初三数学竞赛精选题.docx

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初三数学竞赛精选题

全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.请将正确结论的代号填入题后的括号里•不填、多填或错填，得零分）

119

（A）--（B）二（C）-15（D）-13

22

2.在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。

如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费（）.

（A）2.4元（B）2.8元（C）3元（D）3.2元

3.如下图所示，/A+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+/G=（）.

（A）360°（B）450°（C）540°（D）720

4.四条线段的长分别为9,5,x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（）.

（A）2个（B）3个（C）4个（D）6个

5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄

影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数》3），且要求各行的人数必须是连

续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足

上述要求的排法的方案有（）.

（A）1种（B）2种（C）4种（D）0种

、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

1117

7.若实数x,y,z满足x—=4,y-=1,z•—二一，贝Uxyz的值为

yzx3

8.观察下列图形:

C

根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为9.如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC

上,如果CD与地面成45o,/A=60oCD=4m,

BC=4・..6-2.2m,则电线杆AB的长为

m.

10.已知二次函数y=ax2•bx•c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1,4）

与点B（2,1）,并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为.

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11.如图所示，已知AB是。

O的直径，BC是。

O的切线，OC平行于弦AD,过点D作DE丄AB于点E,连结AC,与DE交于点P.问EP与PD是否相等？

证明你的结论.

解:

12•某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：

小时）如图所示•若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

解：

6

17

14

15

11

13

10

18

（第12题图）

12

13B.如图所示，在△ABC中，/ACB=90°

（2）当点D与点A重合时，第

（1）小题中的等式是否存在？

请说明理由•

（3）

当点D在BA的延长线上时，第

（1）小题中的等式是否存在？

请说明理由•

（第13B题图）

14B.已知实数a，b，c满足：

a+b+c=2，abc=4.

（1）求a，b，c中的最大者的最小值；

（2）求abc的最小值.

注：

13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题.13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页13A和14A两题可留作考试后的研究题。

13A•如图所示O的直径的长是关于x的二次方程x2•2（k-2）x•k=0（k是整数）的最大整数根.P是。

O外一点，过点P作。

O的切线FA和割线PBC,其中A为切点，点B,C是直线FBC与。

O的交点.若FA,FB,PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2PB2PC2的值.

解：

（第13A题图）

14A.沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式

（a-d）（b-c）>0,那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6，问：

是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有（a—d）（b—c）<0?

请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…，2003,

问：

是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,

都有（a-d）（b-c）<0?

请说明理由.

解：

（1）

全国初中数学竞赛试题

参考答案与评分标准

一、选择题（每小题6分，满分30分）

1.

D

2.D

因为20X3V72.5V20X4,所以根据题意，可知需付邮费0.8X4=3.2（元）

3.C

如图所示，/B+ZBMN+/E+/G=360°,ZFNM+ZF+ZA+ZC=360°,而/BMN+ZFNM=ZD+180°,所以

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=540°.

4.D

显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。

（1）若AB=9,当CD=x时,

当CD=5时,当CD=1时,

（2）若AB=x,当CD=9时,

当CD=5时,

当CD=1时,

故x可取值的个数为6个.

5.B

设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k,k+1,

k+2,…，k+（n—1）,由题意可知kn+n（；。

=100,即nbk+（n—1）】=200.

因为k,n都是正整数，且n》3,所以n<2k+（n—1）,且n与2k+（n—1）的奇偶性不同.将200分解质因数，可知n=5或n=8.当n=5时，k=18;当n=8时，k=9.共有两种不同方案.

6.

1+4+3X4+324+334=1+4+12+36+108=161（个）

a—h+c=4由于二次函数的图象过点A（-1,4）,点B（2,1）,所以丿，

、4a+2b+c=1.

因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以厶二b2-4ac0,

所以a>2.又因为b+c=—3a+2<-4,且当a=2,b=—3,c=—1时，满足题意，故b+c的最大值为—4.

、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11•如图所示，已知AB是。

O的直径，BC是。

O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE丄AB于点E,连结AC,与DE交于点P.问EP与PD是否相等？

证明你的结论.

解：

DP=PE.证明如下：

因为AB是。

O的直径，BC是切线，所以AB丄BC.

由RtAAEPsRtAABC,得

空妙.①

BCAB

（6分）

又AD//OC,所以/DAE=/COB，于是Rt△AEDsRt^OBC.EDAEAE2AE

故②……（12分）

BCOB1ABAB

2

由①，②得ED=2EP.

所以DP=PE.……（15分）

12•某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：

小时）如图所示•若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元•试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

解：

从A城出发到达B城的路线分成如下两类：

（1）从A城出发到达B城，经过O城.因为从A城到O城所需最短时间为

26小时，从O城到B城所需最短时间为22小时.所以，此类路线所需最短时间为26+22=48（小时）.……（5分）

（2）从A城出发到达B城，不经过O城.这时从A城到达B城，必定经过C,

D,E城或F,G,H城，所需时间至少为49小时.……（10分）

综上，从A城到达B城所需的最短时间为48小时，所走的路线为：

A—F—O—E—B.……（12分）

所需的费用最少为：

80X48X1.2=4608（元）…（14分）

答:

此人从A城到B城最短路线是

AfFfOfEfB,所需的费用最少为4608兀

（15分）

（第12题图）

13B.如图所示，在△ABC中，/ACB=90°

（1）当点D在斜边AB内部时，求证：

CD2—BD2AD—BD

2—

BCAB

（2）当点D与点A重合时，第

（1）小题中的等式是否存在？

请说明理由

（3）当点D在BA的延长线上时，第

（1）小题中的等式是否存在？

请说明

理由.

解：

（1）作DE丄BC，垂足为E.由勾股定理得

CD2_BD2=（CE2DE2）_（BE2DE2）二CE2-BE2=（CE-BE）BC.

所以

CD2-BD2CE-BECEBE

2==—

BCBCBCBC

（10分）

CD2-BD2ADBDAD-BD

2———

BCABABAB

（2）当点D与点A重合时，第

（1）小题中的等式仍然成立。

此时有

AD=0，CD=AC，BD=AB.

〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分）•

14B.已知实数a，b,c满足：

a+b+c=2,abc=4.

（1）求a,b,c中的最大者的最小值；

（2）求abc的最小值.

解：

（1）不妨设a是a,b,c中的最大者，即a>b,a>c,由题设知a>0,厂4

且b+c=2-a,bc.

a

于是b,c是一元二次方程x2-（2-a）x•4=0的两实根，

a

24

A=（2-a）-4->0,

a

a3-4a24a-16>0,（a24）（a_4）>0.所以a>4.……（8分）

又当a=4,b=c=-1时，满足题意.

故a,b,c中最大者的最小值为4.（10

分）

（2）因为abc>0,所以a,b,c为全大于0或一正二负.

1）若a,b,c均大于0,则由

（1）知，a,b,c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾.

2）若a,b,c为或一正二负，设a>0,b<0,c<0,贝U

a+b+|c=a_b_c=a_（2_a）=2a_2,

由

（1）知a>4,故2a-2>6,当a=4,b=c=-1时，满足题设条件且使得不

13A.如图所示，。

O的直径的长是关于x的二次方程x2•2（k-2）x•k=0（k是整数）的最大整数根.P是。

O外一点，过点P作。

O的切线FA和割线PBC,其中A为切点，点B,C是直线FBC与。

O的交点.若FA,FB,PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求

PA2PB2PC2的值.

解：

设方程x22（k-2）x•k=0的两个根

为X1,X2,x1

Xrx2=4-2k,①

XiX2=k.②

由题设及①知，xr,x2都是整数.从①，②消去k,得

2xrx2xrx2=4,

（2xr1）（2x21）=9.

由上式知，x2岂4，且当k=0时，x2=4，故最大的整数根为

于是。

O的直径为4,所以BCW4.

因为BC=PC—PB为正整数，所以BC=1,2,3或4.-

连结AB,AC,因为/PAB=/PCA，所以PAB^^PCA,

PAPC

。

PBPA

故PA2=PB（PBBC）③……（10分）

（1）当BC=1时，由③得，PA2=PB2•PB，于是

PB2:

:

PA2：

：

（PB1）2，矛盾！

（2）当BC=2时，由③得，PA^PB22PB，于是

PB2：

：

PA2:

:

（PB1）2，矛盾！

（3）当BC=3时，由③得，PA2二PB23PB，于是

13A图）

4.

（6分）

（PA-PB）（PAPB）=3PB,

由于PB不是合数，结合PA-PB：

：

：

PAPB，故只可能

Pa-pb=1,

‘PA-PB=3,

jPA+PB=3PB,

jPA+PB=PB,

PA-PB二PB,

PAPB二3,

此时PA2PB2PC2=21.

（4）当BC=4，由③得，PA^PB24PB，于是

（PB1）2

：

（PB2）2，矛盾.

综上所述

PA2PB2PC2=21.……（15分）

14A.沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式

（a-d）（b-c）>0,那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问：

是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有（a—d）（b—c）<0?

请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…，

2003,问：

是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,

d,都有（a-d）（b-c）<0?

请说明理由.

解：

（1）答案是肯定的.具体操作如下：

（5分）

（2）答案是肯定的.考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P.……（7分）

开始时，P0=1X2+2X3+3X4+…+2002X2003+2003X1,经过k（k>0）次

操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk，此时若圆周上依次相连的4个

数a,b,c,d满足不等式（a「d）（b「c）>0,即ab+cd>ac+bd，交换b,c的位置

后，这2003个数的相邻两数乘积之和为，有

Pk4〜Pk=（accbbd）-（abbccd）二acbd〜ab〜cd：

：

0.

所以Pk4—Pk乞-1，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1,由于相

邻两数乘积总大于0,故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c,

d,—定有（a-d）（b-c）<0.……（15分）