届《高考调研》教辅光盘 一轮总复习人教新课标版必修1 数学文单元测试 第一章集合与简易逻辑.docx

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届《高考调研》教辅光盘一轮总复习人教新课标版必修1数学文单元测试第一章集合与简易逻辑

第一章　单元测试

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求）

1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩∁NB等于（　　）

A．{1,5,7}　　　　　　　　B．{3,5,7}

C．{1,3,9}D．{1,2,3}

答案　A

解析　即在A中把B中有的元素去掉．

2．集合A＝{y∈R|y＝lgx，x>1}，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是（　　）

A．A∩B＝{－2，－1}B．（∁RA）∪B＝（－∞，0）

C．A∪B＝（0，＋∞）D．（∁RA）∩B＝{－2，－1}

答案　D

解析　由题意得A＝（0，＋∞），因此，A∩B＝{1,2}，（∁RA）∪B＝（－∞，0]∪{1,2}，A∪B＝（0，＋∞）∪{－1，－2}，（∁RA）∩B＝{－2，－1}，选D.

3．已知∁ZA＝{x∈Z|x＜6}，∁ZB＝{x∈Z|x≤2}，则A与B的关系是（　　）

A．A⊆BB．A⊇B

C．A＝BD．∁ZA∁ZB

答案　A

4．已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　∵“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”，

∴“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．

5．已知命题p：

∀x∈R，x2－2x＋1>0；命题q：

∃x∈R，sinx＝1.则下列判断正确的是（　　）

A．綈q是假命题B．q是假命题

C．綈p是假命题D．p是真命题

答案　A

解析　由题意可知，p假q真．

6．已知集合A＝{x|y＝

}，B＝{x|x>a}，则下列关系不可能成立的是

（　　）

A．A⊆BB．B⊆A

C．ABD．A⊆∁RB

答案　D

解析　由

可得A＝[－1,2）∪（2，＋∞），前三个选项都有可能，对于选项D，∁RB＝（－∞，a]，不可能有A⊆∁RB.

7．设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6>0}，B＝{x||x－5|

A．∁UA∪B＝RB．A∪∁UB＝R

C．∁UA∪∁UB＝RD．A∪B＝R

答案　D

解析　A＝

，∵11∈B，∴a>|11－5|＝6.又由|x－5|11.画数轴知选D.

8．下列有关命题的说法正确的是（　　）

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”

B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件

C．命题“∃x0∈R，x

＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1<0”

D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题

答案　D

解析　A中原命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；在B中，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B错；C中命题的否定应为“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，故C错；在D中，逆否命题与原命题同真假，易知原命题为真，则其逆否命题也为真命题，因此D正确．

9．已知直线l1：

x＋ay＋1＝0，直线l2：

ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为（　　）

A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行

B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行

C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行

D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行

答案　A

解析　命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”，所以选A.

10．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）

A．a≥4B．a≤4

C．a≥5D．a≤5

答案　C

解析　命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞）的非空真子集，正确选项为C.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）

11．“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的________条件．

答案　充分不必要

12．设全集为R，集合A＝{x|

≤1}，则∁RA＝________.

答案　{x|0≤x<1}

解析　A＝{x|

≤1}＝{x|

－1≤0}＝{x|

≤0}＝

{x|x≥1或x<0}，因此∁RA＝{x|0≤x<1}．选A.

13．满足条件：

M∪{a，b}＝{a，b，c}的集合M的个数是________．

答案　4个

14．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx<1}，若A∩（∁UB）＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.

答案　{2,4,6,8}

解析　A∪B＝{x∈N*|lgx<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩（∁UB）＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．

15．“α≠

”是“cosα≠

”的________条件．

答案　必要不充分

16．下列命题中是假命题的是________．

①存在α，β∈R，有tan（α＋β）＝tanα＋tanβ

②对任意x>0，有lg2x＋lgx＋1>0

③△ABC中，A>B的充要条件是sinA>sinB

④对任意φ∈R，函数y＝sin（2x＋φ）都不是偶函数

答案　④

解析　对于①，当α＝β＝0时，tan（α＋β）＝0＝tanα＋tanβ，因此选项①是真命题；对于②，注意到lg2x＋lgx＋1＝（lgx＋

）2＋

≥

>0，因此选项B是真命题；对于③，在△ABC中，由A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB（其中R是△ABC的外接圆半径），因此选项③是真命题；对于④，注意到当φ＝

时，y＝sin（2x＋φ）＝cos2x是偶函数，∴④是假命题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，求实数m的值组成的集合．

答案　{0，－

，－

}

解析　A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，A∪B＝A，∴B⊆A.

①当m＝0时，B＝∅，B⊆A；

②当m≠0时，由mx＋1＝0，得x＝－

.

∵B⊆A，∴－

∈A.

∴－

＝2或－

＝3，得m＝－

或－

.

∴满足题意的m的集合为{0，－

，－

}．

18．（本小题满分12分）判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．

（1）有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；

（2）任何一条直线都存在斜率；

（3）所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一的解；

（4）存在实数x0，使得

＝2.

解析　

（1）是特称命题；用符号表示为：

∃α∈R，sin2α＋cos2α≠1，是一个假命题．

（2）是全称命题；用符号表示为：

∀直线l，l存在斜率，是一个假命题．

（3）是全称命题；用符号表示为：

∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，是一个假命题．

（4）是特称命题；用符号表示为：

∃x0∈R，

＝2是一个假命题．

19．（本小题满分12分）已知命题“∃x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，求实数a的取值范围．

答案　（－∞，－3）∪（1，＋∞）

解析　依题意知，对任意x∈R，都有|x－a|＋|x＋1|>2；由于|x－a|＋|x＋1|≥|（x－a）－（x＋1）|＝|a＋1|，

因此有|a＋1|>2，a＋1<－2或a＋1>2，

即a<－3或a>1.

所以实数a的取值范围是（－∞，－3）∪（1，＋∞）．

20．（本小题满分12分）已知集合E＝{x||x－1|≥m}，F＝{x|

>1}．

（1）若m＝3，求E∩F；

（2）若E∪F＝R，求实数m的取值范围．

解析　

（1）当m＝3时，E＝{x||x－1|≥3}＝{x|x≤－2或x≥4}，

F＝{x|

>1}＝{x|

<0}＝{x|－6

∴E∩F＝{x|x≤－2或x≥4}∩{x|－6

（2）∵E＝{x||x－1|≥m}，

①当m≤0时，E＝R，E∪F＝R，满足条件．

②当m>0时，E＝{x|x≤1－m或x≥1＋m}，

由E∪F＝R，F＝{x|－6

∴

解得0

综上，实数m的取值范围为m≤3.

21．（本小题满分12分）已知命题p：

A＝{x|a－1

B＝{x|x2－4x＋3≥0}．

（1）若A∩B＝∅，A∪B＝R，求实数a；

（2）若綈q是p的必要条件，求实数a.

答案　

（1）a＝2　

（2）a＝2

解析　由题意得B＝{x|x≥3或x≤1}，

（1）由A∩B＝∅，A∪B＝R，可知A＝∁RB＝（1,3），

∴

∴a＝2.

（2）∵B＝{x|x≥3或x≤1}，∴綈q：

{x|1

∴綈q是p的必要条件，即p⇒綈q.

∴A⊆∁RB＝（1,3）．

∴

∴2≤a≤2，∴a＝2.

22．（本小题满分12分）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．

（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．若存在，求m的范围；

（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件．若存在，求出m的范围．

答案　

（1）m不存在　

（2）m≤3

解析　

（1）P＝{x|－2≤x≤10}，

S＝{x|1－m≤x≤m＋1}．

若x∈P是x∈S的充要条件，

∴

∴m不存在．

（2）若存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，

∴S⊆P.

若m＜0，即S＝∅时，满足条件．

若S≠∅，应有

解之得　0≤m≤3.

综之得，m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．

1．已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于（　　）

A．{－1,2}B．{－1,0}

C．{0,1}D．{1,2}

答案　A

解析　依题意知A＝{0,1}，（∁UA）∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A.

2．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（　　）

A．p：

a＋c＞b＋d，q：

a＞b且c＞d

B．p：

a＞1，b＞1，q：

f（x）＝ax－b（a＞0，且a≠1）的图像不过第二象限

C．p：

x＝1，q：

x2＝x

D．p：

a＞1，q：

f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，＋∞）上为增函数

答案　A

解析　B选项中，当b＝1，a＞1时，q推不出p，因而p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，q不能够推出p，因而p为q的充分不必要条件．D选项中，p、q可以互推，因而p为q的充要条件．故选A.

3．设集合P＝{x|x2－x－2≥0}，Q＝{y|y＝

x2－1，x∈P}，则P∩Q＝（　　）

A．{m|－1≤m<2}B．{m|－1

C．{m|m≥2}D．{－1}

答案　C

解析　本题考查集合的概念及运算，根据题意知P＝{x|x≥2或x≤－1}，又因为当x∈P时，y＝

x2－1∈

，故Q＝

，故P∩Q＝{m|m≥2}．

4．已知命题p：

所有有理数都是实数；命题q：

正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是（　　）

A．（綈p）或qB．p且q

C．（綈p）且（綈q）D．（綈p）或（綈q）

答案　D

解析　由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈q是真命题，于是（綈p）或（綈q）是真命题．

5．如下四个电路图，视“开关甲闭合”为条件甲，“灯泡乙亮”为结论乙，以贴切、形象的诠释甲是乙的必要不充分条件的图形是（　　）

答案　B

6．（2012·江西）若全集U＝{x∈R|x2≤4}，则集合A＝{x∈R||x＋1|≤1}的补集∁UA为（　　）

A．{x∈R|0

C．{x∈R|0

答案　C

解析　由已知得，全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}，结合数轴得∁UA＝{x∈R|0

7．（2012·陕西）集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝（　　）

A．（1,2）B．[1,2）

C．（1,2]D．[1,2]

答案　C

解析　因为M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|1

8．（2012·福建）下列命题中，真命题是（　　）

A．∃x0∈R，ex0≤0

B．∀x∈R,2x>x2

C．a＋b＝0的充要条件是

＝－1

D．a>1，b>1是ab>1的充分条件

答案　D

解析　∵a>1>0，b>1>0，∴由不等式的性质，得ab>1.

即a>1，b>1⇒ab>1.

9．（2012·浙江）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：

ax＋2y－1＝0与直线l2：

x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　l1与l2平行的充要条件为a（a＋1）＝2×1且a×4≠1×（－1），可解得a＝1或a＝－2，故a＝1是l1∥l2的充分不必要条件．

10．（2012·安徽）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由面面垂直的性质定理，可得α⊥β，α∩β＝m，b⊂β，b⊥m⇒b⊥α.又∵a⊂α，∴a⊥b，但反之则不成立．

11．已知命题p：

“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：

“

>

”是“a>b”的充要条件，则（　　）

A．“p或q”为真B．“p且q”为真

C．p真q假D．p，q均为假

答案　A

解析　由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由

>

能够推出a>b，反之，因为

>0，所以由a>b能推出

>

成立，故命题q是真命题．因此选A.

12．已知命题p：

∃x∈（－∞，0），2x<3x，命题q：

∀x∈（0,1），log2x<0，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．p∧（綈q）

C．（綈p）∧qD．p∨（綈q）

答案　C

解析　由指数函数的图像与性质可知，命题p是假命题，由对数函数的图像与性质可知，命题q是真命题，则命题“p∧q”为假命题，命题“p∨（綈q）”为假命题，命题“（綈p）∧q”为真命题，命题“p∧（綈q）”为假命题，故选C.

13．有下列四个命题，其中真命题是（　　）

A．∀n∈R，n2≥n

B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m

C．∀n∈R，∃m∈R，m2

D．∀n∈R，n2

答案　B

解析　对于选项A，令n＝

即可验证其不正确；对于选项C、选项D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.

14．设x，y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“

＋

≤1”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　画图易知，{（x，y）||x|≤4且|y|≤3}⊇{（x，y）|

＋

≤1}．

15．命题“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，是“－16≤a≤0”的________条件．

答案　充要

解析　∵“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，

∴“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，∴Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.故为充要条件．

16．已知命题p：

α＝β是tanα＝tanβ的充要条件．

命题q：

∅⊆A.下列命题中为真命题的有________．

①p或q　②p且q　③綈p　④綈q

答案　①③

17．已知集合A＝{1，a,5}，B＝{2，a2＋1}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________．

答案　0或－2

解析　若a＝2，则a2＋1＝5，A∩B＝{2,5}，不合题意舍去．

若a2＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}．

若a2＋1＝5，则a＝±2.

而a＝－2时，A∩B＝{5}．

若a2＋1＝a，则a2－a＋1＝0无解．

∴a＝0或a＝－2.

18．命题“若x2<1，则－1

答案　若x≥1或x≤－1，则x2≥1

解析　原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1