压轴题分类动点问题.docx
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压轴题分类动点问题.docx
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压轴题分类动点问题
§1.1因动点产生的相似三角形问题
1如图1,梯形OABC,抛物线分别过点O〔0,0〕、A〔2,0〕、B〔6,3〕.
〔1〕直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
〔2〕将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以一样的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;
〔3〕在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P一样的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?
假设存在,请求出t的值;假设不存在,请说明理由.
图1图2
思路点拨
1.第〔2〕题用含S的代数式表示x2-x1,我们反其道而行之,用x1,x2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y2-y1=3.通过代数变形就可以了.
2.第〔3〕题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此此题的策略是先假设,再说理计算,后验证.
3.第〔3〕题的示意图,不变的关系是:
直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的是直线PQ的斜率,因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方,或者假设交点G在x轴的上方.
C2直线
分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.
(1)写出点A、B、C、D的坐标;
(2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;
(3)在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似?
假设存在,请求出点Q的坐标;假设不存在,请说明理由.
思路点拨
1.图形在旋转过程中,对应线段相等,对应角相等,对应线段的夹角等于旋转角.
2.用待定系数法求抛物线的解析式,用配方法求顶点坐标.
3.第〔3〕题判断∠ABQ=90°是解题的前提.
4.△ABQ与△COD相似,按照直角边的比分两种情况,每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形,点Q共有4个.
总分值解答
图2图3
§1.2因动点产生的等腰三角形问题
C3如图1,正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点〔C点除外〕,直线PM交AB的延长线于点D.
〔1〕求点D的坐标〔用含m的代数式表示〕;
〔2〕当△APD是等腰三角形时,求m的值;
〔3〕设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H〔如图2〕.当点P从O向C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路长〔不必写解答过程〕.
图1图2
思路点拨
1.用含m的代数式表示表示△APD的三边长,为解等腰三角形做好准备.
2.探求△APD是等腰三角形,分三种情况列方程求解.
3.猜测点H的运动轨迹是一个难题.不变的是直角,会不会找到不变的线段长呢?
Rt△OHM的斜边长OM是定值,以OM为直径的圆过点H、C.
图3图4图5
§1.3因动点产生的直角三角形问题
C5(2010〕(12分)如图,抛物线与x轴交于A〔-1,0〕、B〔3,0〕两点,与y轴交于点C〔0,-3〕,设抛物线的顶点为D.
〔1〕求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;
〔2〕以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?
为什么?
〔3〕探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?
假设存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;假设不存在,请说明理由.
§1.4 因动点产生的平行四边形问题
C62010年省中考第23题
在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-4,0)、B(0,-4)、C(2,0)三点.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕假设点M为第三象限抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
〔3〕假设点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
图1图2
思路点拨
1.求抛物线的解析式,设交点式比拟简便.
2.把△MAB分割为共底MD的两个三角形,高的和为定值OA.
3.当PQ与OB平行且相等时,以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形,按照P、Q的上下位置关系,分两种情况列方程.
图3图4图5
图6图7图8
C7
例6、平面直角坐标系中,抛物线经过A
,B
,C
三点.
〔2〕假设点M为第三象限抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
〔3〕假设点P是抛物线上的动点,点Q是直线
上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的
四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
§1.5 因动点产生的梯形问题
C8二次函数的图象经过A〔2,0〕、C(0,12)两点,且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.
〔1〕求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
〔2〕如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?
假设存在,求出点D的坐标;假设不存在,请说明理由;
〔3〕如图2,点M是线段OP上的一个动点〔O、P两点除外〕,以每秒
个单位长度的速度由点P向点O运动,过点M作直线MN//x轴,交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN.在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠局部的面积为S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式.
思路点拨
1.第〔2〕题可以根据对边相等列方程,也可以根据对角线相等列方程,但是方程的解都要排除平行四边形的情况.
2.第〔3〕题重叠局部的形状分为三角形和梯形两个阶段,临界点是PO的中点.
图3图4图5
§1.6 因动点产生的面积问题
C92011年市闵行区中考模拟第24题
如图1,:
抛物线y=x2+bx-3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,并且OA=OC.
〔1〕求这条抛物线的解析式;
〔2〕过点C作CE//x轴,交抛物线于点E,设抛物线的顶点为点D,试判断△CDE的形状,并说明理由;
〔3〕设点M在抛物线的对称轴l上,且△MCD的面积等于△CDE的面积,请写出点M的坐标〔无需写出解题步骤〕.
图1
思路点拨
1.求抛物线的解析式,关键是求点A的坐标,根据条件,数形结合.
2.判断△CDE的形状是等腰直角三角形,可以方便第〔3〕求解点M的坐标.
图2图3
C10如图1,在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的顶点O为坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,CB∥OA,OC=4,BC=3,OA=5,点D在边OC上,CD=3,过点D作DB的垂线DE,交x轴于点E.
〔1〕求点E的坐标;
〔2〕二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点B和点E.
①求二次函数的解析式和它的对称轴;
②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方,满足S△CEM=2S△ABM,求点M的坐标.
图1
思路点拨
1.这三道题目步步为赢,错一道题目,就要影响下一道的计算.
2.点M在抛物线的对称轴上且位于x轴上方,要分两种情况讨论,分别为点M在线段FB和FB的延长线上.因为用点M的纵坐标表示△ABM的底边长,因点M的位置不同而不同.
图2图3
§1.7 因动点产生的线段和差问题
C112011年市中考第22题
,如图1,二次函数y=ax2+2ax-3a〔a≠0〕的图像的顶点为H,与x轴交于A、B两点〔B在A的右侧〕,点H、B关于直线l:
对称.
〔1〕求A、B两点的坐标,并证明点A在直线l上;
〔2〕求二次函数的解析式;
〔3〕过点B作BK//AH交直线l于点K,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,联结HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.
图1
图2图3
C122011年市中考第24题
直线y=kx+3(k<0)分别交x轴、y轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为t秒.
〔1〕当k=-1时,线段OA上另有一动点Q由A向O运动,它与点P以一样速度同时出发,当P到达点A时两点同时停止运动〔如图1〕.
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标;
②假设以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求t的值.
〔2〕当
时,设以C为顶点的抛物线y=(x+m)2+n与直线AB的另一个交点为D〔如图2〕.
①求CD的长;
②设△COD的OC边上的高为h,当t为何值时,h的值最大?
图1图2
思路点拨
1.第〔1〕题中的△AOB是等腰直角三角形,那么△ACQ为等腰直角三角形存在两个时刻,按照直角顶点分类讨论.
2.第〔2〕题求OC边上的高为h的最大值,直觉是什么?
经历有哪些?
传统的求函数的最大值显然行不通,经典的垂线段最短是否能行,关键就是确定定长的线段,直觉很重要,CD为定长.
图3图4
图5图6图7
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