高中数学 23 等差数列的前n项和教案4 新人教版必修5.docx

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高中数学23等差数列的前n项和教案4新人教版必修5

2019-2020年高中数学2．3等差数列的前n项和教案4新人教版必修5

教材分析

等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题．在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法．

教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路的形成．

教学目标

1.通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力．

2.理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．

3.在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法．

任务分析

这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．

对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题．对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸．

教学设计

一、问题情景

1.在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：

“1＋2＋3＋…＋100＝？

”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？

他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．

2.受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．

3.高斯的方法妙在哪里呢？

这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？

二、建立模型

1.数列的前ｎ项和定义

对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．

2.等差数列的求和公式

（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？

对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：

Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，　　　　　　　　　　　　　　　　①

依据高斯算法，将Sn表示为Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．　　　　②

由此得到等差数列的前ｎ项和公式

小结：

这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．

（2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？

（３）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？

学生讨论后，教师总结：

相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等差数列的性质：

前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．

三、解释应用

［例　题］

1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn．

（1）ａ1＝—4，ａ8＝—18，ｎ＝8．

（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．

注：

恰当选用公式进行计算．

2.已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？

分析：

将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于ａ1与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1与ｄ，从而得到所求前ｎ项和的公式．

解：

由题意知

注：

（1）教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn这五个量知其三便可求其二．

（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法．例如，

3.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：

从xx年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，xx年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从xx年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

教师引学生分析：

每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．

解：

根据题意，从xx～xx年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列｛ａn｝，表示从xx年起各年投入的资金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50．

那么，到xx年（ｎ＝10），投入的资金总额为

答：

从xx～xx年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．

注：

教师引导学生规范应用题的解题步骤．

4.已知数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn＝ｎ2＋ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？

如果是，它的首项与公差分别是什么？

解：

根据

由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为，公差为2的等差数列．

思考：

一般地，数列｛ａn｝前ｎ项和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），这时｛ａn｝是等差数列吗？

为什么？

［练　习］

1.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：

从时速10ｋｍ／ｈ开始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果测试时间是30ｓ，测试距离是多长？

2.已知数列｛ａn｝的前ｎ项的和为Sn＝ｎ2＋ｎ＋4，求这个数列的通项公式．

3.求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．

四、拓展延伸

1.数列｛ａn｝前ｎ项和Sn为Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０），则｛ａn｝成等差数列的条件是什么？

2.已知等差数列5，4，3，…的前ｎ项和为Sn，求使Sn最大的序号ｎ的值．

分析1：

等差数列的前ｎ项和公式可以写成Sn＝ｎ2＋（ａ1－）ｎ，所以Sn可以看成函数ｙ＝x2＋（ａ1－）ｘ（ｘ∈N*）．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道Sn关于ｎ的图像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以利用二次函数来求ｎ的值．

解：

由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，所以

于是，当ｎ取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值．

分析2：

因为公差ｄ＝－＜０，所以此数列为递减数列，如果知道从哪一项开始它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或者是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使然后从中求出ｎ．

2019-2020年高中数学2．3等差数列的前n项和教案5新人教版必修5

一、教材分析

1.教材地位与作用

本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：

1．从特殊到一般的研究方法；

2．等差数列的基本元表示；

3．逆序相加求和。

不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

2.教学目标

知识与技能目标：

掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

过程与方法目标：

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

情感、态度与价值观目标：

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

3.教学重点、难点

•等差数列前n项和公式是重点。

•获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

二、教法分析

教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。

探索与发现公式推导的思路是教学的重点。

如果直接介绍“逆序相加”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”。

所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。

应用公式也是教学的重点。

为了让学生较熟练掌握公式，可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成

三、学法分析

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。

在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

四、教学过程

1．问题呈现

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

设计说明

•源于历史，富有人文气息.

•图中算数，激发学习兴趣.

•承上启下，探讨高斯算法.

2．2.探究发现

学生叙述高斯首尾配对的方法

学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。

为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题。

问题1：

图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，通过前后比较得出认识：

高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。

进而提出有无简单的方法

借助几何图形之直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：

把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形

设计说明

几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。

只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。

从而渗透了数形结合的数学思想。

问题2：

求1到n的正整数之和。

从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，旨在让学生体验“逆序相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进。

问题3：

如何求等差数列{an}前n项和sn?

由于前面的铺垫，学生容易得出如下过程：

图形直观

等差数列的性质（如果m+n=p+q那么am+an=ap+aq）

设计说明

（方法1）许多的教学设计在介绍“等差数列前n项和”教学时，先复习或介绍等差数列的性质，然后在此基础上采用逆序相加推导公式。

（方法2）《数学》第一册（上）（人民教育出版社）介绍的推导方法是先把等差数列用项（首项、尾项）、公差两个基本元表示，然后采用逆序相加推导公式。

方法1是以学生掌握了等差数列的性质（教材内容始终未出现，增加了学生的负担）为基础的，起点比较高，因而方法显得抽象一些，不容易被学生理解和信服。

方法2的关键是等差数列的基本元表示——只要给定首项（尾项）和公差就可以确定该等差数列，反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列的理解。

而且方法仅以等差数列的定义为基础，乃是学生熟悉的背景知识，因而显得比较直观，令人信服。

3.公式应用

（1）选用公式

例1某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：

m）是：

这位长跑运动员7天共跑了多少米？

本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、尾项、项数出发，使用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和。

通过两种方法的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。

（2）变用公式

例2等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？

本例已知首项，前n项和、并且可以求出公差，利用公式2求项数。

事实上，在两个求和公式中各包含四个元素，从方程的角度，知三必能求余一。

（3）知三求二

例3.在等差数列{an}中，已知d=20，n=37，sn=629，求a1和an。

本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。

事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、尾项、前n项和五个元素，如果已知其中三个，联列方程组，就可求其余二个。

课堂小结

•回顾从特殊到一般的研究方法；

•体会等差数列的基本元表示方法，逆序相加的算法，及数形结合的数学思想；

•掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。

作业布置

课本，练习1、2、3；习题3.3第2题（3、４）