学年第二学期高二数学《复数的几何意义》学案含答案.docx
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学年第二学期高二数学《复数的几何意义》学案含答案
3.1.2 复数的几何意义
学习目标 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数,及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.
知识点一 复平面的概念和复数的几何意义
1.复平面的概念
根据复数相等的定义,任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应,所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.
如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的几何意义
按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.因此,复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b),这是复数的一种几何意义.
3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系
在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复数是一一对应的.这样,我们还可以用平面向量来表示复数.
如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量由点Z唯一确定;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此,复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即复数z=a+bi
平面向量,这是复数的另一种几何意义.
【预习评价】
1.实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢?
提示 任何一个复数z=a+bi,都和一个有序实数对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.
2.判断下列命题的真假:
①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上;
②在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上;
③在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;
④在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数;
⑤在复平面内,对应于非纯虚数的点都分布在四个象限.
提示 ①②③正确,④⑤错误.因为原点在虚轴上,而其表示实数,所以④错.因为非纯虚数包括实数,而实数对应的点在实轴上,故⑤错.
知识点二 复数的模
如图所示,向量的模r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|.如果b=0,
那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知:
|z|=|a+bi|=r=(r≥0,r∈R).
【预习评价】
复数的模的几何意义是什么?
提示 复数z在复平面内对应的点为Z,复数z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于0的常数,则:
①满足条件|z|=r的点Z的轨迹为以原点为圆心,r为半径的圆,|z|<r表示圆的内部,|z|>r表示圆的外部;
②满足条件|z-z0|=r的点Z的轨迹为以Z0为圆心,r为半径的圆,|z-z0|<r表示圆的内部,|z-z0|>r表示圆的外部.
题型一 复数与复平面内的点
【例1】 在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点:
(1)在虚轴上;
(2)在第二象限;(3)在第二、四象限;(4)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围.
解 复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部为m2-2m-8,虚部为m2+3m-10.
(1)由题意得m2-2m-8=0.
解得m=-2或m=4.
(2)由题意,∴2 (3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0, ∴2 (4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=. 规律方法 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标,在复平面内复数所表示的点所处的位置,决定了复数实部、虚部的取值特征. 【训练1】 实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i. (1)对应的点在x轴上方; (2)对应的点在直线x+y+4=0上. 解 (1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点在x轴上方. (2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0, 得m=1或m=-, 所以当m=1或m=-时,复数z对应的点在直线x+y+4=0上. 题型二 复数的模的几何意义 【例2】 设z∈C,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形. (1)|z|=2; (2)1≤|z|≤2. 解 (1)法一 |z|=2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆. 法二 设z=a+bi,由|z|=2,得a2+b2=4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆. (2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组 不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点的集合. 不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1及该圆外部所有点的集合. 这两个集合的交集,就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分,所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界. 规律方法 解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点: 一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数的模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决. 【训练2】 若复数z满足|z-i|≤(i为虚数单位),则z在复平面所对应的图形的面积为________. 解析 设z=x+yi(x,y∈R),则z-i=x+yi-i=x+(y-1)i,∴|z-i|=,由|z-i|≤知≤,x2+(y-1)2≤2.∴复数z对应的点(x,y)构成以(0,1)为圆心,为半径的圆面(含边界), ∴所求图形的面积为S=2π. 答案 2π 题型三 复数的模及其应用 【例3】 已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围. 解 法一 ∵z=3+ai(a∈R), ∴|z|=, 由已知得32+a2<42, ∴a2<7,∴a∈(-,). 法二 利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界), 由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上, 所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合. 由图可知: a∈(-,). 规律方法 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件,是一种复数问题实数化思想;根据复数模的意义,结合图形,也可利用平面几何知识解答本题. 【训练3】 已知复数|z|=1,求复数3+4i+z的模的最大值及最小值. 解 令ω=3+4i+z,则z=ω-(3+4i). ∵|z|=1,∴|ω-(3+4i)|=1, ∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心,1为半径的圆,如图,容易看出,圆上的点A所对应的复数ωA的模最大,为+1=6;圆上的点B所对应的复数ωB的模最小,为-1=4, ∴复数3+4i+z的模的最大值和最小值分别为6和4. 课堂达标 1.在复平面内,复数z=i+2i2对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析 ∵z=i+2i2=-2+i,∴实部小于0,虚部大于0,故复数z对应的点位于第二象限. 答案 B 2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( ) A.4+8iB.8+2i C.2+4iD.4+i 解析 由题意知点A的坐标为(6,5),点B的坐标为(-2,3).由中点坐标公式,得线段AB的中点C的坐标为(2,4),故点C对应的复数为2+4i. 答案 C 3.复数z1=a+2i,z2=-2+i,如果|z1|<|z2|,那么实数a的取值范围是________. 解析 因为|z1|=,|z2|==. 又因为|z1|<|z2|,所以<,解得-1<a<1. 答案 (-1,1) 4.在复平面内表示复数z=(m-3)+2i的点在直线y=x上,则实数m的值为________. 解析 ∵z=(m-3)+2i表示的点在直线y=x上, ∴m-3=2,解得m=9. 答案 9 5.已知z1=2(1-i),且|z|=1,求|z-z1|的最大值. 解 如图所示,因为|z|=1,所以z的轨迹可看作是半径为1,圆心为(0,0)的圆,而z1对应坐标系中的点为Z1(2,-2),所以|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点的最大距离,则|z-z1|max=2+1. 课堂小结 1.复数的几何意义有两种: 复数和复平面内的点一一对应,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应. 2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实部、虚部的问题,也可以结合图形利用几何关系考虑. 基础过关 1.设x=3+4i,则复数z=x-|x|-(1-i)在复平面上的对应点在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析 ∵x=3+4i,∴|x|==5, ∴z=3+4i-5-(1-i)=(3-5-1)+(4+1)i =-3+5i. ∴复数z在复平面上的对应点在第二象限. 答案 B 2.当 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析 复数z在复平面内对应的点为Z(3m-2,m-1). 由 答案 D 3.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y= -x的对称点为B,则向量对应的复数为( ) A.-2-iB.-2+i C.1+2iD.-1+2i 解析 ∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1),∴向量对应的复数为-2+i. 答案 B 4.若复数z1=1-i,z2=3-5i,则复平面上与z1,z2对应的点Z1与Z2的距离为________. 解析 z1=1-i对应的点为(1,-1),z2=3-5i对应的点为(3,-5),由两点间距离公式得=2. 答案 2 5.若复数(-6+k2)-(k2-4)i(k∈R)所对应的点在第三象限,则k的取值范围是________. 解析 ∵点Z位于第三象限, ∴ ∴2 答案 (-,-2)∪(2,) 6.设复数z=lg(m2+2m-14)+(m2-m-6)i,求当实数m为何值时: (1)z为实数; (2)z对应的点位于复平面内的第二象限. 解 (1)由题意得 解得m=3(m=-2舍去). 故当m=3时,z是实数. (2)由题意得即 即得 解得-5<m<-1-. 故当-5<m<-1-时,z对应的点位于复平面内的第二象限. 7.已知z1=-3+4i,|z|=2,求|z-z1|的最大值和最小值. 解 如图,|z|=2表示复数z对应的点在以(0,0)为圆心,2为半径的圆上,而z1在坐标系中的对应点的坐标为(-3,4),∴|z-z1|可看作是点(-3,4)到圆上的点的距离. 由图可知,点(-3,4)到圆心(即原点)的距离为=5,故|z-z1|max=5+2=7,|z-z1|min=5-2=3. 能力提升 8.设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cosB-tanA)+tanBi对应的点位于复平面的( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析 因A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B>,即A>-B,sinA>cosB.cosB-tanA=cosB-<cosB-sinA<0,又tanB>0,所以点(cosB-tanA,tanB)在第二象限,故选B. 答案 B 9.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹是( ) A.1个圆B.线段 C.2个点D.2个圆 解析 由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0, 即|z|=3或|z|=-1. ∵|z|≥0,∴|z|=3.∴复数z对应的轨迹是1个圆. 答案 A 10.复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则|z|=________. 解析 ∵复数z=a2-1+(a+1)i是纯虚数, ∴解得a=1, ∴z=2i,∴|z|=2. 答案 2 11.复数z=x+1+(y-2)i(x,y∈R),且|z|=3,则点Z(x,y)的轨迹是________________. 解析 |z|==3,即(x+1)2+(y-2)2=9. 点Z(x,y)的轨迹是以(-1,2)为圆心,半径长为3的圆. 答案 以(-1,2)为圆心,半径长为3的圆 12.已知f(z)=|2+z|-z,且f(-z)=3+5i,求复数z. 解 设复数z=a+bi(a,b∈R). ∵f(z)=|2+z|-z,∴f(-z)=|2-z|+z. 又∵f(-z)=3+5i,∴|2-z|+z=3+5i, ∴|2-(a+bi)|+a+bi=3+5i. 即+a+bi=3+5i. 根据复数相等的充要条件,得 解得∴复数z=-10+5i. 13.(选做题)设全集U=C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z∈C},若z∈A∩(∁UB),求复数z在复平面内对应的点的轨迹. 解 ∵z∈C,|z|∈R,∴1-|z|∈R. ∵||z|-1|=1-|z|,∴1-|z|≥0,即|z|≤1, ∴A={z||z|≤1,z∈C}. 又∵B={z||z|<1,z∈C},∴∁UB={z||z|≥1,z∈C}. ∵z∈A∩(∁UB),∴z∈A且z∈∁UB, ∴∴|z|=1. 由复数的模的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.
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