NEW北京科技大学861应用运筹学历年考研真题及详解.docx
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NEW北京科技大学861应用运筹学历年考研真题及详解
目 录
2011年北京科技大学数理学院810运筹学考研真题
2011年北京科技大学数理学院810运筹学考研真题及详解
2010年北京科技大学数理学院810运筹学考研真题
2010年北京科技大学数理学院810运筹学考研真题及详解
2008年北京科技大学应用科学学院810运筹学考研真题及答案
2007年北京科技大学应用科学学院410运筹学考研真题
2007年北京科技大学应用科学学院410运筹学考研真题及详解
2011年北京科技大学数理学院810
运筹学考研真题
2011年北京科技大学数理学院810
运筹学考研真题及详解
北京科技大学
2011年硕士学位研究生入学考试试题
试题编号:
810 试题名称:
运筹学
适用专业:
系统工程
说明:
所有答案必须写在答题纸上,做在试题或草稿纸上无效。
一、填空题(20分,每空2分)
1.若对偶问题为无界解,则原问题______。
【答案】无可行解
【解析】任一对偶问题的可行解都是原问题的上界,而原问题的任
意可行解都是对偶问题的下界。
若对偶问题为无界解,则原问题的目标
函数,则z无解,即没有可行解。
2.0.618法在[2,6]区间上取的初始点是______。
【答案】3.528
【解析】0.618法在[2,6]区间上取的初始点为:
0.382×(6-2)+2
=3.528。
3.最速下降法的搜索方向______。
牛顿法的搜索方向为______。
拟牛顿法的搜索方向为______。
【答案】-;;
【解析】最速下降法:
可以得出,当时,
下降最快。
牛顿法:
正定二次函数若X*是最优点,则
,即搜索方向是。
拟牛顿法:
,,
4.若是在处的下降方向,则需满足______。
【答案】
【解析】将目标函数在点处作一阶泰勒展开,可知满足条件
的方向必为点的下降方向。
5.在一维搜索中,
当为非正定二次函数时,最优步长满足______,
当为正定二次函数时,最优步长=______。
【答案】
【解析】
6.两阶段法中,若第一阶段目标函数最优值不为0,则原问题
______。
【答案】无可行解
【解析】第一阶段目标函数值不是0,则说明最优解的基变量中含有
非零的人工变量,表明原先性规划问题五可行解。
7.在拟牛顿算法中要求对称正定是为了保证搜索方向
______。
【答案】为下降方向
【解析】保证搜索方向为下降方向,这就可以保证每次
迭代均能使目标函数值有所改善。
二、(10分)试建立下面问题的线性规划数学模型(不需要求解)
有一艘货轮,分前、中、后三个舱位,它们的容积与最大允许载重
量见表1。
现有三种货物待运,已知有关数据见表2:
表1
前舱中舱后舱
最大允许载重量(吨)容积
(m3)
2000
4000
3000
5400
1500
1500
表2
商品数量每件重量(吨/运价(元/
每件体积(m3/
(件)件)件)件)
AB
C
6001000
800
10578651000700
600
问该货轮应装载三种货物各多少件,运费收入为最大?
(三种商品
在货舱的前、中、后舱均可装载)
答:
设xij表示i舱装载j获取xij件,i=1,2,3分别表示前中后舱,j
=1,2,3分别表示A、B、C三种货物。
则得下列模型
三、(18分)对于线性规划问题:
(1)用单纯形法求解最优解,最优值;
(2)写出最优基,最优基的逆阵;
(3)写出对偶规划;对偶规划的最优解。
答:
(1)加入松弛变量后,用单纯形表计算如下:
cj10500
CBXBbx1x2x3x4
0x393410
0x48[5]201
10500
0x321/50[14/5]1-3/510x18/512/501/5
010-2
5x23/2015/14-3/14
10x1110-1/72/7
00-5/14-25/14
得最优解X*=[1,1.5]T,maxz=17.5。
(2)最优基是:
逆阵是:
(3)对偶规划模型为:
,由最终单纯形表可知Y*=[5/14,25/14],maxw=
17.5。
四、(12分)用表上作业法求解下面运输问题的最优调运方案和最
小总运费:
销地产地产量
10163215
1422409
22243416
销量12820
答:
此问题属于运输平衡问题,则由沃格尔法得初始方案(()内
数据),并检验([]内数据)
销地产地产量
10(3)16[-6]32(12)15
14(9)22[4]40[4]9
22[10]24(8)34(8)16
销量12820
存在空格检验数为负,调整其所在回路,调整量min(8,12)=
8,得新的方案,并检验之
销地产地产量
10(3)16(8)32(4)15
14(9)22[2]40[4]9
22[10]24[6]34(16)16
销量12820
所有检验数均为正。
故得到最优方案。
销地产地产量
3841599
1616销量12820
最小运费为:
3×10+9×14+8×16+4×32+16×34=956。
五、(25分)
某工厂生产A,B,C三种产品,需消耗劳动力和原料两种资源,相
关数据如下:
资源限制 产品单位消
耗资源
劳动力原料(单位)
(单位)单位利润
设分别为A,B,C三种产品的产量,为制定最优生产计划
建立如下模型:
其最优单纯形表为(其中为松弛变量):
试分别就以下情况进行分析:
(1)当产品A、C的单位利润在什么范围变化时,最优生产计划不
变?
(2)求劳动力减少的范围是多少时,原最优生产计划不变?
(3)如果需增加电力的限制条件:
,那么原最优生
产计划是否改变?
若改变,试求新的最优生产计划。
答:
(1)产品A单位利润变化时,时,最优
生产计划不变,计算得。
产品C单位利润发生变化时,,解得。
(2)设劳动力变化,在最优单纯形表中最优基的逆阵是:
则得出在最优单纯形表中,。
求得,只要满足产品C的需求即可,所以劳动力减少的范
围是[0,15]。
(3)显然x3=6不满足新增加的约束方程,则增加一个松弛变量
x6,重新利用单纯形表继续计算如下:
cj215000
CBXBbx1x2x3x4x5x6
0x445635100
0x5303450100x61021[3]001
215000
0x485/38/310/3010-5/3
0x540/35/37/3001-5/3
5x310/32/31/31001/3
-4/3-2/3000-3/5
得新的最优解,X*=[0,0,10/3]T。
六、(14分)已知线性整数规划:
相应伴随规划的最优解为:
,及最优单纯形表为:
-35/200-5/14-25/14
3/2015/14-3/14
110-1/72/7
(1)对进行分枝,写出相应的分枝规划(不要求求解);
(2)由最优单纯形表的第二个方程推导出割平面方程。
答:
(1)对进行分枝,1)将原问题分成B1,B2,其中B1中,定
x2=1,再根据约束条件得出x1的值,并计算目标函数值z1;B1中,定x2
=2,同样根据约束条件得出x1的值,计算z2;2)比较二者大小,选择
较优者,若满足整数条件则停止分支;否则再继续对x1进行分支。
(2)第二个方程是:
,化为
最终得割平面方程。
七、(14分)用共轭梯度法求解问题:
,
取初始点。
答:
(1)
;
;
∴。
(2),则继续计算。
。
(3),则停止计算。
得最优解。
八、(13分)给定非线性规划问题:
求满足K-T条件的点。
答:
模型化成以下形式:
目标函数及约束函数的梯度:
,,
对约束条件引入乘子,则得K-T条件是:
为解该方程组,现考虑以下几种情形:
(1),则,是K-T点。
(2),则,,是K-T点。
(3),无解。
(4),则,是K-T点。
结束。
九、(12分)试用外点法求解非线性规划问题:
(北京科技大学2011年研)
答:
构造罚函数:
令得minP(X,M)的就解为
。
∵,∴M=-2/3
因此得。
十、(12分)试用乘子法求解非线性规划问题(取):
解:
设
定义拉格朗日函数
于是得到
解得,。
2010年北京科技大学数理学院810
运筹学考研真题
2010年北京科技大学数理学院810
运筹学考研真题及详解
北京科技大学
2010年硕士学位研究生入学考试试题
试题编号:
810试题名称:
运筹学
适用专业:
系统工程
说明:
所有答案必须写在答题纸上,做在试题或者草稿纸上无效
一、选择与填空题(27分,每题3分)
1.若p(k)是f(X)在X(k)处的下降方向,则满足______。
【答案】,
【解析】若存在实数,使对于任意的均有下式成立:
,就称方向
点的一个下降方向。
2.两阶段法中,若第一个阶段目标函数最优值不为0,则原问题
______。
【答案】无可行解
【解析】第一个阶段目标函数最优值不为0,则说明人工变量不为
零,则原问题无解。
3.最速下降法的搜索方向______。
【答案】负梯度方向
【解析】若存在实数,使对于任意的均有下式成立:
,就称方向
点的一个下降方向。
而最速下降方向即使函数值下降最快的方向,
显然,负梯度方向是该方向。
4.在拟牛顿算法中要求H(k)对称正定是为了保证搜索方向p(k)
=-H(k)g(k)______。
【答案】下降方向
【解析】
尺度矩阵H(k)是正定阵是确定搜索方向的先行条件。
5.Fibonacci法在[2,6]区间上取的初始点是______。
【答案】
,
【解析】由Fibonacci的计算方法可知。
6.根据对偶解的经济含义,若天然气是资源是我国的一种稀缺能
源资源,其影子价格必然是( )
(A)不能确定 (B)<0 (C)=0 (D)>0
【答案】D
【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价,某
种资源的影子价格越高,说明该资源在系统内越稀缺,增加该资源的供
应量对系统目标函数值贡献也越大。
天然气是资源是一种稀缺能源资
源,其影子价格必然大于0。
7.设线性规划
有可行解,则此线性规划一定有( )
(A)基本可行解 (B)基本可行最优解 (C)最优解
(D)基本解
【答案】A
【解析】可行解包括基可行解与非基可行解。
8.设H为对称正定阵,方向P1,P2关于H共轭,则P1,P2应满足
( )
(A)p1Hp2>0 (B)p1Hp2<0 (C)p1Hp2=0 (D)p1
p2≠0
【答案】C
【解析】设H为对称正定阵,若p1Hp2=0,则方向P1,P2关于H共
轭。
9.无约束最优化问题则
问题的( )。
(A)全局最优解 (B)局部最优解 (C)极点 (D)K
——T点
【答案】B
【解析】
局部最优解即在x*的某邻域,满足,则称x*是函
数的局部最优解。
二、(20分)对于下列线性规划问题:
(1)用单纯形法求解最优解,最优值;
(2)写出最优基,最优基的逆阵;
(3)写出对偶规划:
对偶规划的最优解。
答:
(1)用单纯形法进行求解
Cj25000CBXBb
0410100-
060[1]0106
018320019Cj-Zj25000
04101004
5601010-
06[3]00-212
Cj-Zj200-50
020012/3-1/3
5601010
22100-2/31/3
Cj-Zj000-11/3-2/3
所以最优解,最优值=30+4=34。
(2)最优基为
最优基的逆矩阵即在最终单纯表中x3,x4,x5对应列的矩阵,即
。
(3)对偶规划为
由互补松弛条件YXs=0,XYs=0。
由于,所以,即对偶问题中的约束条件为严
格的等式,可得,最优值为34。
三、(21分)已知下列线性规划及其最优单纯形表:
maxZ=6x1+2x2+12x3
答:
(1)若,又因为,所以
为使最优基不变,则,所以。
(2)将c3的变化反应的最优单纯形表中,则
Cj6200CBb
84/31/311/3006-250-11Cj-Zj6-4/32-1/30-1/30
为使最优解不变,则检验数满足,所以。
(3)若增加一个新的约束条件,则新问题为
原问题的最优解为,代入新的约束条件,0+0+16>
12,故不满足新的约束条件,因此引入松弛变量x6后,新增加的约束
条件变为,将此式代入最优单纯形表中。
Cj6212000CBb
1284/31/311/300
06-250-110
012122001Cj-Zj-10-20-40
1284/31/311/300
06-250-110
0-4[-5/3]4/30-2/301Cj-Zj-10-20-40
1224/507/51-1/504/5
054/5017/50-1/51-6/5
612/51-4/502/50-3/5Cj-Zj0-10000-8
所以,此时的最优解,最优值为
四、(12分)
用表上作业法求解下面运输问题的最优调运方案和最小总运费:
答:
此问题属于产销平衡问题,由沃格尔法计算初始可行方案如
下:
其中()内为运量,[]内为检验数。
销地产地B1B2B3B4产量
A13(15)5[1]4(15)9[2]30
A27[3]4(10)5(20)8[0]30A39[8]7[6]2(10)5(40)50
销量15104540
检验数均为非负,故已得最优方案。
销地产地B1B2B3B4产量
A1151530
A2102030A3104050销量1510
五、(16分)已知线性整数规划:
maxZ=3x1+6x2
其相应伴随规划的最优解为:
(1)对x2进行分枝,写出相应的分枝规划(不要求求解):
(2)由最优单纯形表的第二个方程推导出割平面方程。
答:
(1)对x2进行分枝,则得问题B1和B2。
规划B1_ 规划B2
(2)得:
;
化成,最终得割平面方程。
六、(14分)
用牛顿法求解:
minf(X)=2x12+2x1x2+x22+x1-x2
取初始点x
(1)=(0,0)T。
答:
,为对称正定矩阵。
;
;
;
;
即极小点为。
七、(14分)
给定非线性规划问题
求满足K—T条件的点。
答:
求各函数梯度
则得以下方程:
(1)则无解
(2)则,不是K-T点
(3)则,是K-T点
(4)则,不是K-T点。
八、(14分)
使用内点法求解下列问题:
解:
先将该线性规划问题写成如下形式:
构造障碍函数
;
;
;
联立解上述两个方程,得
;
于是得到最优解:
。
九、(12分)
设f(x)是正定二次函数
试证:
若分别是在两条平行于方向p的直线上的极小点,
则方向p与方向
证明:
与分别是在两条平行于方向p的直线上的极小点;
则有()T,;
从而[()]T;
又由于;
;
则有
。
即方向p与方向
2008年北京科技大学应用科学学
院810运筹学考研真题及答案
参考答案
一、答:
该问题的对偶规划为:
二、答:
图解法:
单纯形法:
加入松弛变量,将原问题改为标准形式为:
用单纯形法解得:
21000
0301100----
012[3]10104
05110015
21000
对应原点
21000
03011003
2411/301/3012
010[2/3]0-1/313/2
01/30-2/30
(4,0)对应图解法中的D点。
21000
03/20011/2-3/2
27/21001/2-1/2
13/2010-1/23/2
000-1/2-1/2
得到最优解为:
,对应图解法中的C点。
三、答:
(1)设代入题中给出的最优单纯形表,得
6200
84/31/311/3006-250-11
6-4/32-1/30-1/30
若使最优解不变,则需满足:
(2)最优解不变。
(3)将原问题的最优解代入新增加的约束条件中,因为不满足约束
条件,故原问题的最优解已不是本题的最优解。
在新增约束条件中加入松弛变量得
以为基变量,加入到原问题的最优单纯形表中得
6212000
1284/31/311/300
06-250-110
012322001
将上述表进行初等变换得:
6212000
1284/31/311/300
06-250-110
0-41/34/30[-2/3]01
-10-20-400
用对偶单纯形法迭代计算得:
6212000
1263/211001/2
012-5/23001-3/2
06-1/2-2010-3/2
-12-10000-6
得到最优解为。
四、答:
取初始点
五、答:
先不考虑整数约束,解该规划问题,得最优解为:
。
可见它不符合整数条件,这时是问题A的最优目标函数值的上
界,记作。
而时,显然是问题A的一个整数可行解,这时
z=0,是的一个下界,记作,即。
原问题的最优解中x1是一个非整数变量的解,于是对原问题增加两
个约束条件
可将原问题分解为两个子问题,得到最优解为:
问题问题
=23/3=8
=1=2
=7/3=1
因,故将改为8,而且问题已得到整数解,那么必然存在最
优整数解(2,1)。
六、答:
因该运输问题不是平衡问题,故加入一个虚拟销地,销
量为20
第一步,用沃格尔法算出初始方案为:
B1B2B3B4B5产量
A11510530
A2302050
A3451560
销量1510455020140
第二步,用位势法计算非基变量的检验数
B1B2B3B4B5ui
A168-2712-100
A25100708110-1
A310126105830-4
vj689121
第三步,因为上述初始方案中的非基变量的检验数有负数,故不是
最优解,用闭合回路法对上述初始方案进行改进,得:
B1B2B3B4B5产量A11510530
A2302050
A3402060
销量1510455020140
第四步,用位势法对上述改进解计算检验数,得:
B1B2B3B4B5ui
A1687212100
A2310-27081101
A38124105830-2
vj68710-1
第五步,因为上述初始方案中的非基变量的检验数有负数,故不是
最优解,用闭合回路法对上述初始方案进行改进,得:
B1B2B3B4B5产量
A1151530
A210202050
A3303060
销量1510455020140
第六步,用位势法对上述改进解计算检验数,得:
B1B2B3B4B5ui
A16287212100
A23107081101
A38126105830-2
vj66710-1
从上表可得出该改进解的非基变量的检验数均不为负数,故得到最
优方案:
A1---B1:
15,----B3:
15
A2---B2:
10,----B4:
20
A3---B3:
30,----B4:
30
七、答:
上述非线性规划问题等价于:
设K-T点为,则K-T条件如下:
为解上述方程组,考虑以下几种情形:
(1)令;
(2)令;
(3)令;
(4)令,无解。
八、答:
构造障碍函数
九、答:
设为分配给A县的救护车数,为分配给B县的救护车
数量。
2007年北京科技大学应用科学学
院410运筹学考研真题
2007年北京科技大学应用科学学
院410运筹学考研真题及详解
北京科技大学
2007年硕士学位研究生入学考试试题
试题编号:
410 试题名称:
运筹学
适用专业:
系统工程
说明:
所有答案必须写在答题纸上,做在试题或草稿纸上无效。
一、(13分)写出以下线性规划的对偶规划:
maxS=x1
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- 特殊限制:
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