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不定积分毕业论文
本科生毕业论文设计
不定积分的计算方法及拓展
作者姓名:
指导教师:
所在学院:
数学与信息科学学院
专业(系):
数学与应用数学
班级(届):
201X届数学X班
-O-五年四月二十四日
中文摘要、关键字1
1不定积分的计算方法2
1.1分部积分法2
1.1.1分部积分法得基本认识2
1.1.2函数“、V的优选判别3
1.2第一换元积分法4
1.2.1第一换元积分法概念4
1.2.2常用凑微分公式4
1.3第二换元积分法5
1.3.1第二换元积分法概念5
1.3.2第二换元法的常用代换5
2儿种特殊类型函数的积分8
2.1计算有理函数的不定积分8
2.1.1有理函数的基本认识9
2.1.2有理真分式分解及部分分式法9
2.2计算三角函数有理式的不定积分11
2.3计算某些无理根式的不定积分14
2.4计算分段函数的不定积分16
参考文献17
英文摘要、关键字18
不定积分的计算方法及拓展
数学与信息科学学院数学与应用数学
指导教师
作者
摘要:
不定积分在数学分析学科中的占据着重要地位•不定积分是计算微分的逆运算,是讣算函数定积分运算的基本前提,是一种处理具体应用如,物理学运动、液体流速等,经济学函数数量统计,以及儿何学上曲线、曲面等问题的重要途径.本文主要阐述了三种常用的计算方法和四类特殊函数的不定积分讣算方法.
关键字:
原函数不定积分变量代换有理式有理化三角函数有理式无理根式
引言
不定积分的计算方法的研究不仅仅是某些经验方法的积累它存在着更多哲学的思辨.它依幕一定的逻辑规则为微积分学科的应用与思辩开拓了新途径,是定积分计算的基础.
针对有理式、三角函数有理式及无理根式三种特殊函数的不定积分在思想及具体方法进行的探究联系与总结.最终,归纳分类形成合理的统一的公式解法.
1不定积分的计算方法
应用基本积分公式表、积分性质以及某些复合运算的技巧可解得一些函数的原函数.而一些不符合基本积分公式的函数汁算不定积分经转化最终也可归为基本不定积分.对于如Inx,(anx,col兀,secx,escx,arcsinx,arctanx等这类无法直接应用基本积分公式的初等函数求其原函数,我们需要从一些求导法则去导出相应的不定积分法则,扩充不定积分公式.
1•1分部积分法
1.1.1分部积分法得基本认识
定理1假设有“(X)、咻)可导,且卜心)咻)存在,于是有不定积分|u(x)v\x)也存在,并有j=H(A)V(X)-J//Z(x)v(x).常简写作Jz/Jv=-Jvj//[1].
一般地,被积函数中若含有某些幕函数,无理根式,对数函数,反三角函数等因式时可应用分部积分法计算不定积分,可将这类因式作为“;对于容易看出V,且I,的原函数易解得的情况下也可以应用分部积分法[3].
例1计算Jxcosxdv.
解:
令,"=x,y=cosx则有M=1,v=sinx.由分部积分公式得
Jxcosxtix=xsinx—Jsinxdx=xsinx+cosx+C.
例2计算Jarctanxdx.
解:
令u=arctanx,『=1,贝lju=一匚,u=x,由分部积分公式得
\+x~
farctanxdx=xarctanx-f—dx=xarctanx-—ln(l+x2)+C.
JJ1+x22
有些情况下,可能需多次应用分部积分法,若循环出现某个积分,可应用解方
程的思想求解.
例3计算/=Jyjx2+adx・
分析:
应用分部积分法;同时,需作适当的代换求解.
角军:
/=x\]x2+a-fdx,由于J£dx=I-ai#_,
J\Jx2+aJyjx2+aJyjx2+a
可设——+歼匚f丄;
yfx^+a\jx2+at
16/Inx+\Jx2+a
整理得/=_xylx2+a+C.・
22
1.1.2函数"、卩的优选判别
分部积分的难点不仅在于积分方法的正确应用还在于函数"、卩的正确选择[8].
函数"、”的选择原则:
(l)lllv计算”要容易求得(应用分部积分公式的前提);
m\vdu需比更容易导出(应用分部积分公式的LI的)[4].
1J此(x)aLtdx,JPn(a)sin如v类型积分.巴(x)是关于x的"次多项式,a>0;其中,产,sind所表示的是指其代表的一类函数*是常数.取"=P”(x).
例4计算Z=J(x2+1)3x^.
3v(x2+1)
ln3
分析:
令”=疋+]”=丁,需重复应用分部积分公式;
_2_|x.3'Ja-=—(x2+1-21_J_)+c.
In3Jln3In3In23
II・J出(x)lnxdxjE(x)arcsinxdx类型积分•其中lnx,arcsinx等表示的是其所属的一类函数•取vf=Pn(x).
例5计算jxarccosxdx.
分析:
依据上述说明”=arccosx」/=x,应用适当的根式代换求解即可;
xarccosxdx=—arccosx+—arcsinx-—>/1-x2+C・
242
IILjVdwxdxJ申cos〃My类型不定积分•需重复应用分部积分公式或应用公式
eAtcosjLHdt=—?
(“sin//2sin〃/一//cospt+2cos/Usin///一pcos///)+C.
2+
例6计算/=J严cosbxdx,ab^O.
W:
设“=cosbx,v=—贝iju=-bsinbx,un=-b~cosbx;vf=——,/=eax;
1.2第一换元积分法
1.2.1第一换元积分法的概念
定理2若被积函数f(x)=jf?
(u)du=G(u)+CJ1>J有
Jf(x)dx=Jg(“)du=G(u)+C[2].
第一积分换元积分法也称“凑”微分积分法,它常常山基础积分公式转化而来通过凑微分的方法引出新的积分变量.
1.2.2常用凑微分公式
I•凑常数:
Jf(ax+b)dx=—F{ax+b)+C.
II
•凑幕函数:
f[/(x)rrw^=f[/WW)=^=+c
III
M凑倒数:
f加厶=f仙=In|/(蝌+C,(其中/(x)工0).JfWJf(x)
例7计算J害二:
2)J淫瞋乩
Jl’ini—]y1—A
=2arctanJ・1+C=2arctanJ严"-1+C・
2)令w由于,因此g合
1.3第二换元积分法(代换法)
1.3.1第二换元积分法概念
定理3若被积函数/(A)=g@(x))0(x),"=卩(x)H0且存在F(x)=f(x),则有
Jg(“)d"=Jg®x))0(x)〃x=Jf(x)dx=Fe'("))+C[2].
笫二换元积分法并不是单纯的复合函数求导的逆过程,也涉及到反函数求导定理.第二积分换元法,主要应用于讣算无理根式的不定积分.针对此类含根式的不定积分,该方法可设法消去根号,将其转化为简单函数的不定积分.
1.3.2第二换元法的常用代换
代换变形去将被积函数化成容易讣算的形式•常见的积分的代换有根式代换、三角函数代换、倒置代换[5].
I•根式代换
当被积函数中为根式如,帧E、話兽,可设阿石=匚
dx
i3(7_5»+三折瓦占“折瓦+]+C•
J^37+11055
2)令/=、卩三,则/>1x=-J—,dx=--
VX广一1(广一1)。
I[•三角函数变换
1被积函数含因式y/a2-x2,可设兀=asin/或x=acost进彳亍转化;
2被积函数含因式>/疋+/,可设x=atant或x=acot/进行转化;
③被积函数含因式厶‘一/,可设x=asect或x=acsct进行转化.
解:
1)设x=asint,则有dx=acostdt.
于是2HTCS吟"®,—护与则有
jyja2-x2dx=Jyja2-a2sin21・acostdt=/Jcos2tdt=—j(l+cos2t)dt
2
整理得fyja2-x2dx=—(t+—sin2/)+C=—arcsin丄+丄-+C.
J222a2
2)设x=“tanx,dx=—dt=ascc2tdt<—时,x=tztanx存在反函
cos't22
数,由此J
dxrasec2tdtr,,,.
■.=—=sectat=insec/+tanf+C;
yjx2+a2ojtan,/+1
(方法引入)根据tanr=-构造参考直角三角形,则有sec/=空心cia
fdx.\lx^+crx.\lx^+cr+x
I=In+—+C=In+C
Jyjx2+a2uua
=lnyjx2+a2+.v+Ct・
例10(区分变形)计算
分析:
利用分部积分法K=JJx2-a~dx=x^x~-a~-jxdy/x2-a2,其中,/=faz/\]x2-a2=fA.a+^- JJyjx1-a2JJ\Jx2-a2 整理得K=—ylx2-a2-—Inx+-/+C. 22 1IL倒置代换 若被积函数的分母中含因子&y+bx+c或分母次数较高时,可令x=-.t 例11计算]厶=. Xyj3x^—2兀+1 分析: 被积函数分母中含根式右宀2%+1,可应用倒置代换;另外,分母中存在 V7TF形式根式可令u=t+^/^7进行二次代换.解: 令心丄,则有=-尸仏于是 Xt 令“=(r-l)+j2+a-l)2,于是 例12计算f—1_lx. Jx(x7+l) 解: 若"、则dx=~dt^是 11 fdx=-f=In2a'7+1+C・ Jx(x7+l)J1+f14 IV.指数代换 当被积函数含有因子e”时,可令心夕以简化被积函数例13计算卜〃二. 解: 令t=exMt>O,dex=dt\ =—一+arctant+C=——+arctanex+C・tex V.反三角函数代换 被积函数中存在反三角函数时某些情况下利用分部积分法即可,而对于较复 杂的被积函数如复合函数中存在反三角函数则可考虑代换法. 例14计算Jtan(arcsinx)dx. 解: 若令r=arcsinx,则x=sint,dx=costdt・ 于是Jtan(arcsinx)dx=Jtan/cos/dr=|sintdt=-cost =-Jl-F・ 2几种特殊类型函数的积分 在掌握了一些最基本的积分运算方法之后,我们将面临一些特殊类型函数的不定积分,本节内容将针对有理函数,三角函数有理式以及某些无理根式的不定积分进行研究与讨论•然而,无论这些不定积分多么复朵,在原则上我们都可以通过求不定积分的方法与技巧按一定步骤求解得出. 2.1计算有理函数的不定积分 2.1.1有理函数的基本认识 有理函数,指山两个多项式的商表示的函数.其具体形式为: re=^=…f,其中加«都是非负整数;%,%,…,%及Q(x)box+b]X+...+bm_[x+bm 你几…九都是实数,同时a少0工0/(兀)、Q(x)为互素的多项式[1]・ 有理函数分有真分式和假分式两种类型: 若nvm,称此有理函数为真分式;若川,称此有理函数是假分式.利用多项式除法,假分式可以化为一个多项式和一个真分式之和(称为部分分式分解),因此讨论有理函数的积分只需考虑真分式的积分方法即可[1]・ 如果0(才)在实数范围内可分解成一次因式与二次质因式(A<0)的乘积形式, 即QM=bQ(x-a)a(x2+px+qY'..{x~+rx+sY',其中 则真分式箸可以分解为如下部分分式之和形式: 竺仏++£++_g^+禺**生Q(x)(x—df(x—a)zx-a(x_bf(x-Z? )^1x_b +…+宀卄4中,州,£九;刊2,...0 R{x+S{R2x+S2 (x2+rx+s)"(x2+rx+s)"" MM…陋;N\、N“•…N入;R辰…凡;S],S2・・・,S“都是常数[6]・ 最简真分式只有如下四种: ①△,②,伽〉1);③倉_^1£_,伙>1”_佃<0). x-a(兀_a)+px+q(x~+px+q) 2.1.2有理真分式分解及部分分式法 依据以上理论,求有理函数的不定积分只需要山分解部分分式分别求其不定 积分,应用待定系数法分解部分分式步骤简述如下: 1对QCv)在实系数内进行标准的因式分解: Q(x)=bQ(x-a)a...(x-b)p(x2+px+qY...(x2+rx+$)"; ②根据Q(x)所含各个因子,列出与之对应的部分分式: 如,分母0⑴含因式匕-”,与之对应的部分分式是 x-a(x-aY\x-a) 对于所有与因式(F+,对应的部分分式为 d*+'W+...+恥+G•.所有部分分式之和为/? (A). x+px+q(X"+px+qy+px+q) 3确定待定系数: 一般,所有部分分式经过通分相加,所得分式分母即为Q(x),同时,分子必然与原分子P(x)恒等.因此,各同幕项系数分别相等,于是我们可得出一个待定系数的线性方程组,方程组的解即为各项所需确定的系数. 注: 分母Q(x)中如果含有因子为关于x的一次因式或二次质因式),则R(x)分解后为R个部分分式之和如+企+… 讣算有理函数积分的步骤: 先用待定系数法或赋值法将有理分式转化为部分分式之和的形式,再对各部分分式分别求不定积分. 分析: 被积函数是有理真分式,若逐步确定Aoo比较困难,因此,可令分子应用赋值法转换成与分母的组成因子相关联的形式. 方法一令分子x2+\=A(\-x)2+B(\-x)+CM得A=1,B=-2,C=2,于是 方法二令1-x=f,那么x=1-r,贝ijdx=-dt,于是 当有理真分式的分母次数较大(大于等于4)时,常规的待定系数法显然比较麻 烦,此时可以选择采用凑微分法或变量代换的方法;特别地,当被积函数的分母中 含有因子Z(h>2,hgZ)时,一般采用倒置代换可将被积函数的分母中所含变量 因子F消去. 分析: 此题中被积函数的分母次数较大,根据其特点使『=»,釆用凑微分法可将 点"消去. 整理得,(vclx—=llnx3-3+—In疋+1+C. Jx6-2x3-3412 经过以上探索,我们会发现: 有理函数的不定积分一定可以通过初等函数,如对数函数、有理函数及反正切函数等表达出来•那么,求一个函数的原函数就可以予以适当的换元,使被积函数转化为有理函数,于是这个函数的不定积分总能被”积”出——这样的方法称为”有理化法”[6]. 2.2计算三角函数有理式的不定积分 三角函数有理式是指三角函数、常数经过有限次的四则运算构成的函数,记为&sinx,cosx);所谓计算三角函数有理式的不定积分,即计算J/? (sinx,cosAXv;求三角函数有理式的不定积分,其基本思想为: 通过适当的变换,从而将三角函数的积分化成有理函数的积分,转化的过程通常利用到三角函数的”万能公式”[3]. 求f心sinx,cosx)Ja-,通常通过变换使/=tan-,则有dx=二^dt, J21+r .x2/乍尤・x1-r sinx=2sin—cos—=: cosx=cos-—-sirT—=・ 221+r2221+r 所以,j*/? (sinx,cosx)iZr=. 三角有理式的积分分类: I•若7? (sinx,cosx)是关于cosx的奇函数,即7? (sinx,-cosx)=-7? (sinx,cosx),令 t=sinx即可; 例17计算岸 Jsin2x tanxcosx 分析: 5Z’=沁是关于COSX的奇函数,可利用t=sinx代换求解.sin"xsinx 解: 令/=sinx,则dt=cosxdx,于是ftanxc^sxjxJsin^x 整理得JtanA^Xdx=in|sinx|-|sin2x+C. 11•若7? (sinX.cosx)是关于sinx的奇函数,即/? (—sinx,cosx)=-R(sinxycosx),令 t=cosx即可; 例18计算|•空学 JcosX 分析: 竺1是关于sinx的奇函数,使用代换/=cosx求解.cosX 解: 令t=cosx,则dt=-sinxdx,于是f JCOSX —1,11c 厂〃=-芦沪+C, 整理得f^lZ JCOSXCOSX3COS*X III•若7? (sinx,cosx)=R(—sinx.-cosx),令/=tanx即可; 例4计算讣「 八4-cos2x+\2cos4x+sin4x2+tan4xz「一《•/、一八、# 分析: ;—=7;一=;——(tanX)'可令f=tanx进仃代换. sinxsinxcos*xtanx 解: : 令/=tanx.dt=―\—dx,于是fCOS+^dx=cos^xJsinx ^^dt=t--t~i+Cyt43 整理得J鲁卩一鬲5+C. IV•被积函数形如sinJcosJ,其原函数的讣算具体情形分为两种: ①若m、”至少存在一个为奇数,假如有n=2k+l(keN^),则可设t=sinx・ 如,|sin"xcos"xdx=Jsin;nxcos"xcosxdx =Jsin"x(l-sin2x)kJ(sinx)=J严*(1一/丁dt・ 2若m.n均为偶数,可借用三角函数的二倍角公式: sin2x=-(1-cos2x),cos2x=—(1+cos2x),sinxcosx=—sin2x将被积函数化简,所222 得结果为含sin2x或cos2x奇数次幕时可借情形①求解;另外,若同时含sin2x、cos2x的偶数次幕则需继续应用公式化简,化为含sin4x或cos4x的幕函数形式,以下情形类推. 例20计算jsin4xcos2xdx. 分析: 被积函数三角函数次数均为偶数,可利用公式”降次升倍F弋换化简. r・4ffl-cos2xsin22x. W-: sinxcos*xdx=・dx. JJ24 整理得JE2血琉一詈一占曲2x+C• V.形如sinnixsinnx,sinmxcosnx,cosnixcos空可应用积化和差公式进行代换: sinmxsinnx=一[cos伽一n)x一cos(m+n)x]; 2 sinmscosnx=-[sin(/? z+n)x+sin(/n-/i)a]; 2 cosmxcosnx=—[cos伽+n}x+cos(〃2—n)x]・ 例21求Jsin(3x一2)cos(2x+3)dx・ 解: j*sin(3x-2)cos(2x+3)"x=—[sin(5.r+1)+sin(x-5)]t/.v =—cos(5x+1)-cos(x-5)+C. 2.3计算某些无理根式的不定积分 凶竺乞皿型根式不定积分(“〃-beH0).cx+d 令心打竺巴可化为有理函数的积分.其中Ubc,d均为常数,正整数»>2;cx+d 由f得x=———-=(p(t),dx=(p{t)dt, +〃a-ctn 于是J%彳壬和=f尺⑷⑴,⑴山(其中,©a)=川C)• 有理函数所求导数仍是有理函数,即J&必),/0(力〃为关于/的有理函数. dx \[x-Uy/b-X 例22计算J 拓展1对于fR(x、("'*? )円,…,("人*“)几、[x(其中,畀,…,几wQ、Jcx+acx+d abc.d为常数且仇HR为畀+1元有理函数・)型根式不定积分的•对此,设 严=竺—冲为心…几的公分母,即可将此无理根式的不定积分转化为有理函cx+d 数的积分. 分析: 这里,7J=2=韦,于是加=6, 乙」 解: 令严=丫,贝ij[=6(-z——T-ilt=61*'+f〃=6r-6arctant+Cy JVx(l+Vx)J/(l+r)J1+广 II.jR(x,yjax2+bx+c)clx型根式的不定积分(a>0时h2-4ac^0\a<0时 ,一4仇・>0)・ 是J(X)=gS,/,F),函数g有三种表示0|(,+疋);问(“2_/);0肚2_“2)于是可转化为{/? (//,;J/? (/a;jr[u,类型的积分计算 [i]. 例24计算f.17.v JJx(9-x) 解汀「厶 JJx(9—x)JJ9_(x_3)2 “x_3、 =f^Li==arcsin—+C E3 拓展2对JR(x、yja2—x2);JR(x,Jx1-/);jR(x,y]x2+a2)型无理根式的不定积分.采用三角换元法代换求解,具体代换如下: 1J/? (X,-X’'可使x=asin/或x=acosF; 2JR(%'Vx2-a2jt/x,可使x=asect; 3+/艸,可使x=・ 1【【.二项微分式的积分,形如+b)pdx^aybeRjn,n,p€0,且均不为0),此类 积分在三种情况下可转化为有理函数的积分: ①"为
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