云南中考数学总复习专题训练专题四 二次函数综合题精品教育doc.docx
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云南中考数学总复习专题训练专题四二次函数综合题精品教育doc
专题四 二次函数综合题
类型一代数问题
(2019·杭州)设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0)
(1)判断该二次函数图象与x轴交点的个数,并说明理由;
(2)若该二次函数的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式;
(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:
a>0.
【自主解答】
1.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c(b,c都是常数)的图象经过点(1,0)和(0,2).
(1)当-2≤x≤2时,求y的取值范围.
(2)已知点P(m,n)在该函数的图象上,且m+n=1,求点P的坐标.
2.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3时,y2的最大值.
3.规定:
不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”.
(1)求抛物线y=x2-2x+3与x轴的“亲近距离”;
(2)在探究问题:
求抛物线y=x2-2x+3与直线y=x-1的“亲近距离”的过程中,有人提出:
过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交,则该问题的“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离,你同意他的看法吗?
请说明理由.
(3)若抛物线y=x2-2x+3与抛物线y=x2+c的“亲近距离”为,求c的值.
4.(2019·舟山)已知,点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴,y轴于点A、B.
(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由;
(2)如图1,若二次函数图象也经过点A、B,且mx+5>-(x-b)2+4b+1.根据图象,写出x的取值范围;
(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C(,y1),D(,y2)都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.
图1图2
类型二面积问题
(2019·泰安节选)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+
c交x轴于点A(-4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,
-2),连接AE.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值.
【自主解答】
1.(2019·腾冲模拟)已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且a (Ⅰ)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示); (Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点; (Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N; (ⅰ)若-1≤a≤,求线段MN长度的取值范围; (ⅱ)求△QMN面积的最小值. 2.(2019·金华)如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4. (1)求抛物线的函数表达式. (2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值? 最大值是多少? (3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离. 3.(2019·东营)如图,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a>0)与x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC. (1)求线段OC的长度; (2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式; (3)在 (2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大? 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 4.(2019·永州)如图1,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B、C两点,与y轴交于点E(0,3). (1)求抛物线的表达式; (2)已知点F(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小,如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)如图2,连接AB,若点P是线段OE上的一动点,过点P作线段AB的垂线,分别与线段AB、抛物线相交于点M、N(点M、N都在抛物线对称轴的右侧),当MN最大时,求△PON的面积. 图1图2 类型三特殊三角形的存在性问题 (2019·昆明)如图1,对称轴为直线x=的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A. (1)求抛物线的解析式; (2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值; (3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形? 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 图1图2 【自主解答】 1.(2019·枣庄节选)如图1,已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC. (1)请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式; (2)判断△ABC的形状,并说明理由; (3)如图2,若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标. 图1图2 2.(2019·昆明盘龙区模拟)如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,点A 在点B的左边,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,且A(-6,0),D(-2, -8). (1)求抛物线的解析式; (2)点P是直线AC下方的抛物线上一动点,不与点A、C重合,求过点P作x轴的垂线交于AC于点E,求线段PE的最大值及P点坐标; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM为直角三角形? 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 3.(2019·资阳)已知: 如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的解析式; (2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值? (3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 类型四特殊四边形的存在性问题 (2019·曲靖)如图,在平面直角坐标系中,直线l: y=x-与x轴交于点A,经过点A的抛物线y=ax2-3x+c的对称轴是x=. (1)求抛物线的解析式; (2)平移直线l经过原点O,得到直线m,点P是直线m上任意一点,PB⊥x轴于点B,PC⊥y轴于点C,若点E在线段OB上,点F在线段OC的延长线上,连接PE,PF,且PE=PF,求证PE⊥PF; (3)若 (2)中的点P坐标为(6,2),点E是x轴上的点,点F是y轴上的点,当PE⊥PF时,抛物线上是否存在点Q,使得四边形PEQF是矩形? 如果存在,请求出点Q的坐标,如果不存在,请说明理由. 【分析】 (1)先确定点A的坐标,再把抛物线的对称轴直线代入公式求a值,结合点A的坐标,确定c值,从而得出抛物线的解析式; (2)运用两边斜边与一组直角边的比值相等,以及两个三角形都是直角三角形,证明两个直角三角形相似,从而得出两个锐角相等,根据PC与PB的垂直关系,论述PF与PE的垂直关系;(3)画出图形,进行分类讨论,注意 (2)中两个三角形相似,构造比例式,建立方程模型进行点的坐标的计算,这里有两个答案,不可忽视第二种情况. 【自主解答】 1.(2019·河南)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=x-5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点A的直线交直线BC于点M. ①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标; ②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标. 2.(2019·岳阳)已知抛物线F: y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O,且与x轴另一交点为(-,0). (1)求抛物线F的解析式; (2)如图1,直线l: y=x+m(m>0)与抛物线相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限),求y2-y1的值(用含m的式子表示); (3)在 (2)中,若m=,设点A′是点A关于原点O的对称点,如图2. ①判断△AA′B的形状,并说明理由; ②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 图1图2 3.(2019·南充)如图,抛物线顶点P(1,4),与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,B. (1)求抛物线的解析式; (2)Q是抛物线上除点P外一点,△BCQ与△BCP的面积相等,求点Q的坐标; (3)若M,N为抛物线上两个动点,分别过M,N作直线BC的垂线段,垂足分别为D,E,是否存在点M,N使四边形MNED为正方形? 如果存在,求正方形MNED的边长;如果不存在,请说明理由. 4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),经过点A的直线l: y=kx+b与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC. (1)直接写出点A的坐标,并用含a的式子表示直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示); (2)点E为直线l下方抛物线上一点,当△ADE的面积的最大值为时,求抛物线的函数表达式; (3)设点P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形? 若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由. 类型五相似三角形的存在性问题 (2019·昆明)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x=. (1)求抛物线的解析式; (2)M为第一象限内的抛物线上的一个点,过点M作MG⊥x轴于点G,交AC于点H,当线段CM=CH时,求点M的坐标; 【分析】 (1)首先利用对称轴公式求出a的值,然后把点A的坐标与a的值代入抛物线的解析式,求出c的值,即可确定出抛物线的解析式. (2)首先根据抛物线的解析式确定出点C的坐标,再根据待定系数法,确定出直线AC解析式为y=-x+2;然后设点M的坐标为(m,-m2+m+2),H(m,-m+2),求出MH的值,再根据CM=CH,OC=GE=2,可得MH=2EH,据此求出m的值是多少,再把m的值代入抛物线的解析式,求出y的值,即可确定点M的坐标. 【自主解答】 (3)在 (2)的条件下,将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α(0°<α<90°),在旋转过程中,设线段MG与抛物线交于点N,在线段GA上是否存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似? 如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 例5题图备用图 【分析】(3)首先判断出△ABC为直角三角形,然后分两种情况: ①当=时;②当=时,根据相似三角形的性质,判断出是否存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似即可. 【自主解答】 1.(2019·达州)如图,抛物线经过原点O(0,0)
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