全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题汇总附答案解析docx.docx
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2020-2021全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题汇总附答案解析
一、一元二次方程
1.随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家
庭,汽车消费成为新亮点.抽样调查显示,截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万
辆.已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆.
(1)求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率;
(2)为保护城市环境,要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆,据估计从
2008年底起,此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%,那么每年新增汽车数
量最多不超过多少辆?
(假定每年新增汽车数量相同)
【答案】详见解析
【解析】
试题分析:
(1)主要考查增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)解决
问题;
(2)参照增长率问题的一般规律,表示出2010年的汽车拥有量,然后根据关键语列出不
等式来判断正确的解.
试题解析:
(1)设年平均增长率为x,根据题意得:
10(1+x)
2=14.4,
解得x=﹣2.2(不合题意舍去)x=0.2,
答:
年平均增长率为20%;
(2)设每年新增汽车数量最多不超过y万辆,根据题意得:
2009年底汽车数量为14.4×90%+,y
2010年底汽车数量为(14.4×90%+)y×90%+,y
∴(14.4×90%+)y×90%+y≤15.464,
∴y≤2.
答:
每年新增汽车数量最多不超过2万辆.
考点:
一元二次方程—增长率的问题
2.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),
其对称轴l为x=﹣1.
(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;
(2)若动点P在第二象限内的抛物线上,动点N在对称轴l上.
①当PA⊥NA,且PA=NA时,求此时点P的坐标;
②当四边形PABC的面积最大时,求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标.
【答案】
(1)y=﹣(x+1)
2+4,顶点坐标为(﹣1,4);
(2)①点P(﹣2﹣1,
2);②P(﹣
3
2
,
15
4
)
【解析】
试题分析:
(1)将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式,由对称轴为x1即可得到
抛物线的解析式;
(2)①首先求得抛物线与x轴的交点坐标,然后根据已知条件得到PD=OA,从而得到方
程求得x的值即可求得点P的坐标;
②S四边形ABCP=SΔOBCSΔAPDS梯形PDOC,表示出来得到二次函数,求得最值即可.
试题解析:
(1)∵抛物线
2
yaxbxc与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于
abc
0
a
1
{c3
点C(0,3),其对称轴l为x1,∴
,解得:
,∴二次函数的
{b2
b
1
c3
2a
解析式为
223
yxx=
2
(x1)4,∴顶点坐标为(﹣1,4);
(2)令
2230
yxx,解得x3或x1,∴点A(﹣3,0),B(1,0),作
PD⊥x轴于点D,∵点P在
223
yxx上,∴设点P(x,
223
xx),
①∵PA⊥NA,且PA=NA,∴△PAD≌△AND,∴OA=PD,即
2232
yxx,解得
x=21(舍去)或x=21,∴点P(21,2);
②设P(x,y),则
yx22x3,∵SABCP=SΔOBCSΔAPDSPDOC
四边形梯形
=
1
2
1
2
OB?
OC+
1
2
AD?
PD+
111
(PD+OC)?
OD=31+(3x)y(y3)(x)=
222
333
xy
222
=
333
2
x(x2x3)=
222
39
2
xx6=
22
3375
2
(x),
228
∴当x=
3
2
时,S四边形ABCP最大值=
75
8
,当x=
3
2
时,
223
yxx=
15
4
,此时P
(
3
2
,
15
4
).
考点:
1.二次函数综合题;2.二次函数的最值;3.最值问题;4.压轴题.
3.某中心城市有一楼盘,开发商准备以每平方米7000元价格出售,由于国家出台了有关
调控房地产的政策,开发商经过两次下调销售价格后,决定以每平方米5670元的价格销
售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)房产销售经理向开发商建议:
先公布下调5%,再下调15%,这样更有吸引力,请问
房产销售经理的方案对购房者是否更优惠?
为什么?
【答案】
(1)平均每次下调的百分率为10%.
(2)房产销售经理的方案对购房者更优
惠.
【解析】
【分析】
(1)根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求,设出未知数,然后列方程求解即可;
(2)分别求出两种方式的增长率,然后比较即可.
【详解】
(1)设平均每次下调x%,则
7000(1﹣x)2=5670,解得:
x1=10%,x2=190%(不合题意,舍去);
答:
平均每次下调的百分率为10%.
(2)(1﹣5%)×(1﹣15%)=95%×85%=80.75%,(1﹣x)
2=(1﹣10%)2=81%.
∵80.75%<81%,∴房产销售经理的方案对购房者更优惠.
4.已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程(a﹣6)x2+2ax+a=0的两个实数根.
(1)求a的取值范围;
(2)若(x1+1)(x2+1)是负整数,求实数a的整数值.
【答案】
(1)a≥0且a≠6(;2)a的值为7、8、9或12.
【解析】
【分析】
(1)根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可;
(2)
根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣
2a
a6
a
,x1x2=,由(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=
a6
66
﹣是正整数.根据a是整数,即可求得a的值2.
是是负整数,即可得
a6a6
【详解】
(1)∵原方程有两实数根,
∴,
∴a≥0且a≠6.
2
(2)∵x1、x2是关于x的一元二次方程(a﹣6)x
+2ax+a=0的两个实数根,
∴x1+x2=﹣,x1x2=,
∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣.
∵(x1+1)(x2+1)是负整数,
∴﹣是负整数,即是正整数.
∵a是整数,
∴a﹣6的值为1、2、3或6,
∴a的值为7、8、9或12.
【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系,能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于
a的不等式是解此题的关键.
5.已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣4)﹣m
2=0.
(1)求证:
对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是2,求m的值及方程的另一个根.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)m的值为±2,方程的另一个根是5.
【解析】
【分析】
2-4ac证明判断即可;
(1)先把方程化为一般式,利用根的判别式△=b
(2)根据方程的根,利用代入法即可求解m的值,然后还原方程求出另一个解即可.
【详解】
(1)证明:
2=0,∵(x﹣3)(x﹣4)﹣m
22
∴x﹣7x+12﹣m
=0,
∴△=(﹣7)
2
∵m
≥0,
2﹣4(12﹣m2)=1+4m2,
∴△>0,
∴对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根;
(2)解:
∵方程的一个根是2,
2=0,解得m=±,
∴4﹣14+12﹣m
2
∴原方程为x﹣7x+10=0,解得x=2或x=5,
即m的值为±,方程的另一个根是5.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关
系是关键.
2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当△=b
2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当△=b
2-4ac<0时,方程没有实数根.
当△=b
2﹣x+a﹣1=0.6.已知关于x的一元二次方程x
(1)当a=﹣11时,解这个方程;
(2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值范围;
(3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值.
【答案】
(1)x13,x24
(2)
5
a≤(3)-4
4
【解析】
分析:
(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案;
(2)根据判别式即可求出a的范围;
(3)根据根与系数的关系即可求出答案.
详解:
(1)把a=﹣11代入方程,得x
2﹣x﹣12=0,(x+3)(x﹣4)=0,x+3=0或x﹣
4=0,∴x1=﹣3,x2=4;
(2)∵方程有两个实数根x1,x2,∴△≥0,即(﹣1)
2﹣4×1×(a﹣1)≥0,解得
5
:
a;
4
(3)∵x1,x2是方程的两个实数根,
2222
x1x1a10,x2x2a10,x1x1a1,x2x2a1.
∵[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,∴
22
2xx2xx9,把
1122
22
x1x1a1,x2x2a1代入,得:
[2+a﹣1][2+a﹣1]=9,即(1+a)
2=9,解得:
a=﹣4,a=2(舍去),所以a的值为﹣4.
点睛:
本题考查了一元二次方程,解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系.
7.图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究:
他用硬纸片做了两个三角形,分别为
△ABC和△DEF,其中∠B=90°,∠A=45°,BC=,∠F=90°,∠EDF=30,°EF=2.将△DEF
的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起,并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中,
D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).
(1)请回答李晨的问题:
若CD=10,则AD=;
(2)如图2,李晨同学连接FC,编制了如下问题,请你回答:
①∠FCD的最大度数为;
②当FC∥AB时,AD=;
③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形,且FC为斜边时,AD=;
④△FCD的面积s的取值范围是.
【答案】
(1)2;
(2)①60°;②;③;④.
【解析】
试题分析:
(1)根据等腰直角三角形的性质,求出AC的长,即可得到AD的长.
(2)①当点E与点C重合时,∠FCD的角度最大,据此求解即可.
②过点F作FH⊥AC于点H,应用等腰直角三角形的判定和性质,含30度角直角三角形的
性质求解即可.
③过点F作FH⊥AC于点H,AD=x,应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示,
根据勾股定理列式求解.
④设AD=x,把△FCD的面积s表示为x的函数,根据x的取值范围来确定s的取值范围.
试题解析:
(1)∵∠B=90°,∠A=45°,BC=,∴AC=12.
∵CD=10,∴AD=2.
(2)①∵∠F=90°,∠EDF=30°,∴∠DEF=60°.
∵当点E与点C重合时,∠FCD的角度最大,∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."
②如图,过点F作FH⊥AC于点H,
∵∠EDF=30°,EF=2,∴DF=.∴DH=3,FH=.
∵FC∥AB,∠A=45°,∴∠FCH="45°."∴HC=.∴DC=DH+HC=.
∵AC=12,∴AD=.
③如图,过点F作FH⊥AC于点H,设AD=x,
由②知DH=3,FH=,则HC=.
在Rt△CFH中,根据勾股定理,得.
∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形,且FC为斜边,
∴,即,解得.
④设AD=x,易知,即.
而,
当时,;当时,.
∴△FCD的面积s的取值范围是.
考点:
1.面动平移问题;2.等腰直角三角形的判定和性质;3.平行的性质;4.含30度角直
角三角形的性质;5.勾股定理;6.由实际问题列函数关系式;7.求函数值.
8.如图,在RtABC中,∠B90,AC10cm,BC6cm,现有两点P、Q的分
别从点A和点B同时出发,沿边AB,BC向终点C移动.已知点P,Q的速度分别为
2cm/s,1cm/s,且当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动,设P,Q两点移
动时间为xs.问是否存在这样的x,使得四边形APQC的面积等于16cm2?
若存在,请
求出此时x的值;若不存在,请说明理由.
【答案】假设不成立,四边形APQC面积的面积不能等于16cm2,理由见解析
【解析】
【分析】
根据题意,列出BQ、PB的表达式,再列出方程,判断根的情况.
【详解】
解:
∵B90,AC10,BC6,
∴AB8.
∴BQx,PB82x;
假设存在x的值,使得四边形APQC的面积等于16cm2,
则
11
68x82x16,
22
整理得:
x24x80,
∵1632160,
∴假设不成立,四边形APQC面积的面积不能等于16cm2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用,熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的
解题关键.
2﹣2x+m﹣2=0有两个不相等的实数根.
9.已知关于x的方程x
(1)求m的取值范围;
(2)如果m为正整数,且该方程的根都是整数,求m的值.
【答案】
(1)m<3;
(2)m=2.
【解析】
【分析】
(1)根据题意得出△>0,代入求出即可;
(2)求出m=1或2,代入后求出方程的解,即可得出答案.
【详解】
(1)∵方程有两个不相等的实数根.
∴△=4﹣4(m﹣2)>0.
∴m<3;
(2)∵m<3且m为正整数,
∴m=1或2.
当m=1时,原方程为x
2﹣2x﹣1=0.它的根不是整数,不符合题意,舍去;
2
当m=2时,原方程为x﹣2x=0.
∴x(x﹣2)=0.
∴x1=0,x2=2.符合题意.
综上所述,m=2.
【点睛】
本题考查了根的判别式和解一元二次方程,能根据题意求出m的值和m的范围是解此题
的关键.
10.工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要
将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)求长方体底面面积为12dm
2时,裁掉的正方形边
长多大?
【答案】裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm
2.
【解析】
试题分析:
设裁掉的正方形的边长为xdm,则制作无盖的长方体容器的长为(10-2x)
dm,宽为(6-2x)dm,根据长方体底面面积为12dm
2列出方程,解方程即可求得裁掉的正
方形边长.
试题解析:
设裁掉的正方形的边长为xdm,
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,
2-8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去),
即x
答:
裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm
2.
11.关于x的一元二次方程(k-2)x
2-4x+2=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
22
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x-4x+k=0与x+mx-1=0有一个相同的
根,求此时m的值.
【答案】
(1)k<4且k≠2(.2)m=0或m=
8
3
.
【解析】
分析:
(1)由题意,根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k的不等式
组,解不等式组即可求得对应的k的取值范围;
(2)由
(1)得到符合条件的k的值,代入原方程,解方程求得x的值,然后把所得x的
2+mx-1=0即可求得对应的m的值.
值分别代入方程x
详解:
(1)∵一元二次方程(k-2)x
2-4x+2=0有两个不相等的实数根,
∴△=16-8(k-2)=32-8k>0且k-2≠0.
解得:
k<4且k≠2.
(2)由
(1)可知,符合条件的:
k=3,
2
将k=3代入原方程得:
方程x
-4x+3=0,
解此方程得:
x1=1,x2=3.
2+mx-1=0,有1+m-1=0,解得m=0.
把x=1时,代入方程x
2+mx-1=0,有9+3m-1=0,解得m=
把x=3时,代入方程x
8
3
.
∴m=0或m=
8
3
.
点睛:
(1)知道“在一元二次方程
20?
(0)
axbxca中,当△=
240
bac时,方程
有两个不相等的实数根;当△=b24ac0时,方程有两个相等的实数根;
△=
240
bac时,方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键;
(2)解第2小题时,
需注意相同的根存在两种情况,解题时不要忽略了其中任何一种情况.
12.解方程:
(x
2+x)2+(x2+x)=6.
【答案】x1=﹣2,x2=1
【解析】
【分析】
2+x=y,将原方程变形整理为y2+y﹣6=0,求得y的值,然后再解一元二次方程即可.
设x
【详解】
2+x=y,则原方程变形为y2+y﹣6=0,
解:
设x
解得y1=﹣3,y2=2.
①当y=2时,x
2+x=2,即x2+x﹣2=0,
解得x1=﹣2,x2=1;
②当y=﹣3时,x
2+x=﹣3,即x2+x+3=0,
2
∵△=1﹣4×1×=31﹣12=﹣11<0,
∴此方程无解;
∴原方程的解为x1=﹣2,x2=1.
【点睛】
本题考查了换元法和一元二次方程的解法,设出元化简原方程是解答本题的关键.
13.阅读下面内容:
我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》,聪明的你可以发现:
当a>0,b>0时:
2
∵(ab)=a﹣2ab+b≥0
∴a+b≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
请利用上述结论解决以下问题:
(1)请直接写出答案:
当x>0时,x+
1
x
的最小值为.当x<0时,x+
1
x
的最大值
为;
(2)若y=
2710
xx
x1
,(x>﹣1),求y的最小值;
(3)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△AOB、△COD的面积分别为4
和9,求四边形ABCD面积的最小值.
【答案】
(1)2;﹣2.
(2)y的最小值为9;(3)四边形ABCD面积的最小值为25.
【解析】
【分析】
(1)当x>0时,按照公式a+b≥2ab(当且仅当a=b时取等号)来计算即可;当x<0
时,﹣x>0,
1
x
>0,则也可以按公式a+b≥2ab(当且仅当a=b时取等号)来计算;
(2)将y
2710
xx
x1
的分子变形,分别除以分母,展开,将含x的项用题中所给公式
求得最小值,再加上常数即可;
(3)设S△BOC=x,已知S△AOB=4,S△COD=9,由三角形面积公式可知:
S△BOC:
S△COD=S△AOB:
S△AOD,用含x的式子表示出S△AOD,再表示出四边形的面积,根据题中所给公式求得最小
值,加上常数即可.
【详解】
(1)当x>0时,x
1
x
2
x
1
x
2;
当x<0时,﹣x>0,
1
x
>0.
∵﹣x
1
x
2
x
1
x
2,∴则x
1
x
(﹣x
1
x
)≤﹣2,∴当x>0时,x
1
x
的最
小值为2.当x<0时,x
1
x
的最大值为﹣2.
故答案为:
2,﹣2.
(2)∵x>﹣1,∴x+1>0,∴y
2710
xx
x1
2
(x1)5x14
x1
=(x+1)
44
5≥2x1
5=4+5=9,∴y的最小值为9.x
1x1
(3)设S△BOC=x,已知S△AOB=4,S△COD=9
则由等高三角形可
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