第一讲相似三角形比例线段.docx
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第一讲相似三角形比例线段
第一讲相似三角形一一相似与比例线段
第一课时
1.放缩与相似
1.相似形的概念
一般地,把一个图形放大或缩小,得到的图形和原来的图形,形状一定相同。
我们把形状相
同的两个图形叫做相似形。
2.相似形的特征
(1)相似三角形的特征
.■1川凸弋丿萨“弋’*
ZA'=ZA;ZB'=ZB;ZC'=ZC
ABAG
ABAC
BQ=k
BC
(2)相似多边形的特征
推论:
如果两个多边形相似,他们必定同为n边形,而且各角对应相等,各边对应成比例。
【典型例题】
1.如果一张地图的比例尺为1:
3000000,在地图上量得大连到长春的距离为25cm,那么
长春到大连的实际距离为千米。
【同类变式】
2.在地图上,都标有比例尺。
现在一张比例尺为1:
5000的图纸上,量得?
ABC的三边:
AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际?
A'B'C'的周长是多少米?
3.某两地在比例尺为1:
5000000的地图上的距离是30cm,两地的实际距离是多少?
如果
5.一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形,求原长方形的长与宽之比。
【同类变式】
6.E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点,若矩形ABCD与矩形EABF相似,AB=1。
求矩形ABCD的面积。
7.在相同时刻的物高和影长成正比例,如果在某时,旗杆在地面上的影长为10m此时身高是1.8米,小明的影长是1.5米,求旗杆的高度。
8.把一个矩形截去一个正方形后,所剩的矩形与原矩形是否相似?
若相似说明理由;若不
相似,问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似?
2.比例线段
(1)线段的比:
我们把两条线段的长度叫做线段的比。
记作a:
b或-。
b
⑵比例线段:
在四条线段abcd中,其中两条线段a,b的比等于两条线段c,d的比,即
ac
,那个这四条线段叫做比例线段。
其中,abcd叫做成比例的项。
bd
(3)比例外项,比例内项,第四比例项
⑷比例中项:
如果比例内项的两条线段是相等的,即a:
b=b:
c,那么线段b叫做线段的比例
中项。
★比例的性质
(1)比例的基本性质
ac
ad=bc(运用等式的基本性质)
bd
特别地,a:
b=b:
c,那么b2=ac,反之亦然⑵合比,分比性质
d,那么
cd
(两种证明方法),
d
(3)等比性质
推论1
a2
a3-
an
a1
.a2=
.=空=k
bi
b2
b3-
■-bn
bi
b2
bn
注意bi+b2+b3+...+bn工0⑷反比性质
丄macbd
如果,那么一
bdac
(5)更比性质
acabde
如果,那么(父换内项)或(父换外项)
bdedba
【典型例题】
1.
(1)已知a,b,e,d是成比例线段,其中a=3,b=2,e=6,求d的大小
⑵已知线段a,b,e其中一条线段是另两条线段的比例中项,且a=3,b=6,求e的大小
第二课时
3.黄金分割★黄金分割:
当AP:
AB=上土1~0.618,我们称之为黄金分割。
2
——I:
51
注⑴黄金分割数寸不是一条线段的长。
它指的是一条线段被点P黄金分割所分成的两条线段中较长的线段比上原线段的比值。
⑵条件Ap>pB,Ap:
AB=v是在这个前提下才能成立
(3)黄金分割清晰定义:
线段上一点把它分成两条线段,其中较长线段是较短线段与原
线段的比例中项,这种分割叫做黄金分割。
1.
(1)已知线段AB=10cm,点C是AB的黄金分割点,且AC>BC,求线段AC和BC的长。
(2)乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器面上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点。
求CD的长。
【同类变式】
2.已知线段AB的长为4cm,P是线段AB的黄金分割点,则线段BP的长是多少?
是线段AD的黄金分割点。
求证:
AC=BD
ac
4.有以下命题:
①如果线段d是a,b,c的第四比例项;则有②如果点C是线段AB
bd
的中点,那么AC是AB、BC的比例中项,③如果C是线段AB的黄金分割点,且AC
>BC那么AC是AB与BC的比例中项;④如果点C是线段AB的黄金分割点,AC>
BC,且AB=2,则AC=.51。
其中判断正确的是。
5.在矩形ABCD中截取正方形ABMN,已知MN是BC和CM的比例中项,CM=
3—..5,求AD的长。
四•同高的两个三角形的面积比等于对应底边的比
AE
EC
AD
1.如图,已知SADE9,SCDE6,SBDC10•求证:
DB
2.已知,梯形ABCD中,AD//BC,Sdoc4,Sboc8,分别求出厶AOB,△XOD面积并分
DOAO堺
另求出和的值。
BOOC
3.在AABC中,AD=1,DC=2,AB=4,点E是AB上一点,且△DEC的面积等于△ABC
的面积的一半,求线段EB的长。
4.已知在△ABC中,点E为AB的中点,做平行四边形BCDE,由点C向AB,DE上作垂线
作业:
一、填空题
1•如果线段a=3,b=12,那么线段a、b的比例中项x=
2、线段a=2cm,b=3cm,c=1cm,那么a、b、c的第四比例项d=
3.
在x:
6=(5+x):
2中的x=;2:
3=(5-x):
x中的x=.
5.右a:
3=b:
4=c:
5,且a+b-c=6,贝Ua=
6.已知x:
y:
z=3:
4:
5,且x+y+z=12,那么x=,y=
8.已知x:
4=y:
5=z:
6,贝U①x:
y:
z=,②(x+y)
(y+z)=:
9.若x2y-,则-.
y3y
10.图纸上画出的某个零件的长是32mm,如果比例尺是1:
20,这个零件的
实际长是
11.如图,已知AB:
DB=AC:
EC,AD=15cm,AB=40cm,
AC=28cm,贝UAE=;
12.已知,线段a=2cm,c(2.、3)cm,则线段a、c的比例
中项b是.
11题图)
二、选择题
,则a:
b的值为(
1.已知一矩形的长a=1.35m,宽b=60cm
3.如果线段a=4,b=16,c=8,那么a、b、c的第四比例项d为()
(A)8(B)16(C)24(D)32
4.已知a-,则S的值为()
b3b
3453
(A)2(B)3(C)-(D)-
2335
5.已知x:
y:
z=1:
2:
3,且2x+y-3z=-15,则x的值为()
(A)-2(B)2(C)3(D)-3
6.在比例尺为1:
38000的南京交通游览图上,玄武湖隧道长约为7cm,它的
实际长度约为(
)(A)0.226km(B)2.66km(C)26.6km(D)266km
7•某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度,在同一时刻,量得某一同学的身高是
1.5米,影长是1米,旗杆的影长是8米,则旗杆的高度是()
(A)12米(B)11米(C)10米(D)9米
8•已知点C是AB的黄金分割点(AC>BC),若AB=4cm,则AC的长为()
(A)(2-:
5-2)cm(B)(6-2-)cm(C)(一;‘5-1)cm
(D)(3-'5)cm
ADAE
9.若D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,且=,那么下列各式中
ABAC
正确的是(
)
AD
DE
AB
AE
DB
AB
AD
AE
(A)db:
=BC
(B)—'7AD
=AC
(C)=
EC
AC
(D)Db
=AC
10.若k
一2b
b2cc
2a
且a+b+c工0,
则k的值为(
)
c
a
b,
(A)-1
1
(B)-
2
(C)1
1
(D)-
2
三、解答题
1.已知3y|0,求下列各式的值:
⑴十⑵栄貯
-abbcca,,,,亠
2.已知一-一一0,求x+y+z的值.
xyz
3.已知a、b、c为AABC的三边,且a+b+c=60cm,a:
b:
c=3:
4:
5,求AABC的面积.
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