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数学物理方程小结
数学物理方程小结
第七章数学物理定解问题
数学物理定解问题包含两个部分:
数学物理方程(即泛定方程)和定解条件。
§7.1数学物理方程的导出
一般方法:
第一确定所要研究的物理量u,第二分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律,抓住主要矛盾,忽略次要矛盾。
(在数学上为忽略高级小量.)第三然后再把物理量u随时间,空间的变为通过数学算式表示出来,此表示式即为数学物理方程。
(一)三类典型的数学物理方程
(1)波动方程:
此方程适用于各类波动问题。
(特别是微小振动情况.)
(2)输运方程:
此方程适用于热传导问题、扩散问题。
(3)Laplace方程:
稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace方程,静电势u在电荷密度为零处也满足Laplace方程。
§7.2定解条件
定解条件包含初始条件与边界条件。
(1)初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。
例如波动方程应有二个初始条件,一般选初始位移u(x,o)和初始速度ut(x,0)。
而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u(x,o),而Laplace方程没有初始条件。
(2)三类边界条件
第一类边界条件:
u(r,t)|Σ=f
(1)
第二类边界条件:
un|Σ=f
(2)
第三类边界条件:
(u+Hun)|Σ=f(3)
其中H为常数.
7.3二阶线性偏微分方程分类
判别式
波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.
7.4达朗贝尔公式
对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为
对半无界问题作延拓处理:
对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.
第八章分离变量法
8.1分离变量法
主要步骤:
1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的.
•2.分离变量u(x,t)=X(x)T(t)
(1)[以后对三维问题也是如此]
•3.将
(1)式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程,(称为本征方程)而λ为本征值.
•4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)
•5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解.
•6.再由初始条件确定系数.
一维波动方程在第一类齐次边界条件下的
一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:
一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解:
一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解:
对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解.
8.2非齐次边界条件的处理
常用方法有1)直线法:
对边界条件为:
u(0,t)=g(t),u(L,t)=h(t).
令
可把边界条件化为齐次,但一般情况下方程变为非齐次.•只有当g,h为常数时,方程才不变.
2)特解法
•把u化为两部分,令u=v+w使v满足齐次边界条件与齐次方程,而使w满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法.
•例题求解下列定解问题
•Utt-a2Uxx=0
•U|x=0=0,U|x=L=ASinωt
•U|t=0=0,Ut∣t=0=0
•(其中A、ω为常数,0<x<L,0<t)
•解:
令u=v+w,使w满足波动方程与非齐次边界条件,
•得出
..
第九章二阶常微分方程的级数解法
本征值问题
第九章
一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.
1.拉普拉斯方程在球坐标下的通解:
其中Ylm为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件.
在轴对称时
(1)式退化为
2.拉普拉斯方程在柱坐标下:
(5)式其解为m阶Bessel函数,
解依赖于边界条件,当侧面边界条件是齐次时,
μ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.
3.亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.
在球坐标下:
其中Y为球函数,R为球贝塞尔函数.
在柱坐标下:
.
(5)式其解为m阶Bessel函数,
二、常微分方程的级数解法
1.掌握常点邻域的级数解法.
2.掌握正则奇点邻域的级数解法.
3.知道无穷级数退化为多项式的方法.
三.知道Sturm-Livouville本征值问题的共同性质
•当k(x),q(x)和ρ(x)都只取非负的值(≥0),Sturm-Livouville方程共同性质为:
•1)当k(x),k’(x)和q(x)连续且x=a和x=b最多为一阶极点时,存在无限多个本征值及对应的本征函数:
•
•2)所有本征值λn≥0
•3)对应于不同本征值的本征函数带权正交
•
4)本征函数族构成完备系
第一十章球函数
一、对称的球函数
当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴
为z轴这时物理量u就与φ无关,m=0.
那末球函数Y(θ,φ)就为L阶勒让德多项式.即Y=Pl(cosθ)
1)勒让德多项式
1.勒让德多项式级数形式:
2.勒让德多项式微分形式:
二、
3.前几项为:
P0(x)=1,P1(x)=x=cosθ,
•P2(x)=(3x2-1)/2,…..
•一般勒让德多项式的幂次取决L
•当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项.对特殊点x=1,0.
•4.勒让德多项式正交关系
(3)
•5.勒让德多项式的模
(4)
•6.广义傅里叶级数:
当f(x)在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1有限时.
(5)
•7.在球坐标下Laplace方程:
△u=0的通解为:
(6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0,
•u有限,
(7)
•而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球面的边界条件与r→∞,两个条件确定.
8.母函数
(8)
9.递推公式
二.连带勒让德函数
•在一般情况下,物理量u与φ有关,故球函数Y是连带勒让德函数与周期函数的乘积.
1.连带勒让德函数
(1)
2.连带勒让德函数的微分表示
2.
(2)
从
(2)可得当L一定时,m的取值为m=0,1,2…L.共有L+1个值.
3.正交关系
•
.
.
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