角;②椭圆的第二定义、准线与非标准的椭圆方程;
3双曲线的第二定义、准线及非标准的双曲线方程;
4圆锥曲线的参数方程到《选修4-4》
2)新教材增加的内容
1极坐标系的有关概念(理科)
2直线与圆锥曲线的参数方程(理科)
3两种坐标下的量的转化
3)降低了考试要求的内容
1“双曲线”的考试要求从“理解“降低为“了解“
2“抛物线“的考试要求从“理解“降低为“了解“(文科)
3曲线与方程的概念降低了考试要求.
4)提高了考试要求的内容:
1更突出思想方法的灌输,注重培养学生的能力.
2突出了怎样用定义.
2.教学中要重点关注的问题
1)把握好新《课程标准》,吃透教材.
2)夯实双基,回归本原(章建跃教授说过:
数学最本原的东西是概念)
3)注重数学思想方法的灌输
4)拓展学生解题思路,培养学生解决问题的能力
5)重视教学反思,加强归纳总结.
四.2013年高考《解析几何》趋势与展望
1.题量保持在2-3个小题,一个解答题,分值22-28分.2.难度和这两年持平,从考试院来的消息说今年理科的难度系数比较恰当.3.关注直线与圆锥曲线的基本问题,把握好基本的解题技巧与方法.
4.注重直线与圆锥曲线的位置关系问题,把握好有关弦长、面积、最值、不动点、参数、
轨迹等问题.
5.关注以解析几何知识为载体,结合向量、导数、不等式、平面几何等知识,构成知识交汇的问题.
最后谈一谈与陶平生教授交流的一些体会,陶教授谈了他多年来的命题思路与构想.
1.逆向推演,顺瓜摸藤
2.意料之外、情理之中
3.旁敲侧击、暗度陈仓
4.联想类比、由此及彼
5.运用之妙、存乎一心(七心)
6.小中见大,得陇望蜀
7.移花接木,适度转换
8.居高临下,因流溯源.
9.标新立异,借题发挥
10.寓题于乐,玩出新意(王元教授“数学竞赛好”)题目是:
此中有真意,欲辩无忘言结尾是:
曲终人不见,江上数峰青
本讲座参考了戴佳珉老师主编的《普通高中课程标准数学高考考情解读》(北师大出版
社出版).黄根发老师、陶平生老师的一些文章与讲座,在此表示感谢.
谢谢大家!
江西省临川二中尧林华
2012.09.02
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