八年级数学与三角形有关的计算与证明专题分类练习.docx
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八年级数学与三角形有关的计算与证明专题分类练习
八年级数学
与三角形有关的计算与证明专题分类练习
题组
(一) 证明角相等
类型1 利用内、外角和进行简单证明
1.如图,在△ACB中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.
(1)求证:
∠ACD=∠B;
(2)若AF平分∠CAB分别交CD,BC于点E,F,求证:
∠CEF=∠CFE.
证明:
(1)∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°.
∴∠ACD=∠B.
(2)在Rt△AFC中,∠CFE=90°-∠CAF,
在Rt△AED中,∠AED=90°-∠DAE.
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAE.
∴∠AED=∠CFE.
又∵∠CEF=∠AED,
∴∠CEF=∠CFE.
类型2 运用全等进行证明
2.已知:
如图,A,E,B三点在一条直线上,B,D,C三点在一条直线上,且AB=BC,BD=BE,AD交CE于F点,连接BF.求证:
(1)∠A=∠C;
(2)BF平分∠ABC.
证明:
(1)在△ABD和△CBE中,
∴△ABD≌△CBE(SAS).
∴∠A=∠C.
(2)∵AB=BC,BE=BD,
∴AE=CD.
又∵∠A=∠C,∠AFE=∠CFD,
∴△AFE≌△CFD(AAS).
∴EF=DF.
又∵BE=BD,BF=BF,
∴△BFE≌△BFD(SSS).
∴∠FBE=∠FBD.
∴BF平分∠ABC.
3.如图,△ACB和△ECD都是等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
(1)求证:
AD=BE;
(2)求∠AEB的度数.
解:
(1)证明:
∵△ACB和△ECD都是
等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE.
(2)在等边△ECD中,∠CDE=∠CED=60°,
∴∠ADC=120°.
∵△ACD≌△BCE,
∴∠BEC=∠ADC=120°.
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
4.如图,点D在CB的延长线上,DB=CB,点E在AB上,连接DE,DE=AC,求证:
∠A=∠DEB.
证明:
延长EB到点F,使得BF=BE,连接CF.
∵BE=BF,∠DBE=∠CBF,BD=BC,
∴△BDE≌△BCF(SAS).
∴DE=CF=AC,∠DEB=∠F.
∴∠F=∠A.
∴∠A=∠DEB.
类型3 运用等腰三角形(或线段垂直平分线)的性质进行证明与计算
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC的中点,DE⊥AB.
(1)求证:
∠BAC=2∠BDE;
(2)若AC=4,DE=3,求△ABC的面积.
解:
(1)证明:
∵AB=AC,D为边BC的中点,
∴∠DAC=∠DAB,AD⊥BC.
∵DE⊥AB,
∴∠BDE+∠B=∠DAB+∠B=90°.
∴∠BDE=∠DAB=∠DAC.
∴∠BAC=2∠BDE.
(2)∵AB=AC=4,DE=3,∴S△ABD=6.
∵CD=BD,∴S△ACD=6.
∴S△ABC=12.
6.如图,在四边形ABCD中,M,N分别是CD,BC的中点,且AM⊥CD,AN⊥BC.
(1)求证:
∠BAD=2∠MAN;
(2)连接BD,若∠MAN=70°,∠DBC=40°,求∠ABC的度数.
解:
(1)证明:
连接AC.
在△ABC中,∵AN⊥BC,N为BC中点,
∴AN平分∠BAC,即∠BAN=∠CAN.
同理:
∠CAM=∠DAM.
∴∠BAD=∠BAN+∠CAN+∠CAM+∠DAM=2(∠CAN+∠CAM)=2∠MAN.
(2)∵∠BAD=2∠MAN,∠MAN=70°,
∴∠BAD=140°.
∵AN⊥BC,N为BC中点,∴AB=AC.
∵AM⊥CD,M为CD中点,∴AC=AD.
∴AB=AD.
∴∠ABD=∠ADC=
=20°.
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°.
题组
(二) 证明线段之间的位置关系
类型1 证明线段平行
思路:
先证明角相等,然后利用平行线的判定证明两直线平行
7.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,且FB=CE,∠A=∠D,∠ACB=∠DFE,求证:
(1)△ACB≌△DFE;
(2)AB∥DE.
证明:
(1)∵FB=CE,
∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF.
在△ACB和△DFE中,
∴△ACB≌△DFE(AAS).
(2)∵△ACB≌△DFE,
∴∠B=∠E.
∴AB∥DE.
类型2 证明线段垂直
思路一:
证明角为90°
8.如图,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且有BF=AC,FD=CD.求证:
BE⊥AC.
证明:
∵AD为△ABC的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△BDF和Rt△ADC中,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL).
∴∠1=∠2.
∵∠1+∠BFD=90°,∠BFD=∠AFE,
∴∠2+∠AFE=90°.
∴∠BEA=90°.
∴BE⊥AC.
思路二:
等腰三角形三线合一
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:
AD⊥EF.
证明:
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD平分∠BAC.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴AE=AF.
又∵AD平分∠BAC,
∴AD⊥EF.
10.如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,△ABD和△BCE是等边三角形,连接CD,CE.求证:
BD⊥CE.
证明:
∵△ABD和△BCE是等边三角形,
∴CB=EB,∠CBE=∠ABD=60°.
又∵∠ABC=90°,
∴∠CBD=∠ABC+∠ABD=150°,∠EBD=360°-∠CBE-∠CBD=150°.
∴∠CBD=∠EBD.
在△CBD和△EBD中,
∴△CBD≌△EBD(SAS).
∴CD=ED,∠CDB=∠EDB,即△CDE是等腰三角形,BD是等腰△CDE顶角的平分线.
∴BD⊥CE.
题组(三) 证明线段之间的数量关系
类型1 证明线段相等
思路一:
利用全等三角形的性质证明线段相等
11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,AD⊥AB交BE延长线于点D,CF平分∠ACB交BD于点F,连接CD.求证:
(1)AD=CF;
(2)点F为BD的中点.
证明:
(1)∵E为AC边的中点,∴AE=CE.
∵∠ACB=90°,AC=BC,CF平分∠ACB,
∴∠BAC=∠ECF=45°.
∵AD⊥AB,
∴∠DAE=∠FCE=45°.
又∵∠AED=∠CEF,
∴△ADE≌△CFE(ASA).∴AD=CF.
(2)∵AC=CB,∠DAC=∠FCB=45°,AD=CF,
∴△ACD≌△CBF(SAS).
∴CD=BF,∠ACD=∠CBF.
∵∠DCF=∠ACD+∠ECF=∠ACD+45°,∠DFC=∠CBF+∠BCF=∠CBF+45°,
∴∠DCF=∠DFC.
∴DC=DF.
∴BF=DF,即点F为BD的中点.
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上的一点,过点D作DE⊥AB交AC于点E,BC=BD,连接CD交BE于点F.
(1)求证:
CE=DE;
(2)若点D为AB的中点,求∠AED的度数.
解:
(1)证明:
∵DE⊥AB,∠ACB=90°,
∴△BCE与△BDE都是直角三角形.
在Rt△BCE和Rt△BDE中,
∴Rt△BCE≌Rt△BDE(HL).∴CE=DE.
(2)∵DE⊥AB,
∴∠ADE=∠BDE=90°.
∵点D为AB的中点,∴AD=BD.
又∵DE=DE,∴△ADE≌△BDE(SAS).
∴∠AED=∠DEB.
∵Rt△BCE≌Rt△BDE,∴∠CEB=∠DEB.
∴∠AED=∠DEB=∠CEB.
∵∠AED+∠DEB+∠CEB=180°,
∴∠AED=60°.
思路二:
利用等腰(边)三角形的性质与判定证明线段相等
13.如图,已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M,求证:
M是BE的中点.
证明:
连接BD,
∵△ABC是等边三角形,且D是AC的中点,
∴∠DBC=
∠ABC=
×60°=30°,∠ACB=60°.
∵CE=CD,∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠E=30°.∴∠DBC=∠E.
∴BD=ED,△BDE为等腰三角形.
又∵DM⊥BC,∴M是BE的中点.
思路三:
利用线段的垂直平分线的性质与判定证明线段相等
14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,求证:
BM=MN=NC.
证明:
连接AN,AM,
∵ME垂直平分AB,NF垂直平分AC,
∴BM=AM,CN=AN.
∴∠MAB=∠B,
∠CAN=∠C.
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=30°.
∴∠AMN=∠ANM=60°.
∴△AMN是等边三角形.
∴AM=AN=MN.∴BM=MN=NC.
思路四:
利用角平分线的性质与判定证明线段相等
15.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,∠ACB的平分线交AD于点E,交AB于点F,FG⊥BC于点G,求证:
AE=FG.
证明:
∵CF平分∠ACB,FA⊥AC,FG⊥BC,
∴FG=FA.
∵∠AFC+∠ACF=90°,
∠DEC+∠ECD=90°,且∠ACF=∠ECD,
∴∠AFC=∠DEC.
又∵∠AEF=∠DEC,∴∠AFC=∠AEF.
∴AE=FA.∴AE=FG.
16.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与AC的垂直平分线MN交于点M,过点M作MD⊥AB,ME⊥BC,垂足分别为D,E.求证:
AD=CE.
证明:
连接MA,MC.
∵点M在∠ABC的平分线上,且MD⊥AB,ME⊥BC,
∴MD=ME.
∵点M在线段AC的垂直平分线上,
∴MA=MC.
在Rt△MAD和Rt△MCE中,
∴Rt△MAD≌Rt△MCE(HL).
∴AD=CE.
类型2 证明线段的和差关系
17.如图,已知AD∥BC,点E为CD上一点,AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA,BE交AD的延长线于点F.求证:
(1)△ABE≌△AFE;
(2)AD+BC=AB.
证明:
(1)∵AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA,
∴∠BAE=∠FAE,∠ABE=∠CBE.
∵AD∥BC,∴∠F=∠CBE.
∴∠ABE=∠F.
在△ABE和△AFE中,
∴△ABE≌△AFE(AAS).
(2)∵△ABE≌△AFE,
∴BE=FE,AB=AF.
在△BCE和△FDE中,
∴△BCE≌△FDE(ASA).
∴BC=FD.
∴AD+BC=AD+DF=AF=AB.
18.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系,并加以证明.
解:
BC=BE+CD.
证明:
在BC上截取BF=BE,连接OF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBO=∠FBO.
又∵OB=OB,
∴△EBO≌△FBO(SAS).
∴∠EOB=∠FOB.
∵∠A=60°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-
∠ABC-
∠ACB=180°-
(180°-∠A)=120°.
∴∠EOB=∠DOC=60°.
∴∠BOF=60°,∠FOC=120°-60°=60°.
∴∠FOC=∠DOC.
∵CE平分∠DCB,
∴∠DCO=∠FCO.
又∵OC=OC,
∴△DCO≌△FCO(ASA).∴CD=CF.
∴BC=BF+CF=BE+CD.
类型3 证明线段的倍分关系
19.如图,△ABC为等边三角形,D,E分别是边AC,BC上的点,且AD=CE,AE与BD相交于点P.
(1)求∠BPE的度数;
(2)若BF⊥AE于点F,试判断BP与PF的数量关系,并说明理由.
解:
(1)∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAD=∠C=60°.
在△BAD和△ACE中,
∴△BAD≌△ACE(SAS).
∴∠CAE=∠ABD.
∴∠BPE=∠ABD+∠BAP=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°.
(2)结论:
BP=2PF.
∵BF⊥AE,
∴∠BFP=90°.
在Rt△BPF中,∠PBF=90°-60°=30°,
∴PF=
BP.
∴BP=2PF.
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