6平面图形及其位置关系.docx
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6平面图形及其位置关系
平面图形及其位置关系
角的比较
一、相关的知识链接:
1.角的比较两种常用方法:
度量法和重叠法.
2.角的和、差定义.注意边的重合和边在角的内外关系.
3.角的平分线定义及相关的三个等式.
如图1所示,OC是∠AOB的平分线,则有以下等式:
(1)∠AOC+∠COB=∠AOB.
(2)∠AOB=2∠AOC=2∠COB.
(3)∠AOC=∠COB.
图1
此外一个角还有三等分线、四等分线、……、n等分线;同样也可以得出等量关系式.
4.余角、补角以及邻补角的定义、性质.
(1)定义:
若∠α+∠β=90°,则∠α与∠β互余;反之,亦然.
若∠α+∠β=180°,则∠α与∠β互补;反之,亦然.
若∠α+∠β=180°且∠α与∠β有公共顶点、有一条公共边,另一边互为反向延长线,则∠α与∠β互邻补;反之,亦然.
注意:
要弄清补角以及邻补角的区别与联系.
(2)性质:
①同角(或等角)的余角相等.
②同角(或等角)的补角相等.
5.方位角的定义.图2
如图2所示:
正北或正南方向与目标方向线所成的小于90°的角叫方位角.常用“北偏东(西)××度”,“南偏东(西)××度”;如图2,OB?
目标方向线?
表示北偏东30°.另外规定北偏东45°简称为东北方向,南偏西简称为西南方向.
二、综合应用:
例1已知如图3所示:
AB为一条直线,OC平分∠AOD,∠COE=80°,OE在∠BOD的内部且∠BOD=3∠COD,求∠BOE的度数.
图3
分析:
由角的倍分关系可设∠COD=x,则
∠BOD=3x;再由角平分线的定义可知∠AOC=∠COD=x,最后利用∠AOB是平角,可建立方程:
x+x+3x=180°,解得x=36°;因此∠BOC=4x=144°,∠BOE=144°-80°=64°.
说明:
涉及到角的倍分关系时,充分利用已知条件和隐含条件(平角、余角、补角、对顶角等),一般通过设未知数,建立方程进行解决.
例2已知一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍,求这个角的度数.
分析:
充分利用余角、补角的定义,去表示一个角的余角和补角,根据已知角的倍分关系建立方程.
解:
设所求的角为x度,则这个角的补角为180°-x°,余角为90°-x°;则所列方程为:
2(180-x)-(90-x)=4x.解得:
x=54°.
答:
这个角的度数为54°.
说明:
同样根据设未知数,建立方程进行求解,因此方程的思想是一种重要的数学思想,要引起高度的重视.
例3张三看李四的方向是南偏西55°,那么李四看张三的方向为________.
分析:
由题意画出图形:
张三看李四的方向是南偏西55°,是以张三为中心画出“十”字叉,标出东、南、西、北,则李四在张三的南偏西55°的方向上;李四看张三的方向是以李四为中心画出“十”字叉,标出东、南、西、北,再看张三在李四的北偏东55°的方向上.
三、小结:
在解决角与角之间的关系时,通常是以数据来衡量;在计算角的大小时,通常是以方程来解决;它们是数形结合的思想和方程的思想,这两种思想在数学中举足轻重,要好好灵活运用.
平行
一、基本概念与性质:
1、在平面上两条直线、空间的两个平面或空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时,称它们平行。
如图直线AB平行于直线CD,记作AB∥CD。
平行线永不相交。
2、经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。
3、如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。
二、例题分析:
例题1:
作图并填空.
(1)作∠BAC=90°.
(2)在∠BAC的一边AC上,依次截取AE=1厘米,EF=2厘米.
(3)过E作EP∥AB,过F作FG∥AB.
由作图填空.
因为EP∥______,FG∥______,(作图)
所以______∥______.( )
2.判断以下说法是否正确.
(1)两条不相交的直线叫做平行线;
(2)过直线l外一点有直线与l平行;
(3)直线l平行于l1,则直线l1平行于直线l;
(4)如果三条直线a,b,c中a∥b,a∥c,则b与c的关系不能确定.
3.任意画一个梯形ABCD,在它两腰分别找出中点M,N,连结MN,观察MN与两底的位置关系.
4.任意画三角形ABC,找出AB,BC,AC三边的中点E,F,G,连结EF,FG,EG,观察它们与各边的关系.
垂直
一、基本概念及性质
1、
2、垂线性质
①:
在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
②:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简单说成:
垂线段最短。
③点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
二、例题分析:
1、如下图,∠B=90°,过B分别作AB,BC,CA的垂线.
2、如下图,过B点作AC的垂线,过A点作BC的垂线,过C点作AB的垂线.
3,如下图,过P点作AB,BC,CD和DA的垂线.
平面图形及其位置关系
一、判断题
1.射线没有端点.()
2.平角是一条直线.()
3.延长线段AB到C,使BC=AB.()
4.射线AB与射线BA表示同一条射线.()
5.过一点有且只有一条直线与已知直线平行.()
6.垂直于同一直线的两直线互相垂直.()
7.平行于同一直线的两直线互相平行.()
8.大于90°的角是钝角.()
二、选择题
1.两个锐角的和()
A.一定是锐角B.一定是直角
C.一定是钝角D.可能是钝角、直角或钝角
2.平角上有三点A、B、C,如果AB=8,AC=5,BC=3,则()
A.点C在线段AB上
B.点C在线段AB的延长线上
C.点C在直线AB外
D.点C可能在直线AB上,也可能在直线AB外
3.如图,B、C是线段AD上任意两点,M是AB的中点,N是CD的中点,若MN=a,BC=b.则线段AD的长是()
A、2(a-b)B、2a-b
C、a+bD、a-b
4.已知∠AOB=30°,∠BOC=80°,∠AOC=50°,那么()
A、射线OB在∠AOC内
B、射线OB在∠AOC外
C、射线OB与射线OA重合
D、
射线OB与射线OC重合
5.如图所示,∠1=15°,∠AOC=90°,点B、O、D在同一直线上,则∠2的度数为()
A、75°B、15°C、105°D、165°
6.在海上,灯塔位于一艘船的北偏东40°方向,那么这艘船位于这个灯塔的()
A、南偏西50°方向B、南偏西40°方向
C、北偏东50°方向D、北偏东40°方向
三、填空题
1、
不在同一直线上的四点最多能确定________条直线。
2、
如图,点C、D、E在线段AB上,且AC=CD=DE=EB,则图中相等的线段还有______。
3、如图所示,点C是∠AOB的边OA上一点,D、E是OB上两点,则图中共有_________长线段;________射线;_______个小于平角的角。
4、
如图所示,点C是线段AB上一点,点D、E分别是线段AC、BC的中点,如果AB=a,AD=b,其中a>2b,那么CE=______________。
5、
(1)23°30′=_______°;
(2)78.36°=_______°________′________″.
6、
(1)52°45′-32°46′=_______°________′;
(2)18.3°+26°34′=________°_________′.
7.两个角∠1、∠2,已知∠1比∠2多4°,3∠1+11∠2是平角,则∠1=________,∠2=______.
8.如图所示,A、B、C三点在一直线上,已知∠1=23°,∠2=67°,则CD与CE位置关系是__________.
9.如下图左所示,AB与CD交于点O,且∠AOC=∠COE=90°,∠AOC=30°,那么图中等于30°的角还有_____;等于60°的角有_____;等于90°的角还有______;等于120°的角有______;等于150°的角有______;等于180°的角有_______。
10.如上图右所示,已知AB⊥AC,∠DAB=∠C,则∠C+∠CAD=_________.
四、作图题
1、
如图所示,已知线段a、b,a
画一条线段AB,使AB=2a-b.b
2、已知线段AC=
AB,画出满足条件的几何图形。
3、在如图所示的方格纸中,经过线段AB外一点C,不用量角器与三角尺,仅用直尺,画线段AB的垂线和平行线。
4、如下图左所示,将方格纸中的图形向右平移3倍,再向下平移4格,画出平移后的图形。
5、如下图中所示,画出图中三角形绕着O点逆时针旋转180°后的图形。
6、利用圆规画出如上图右所示的图案,其中点A、B、C、D、E、F正好把圆分成相等的6份。
7、仔细观察图中所示的五个图案,然后画出后续的图案。
五、计算题
1.51°37′-32°45′31″2.35°35′35″×5
3.(180°-91°32′24″)
24.176°51′
3
5.把34.37°化成度、分、秒6.把26°17′42″化成度
六、解答题
1、如图所示,C为线段AB的中点,D在线段CB上,且DA=6,DB=4,求CD的长。
ACDB
2、
如图所示,∠AOC比∠BOC小30°,∠AOD=∠BOD,求∠DOC的度数。
3、在纸上画出四个点(其中任意三点不在同一条直线上),经过每两个点用直尺画一条直线,一共可以画几条?
画出所有直线,并指出图中以这四个点为端点的线段及射线的条数。
4、如图所示是一副三角尺拼成的两个图案。
(1)确定图
(1)中所示是一副三角尺拼成的两个图案。
(2)
在图
(2)中,求∠EFC、∠CED、∠AFC的度数。
5、适当地剪几刀,就可以把上图中的十字变成一个正方形,有人说剪两刀就可以了,你相信吗?
不妨试试看。
6、能否将4支铅笔排成如图所示的形状?
你能否设计一个事实上不存在的图形?
7、用两条直线最多可以把一个平面分成几部分?
3条直线呢?
4条直线呢?
平面上有(a)4条、(b)5条、(c)6条直线,其中任意两条不平行,任意三条不交于同一点,它们把平面分成几部分?
你能总结出什么规律吗?
参考答案
一、1.×2.×3.√4.×
5.×6.×7.√8.×
二、1.D2.A3.B4.B
5.C6.B
三、1.62.AD=CE=DB、AE=CB3.6;5;10
4.
5.
(1)23.5°
(2)78°21′36″
6.
(1)19°59′
(2)44°52′7.16°;12°8.垂直
9.∠FOE、∠BOD;∠COE、∠BOF;∠BOE、∠DOF;∠AOF、∠DOE;
∠BOC;∠AOB、∠COD
10.90
四、
1.如图所示,AB=2a-b
2.图略。
有三种情况:
①点C在线段AB上;②点C在线段BA延长线上;③点C在直线AB外
3.如图所示,CB⊥AB,CD∥AB
4.如图所示即为平移后的图形
5.如图所示,右上为旋转后的图形,右下为原图形
6.略
7.如图所示
五、1.18°51′29″2.177°57′55″3.44°13′48″
5.34°22′12″6.26.295°
六、1.12.提示:
∵∠BOC-∠AOC=(∠BOD+∠COD)-(∠AOD-∠COD)=∠BOD+∠COD-∠AOD+∠COD=2∠COD=30°,∴∠COD=15°
3.如图所示,经过纸上四点(其中每三个点不在同一直线上)有6条直线,图中以这四个点为端点的线段有6条,射线有24条
4.
(1)∠A=60°,∠ABC=90°,∠ABD=135°,∠ACB=30°,∠ACD=75°,∠D=90°∠BCD=45°,∠CBD=45°;
(2)∠EFC=45°,∠CED=60°,∠AFC=135°。
5.如图所示,左图为原图,上画的虚线是剪切线,右图为剪拼后的图形
6.不能将四支铅笔排成题目中所示形状;上图右所示是一个事实上不存在的图形
7.两条直线可以把平面分成4部分.3条直线(直线相互不平行也不通过同一个点)把平面分成7部分,如图所示、作第4条直线,它与前3条直线交于3点,这3点把第4条直线分成4段,相应地平面也就增加了4部分,所示4条直线把平面分成7+4=11部分,作第5条直线,它被分成5段,相应地平面增加5部分,所以5条直线把平面分成7+4+5=16部分,于是6条直线把平面分成7+4+5+6=22部分。
事实上,1条直线把平面分成2部分,2条直线把平面分成2+2=4部分,3条直线把平面分成2+2+3=7部分,……,那么
条直线把平面分成2+2+3+4+…+
=
部分。
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- 平面 图形 及其 位置 关系