高中数学 31 不等关系教案 苏教版必修5 21.docx
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高中数学31不等关系教案苏教版必修521
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学3.1不等关系教案苏教版必修5
3.1
不等关系
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;
(2)掌握作差比较法判断两实数或代数式大小________.
2.过程与方法
(1)经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法;
(2)以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等关系;
(3)通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
3.情感、态度与价值观
(1)通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯;
(2)通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情境、实际背景的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学生学习方式,提高学习质量.
●重点、难点
重点:
用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值.
难点:
是用不等式(组)正确表示出不等关系.
考虑到学生实际应用能力上的欠缺,欲让学生用不等式或不等式组准确地表示出不等关系,教师要引导学生结合生活、学习实际由简到繁,由易到难,逐步深入,注意发挥学生学习的积极主动性,激发学生的学习兴趣.
(教师用书独具)
●教学建议
本节的主要内容是通过一系列的具体问题情境,使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,在学生了解了一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,学习不等式的有关内容.
由于本节的教学要着眼于与实际问题的联系,故建议在教学中建立“教师引导、自主探究、合作学习”的教学模式,在引导学生经历观察、思考、探究的过程中,重视让学生从问题中尝试、提炼、总结、运用,从而培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力,而且在鼓励学生主动参与的同时,也不忽视教师的主导作用,主要教会学生清晰的思维和严谨的推理.
●教学流程
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(对应学生用书第43页)
课标解读
1.了解现实世界和日常生活中的一些不等关系.
2.了解不等式(组)的实际背景.
3.了解不等式的一些基本性质,会比较数或式的大小.(重点)
不等式与不等式
常见的文字语言与数学符号之间的转换
文字语言
数学符号
大于
>
小于
<
大于或等于
≥
续表
文字语言
数学符号
小于或等于
≤
至多
≤
至少
≥
不少于
≥
不多于
≤
比较实数a,b大小的依据
a-b>0⇔a>b;
a-b=0⇔a=b;
a-b<0⇔a<b.
(对应学生用书第43页)
用不等式表示不等关系
糖水是日常生活中很普通的东西,下列关于糖水浓度的问题,同学们能分别提炼出怎样的不等式?
(1)如果向一杯糖水里添上点儿糖,“糖水加糖变甜了”;
(2)把原来的糖水与加糖后的糖水合到一起,得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.
【思路探究】 由生活中的经验、结合化学中浓度的知识可以求解.
【自主解答】
(1)“糖水加糖变甜了”,这是同学们都知道的生活现象.
设糖水有b克,含糖a克,浓度为
,添入m克糖后的浓度为
,则提炼出的不等式模型为:
若b>a>0,m>0,则
<
.
(2)设淡糖水有b1克,含糖a1克,浓度为
,
浓糖水有b2克,含糖a2克,浓度为
.
则混合后的浓度为
,所提炼出的不等式模型为:
若b1>a1>0,b2>a2>0,且
<
,
则
<
<
.
1.用不等式表示不等关系,要审清题意,恰当选取符号,尤其要注意“>”与“≥”,“<”与“≤”的区别.
2.用不等式表示不等关系,必要时还要设立变量,以便于写出不等式.
下列标志各表示什么意思?
请用不等式表示其中的不等关系.
图3-1-1
【解】 图中的标志的意思及不等式表示为:
①最低限速 限制行驶时速v不得低于50公里,即v≥50;
②限制质量 装载总质量G不得超过10t,即G≤10;
③限制高度 装载高度h不得超过3.5米,即h≤3.5;
④限制宽度 装载宽度a不得超过3米,即a≤3;
⑤时间范围 7:
30≤t≤10:
00.
用不等式组表示多个不等关系
某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车,有9名驾驶员,此车队每天至少要运360t矿石到冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.
【思路探究】 由题中所给信息,应有如下不等关系:
(1)甲型卡车和乙型卡车的总辆数不能超过驾驶员人数;
(2)车队每天至少要运360t矿石;(3)甲型卡车不能超过4辆,乙型卡车不能超过7辆.用关于x,y的不等式表示上述不等关系即可.
【自主解答】 设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,
则
即
1.本题用驾驶员人数限制了车辆数,即甲型卡车和乙型卡车的总辆数不能超过驾驶员人数,这个不等关系易被忽略.
2.用不等式组表示实际问题中的不等关系时,要做到:
(1)阅读要用心,读懂题意,寻找不等关系的根源,这是解决实际问题最基本的一步.
(2)对题中关键字、关键句要留心,多加注意.
(3)要将所有不等关系都表示为不等式.
2012年某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是:
语文不低于90分;数学应高于80分;语、数、英三科的成绩之和不少于330分.若小明被录取到该校,设该生的语、数、英的成绩分别为x,y,z,则x,y,z应满足的条件是________.
【解析】 把题意中的三个条件写成不等式组即可.
【答案】
比较数(或式)的大小
已知x>1,比较x3+6x与x2+6的大小.
【思路探究】 作差→因式分解变形→判断符号→结论
【自主解答】 (x3+6x)-(x26)=x3-x2+6x-6=x2(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+6).
∵x>1,∴(x-1)(x2+6)>0,∴x3+6x>x2+6.
1.本例中,在比较两式大小时,应注意x>1这个条件,条件的改变,可能改变不等号的方向.
2.比差法是比较两数(或式)大小的最常用方法,比差时最关键的步骤是变形.变形的主要目的是为了判断差式的符号,变形越彻底就越易判断符号.变形的手段主要有:
配方、平方差公式、立方差公式、立方和公式、通分、因式分解、分子(或分母)有理化等.
将题目中“x>1”改为“x∈R”,比较x3+6x与x2+6的大小.
【解】 (x3+6x)-(x2+6)=x3-x2+6x-6=x2(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+6).
∵x2+6>0,
∴当x>1时,(x-1)(x2+6)>0,
即x3+6x>x2+6;
当x=1时,(x-1)(x2+6)=0,
即x3+6x=x2+6;
当x<1时,(x-1)(x2+6)<0,
即x3+6x<x2+6.
(对应学生用书第45页)
忽略题目的隐含条件导致错误
一报刊亭摊主从报社买进某种报纸的价格是每份0.2元,卖出的价格是每份0.3元,卖不掉的报纸以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里,有20天每天可卖出400份报纸,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进的份数必须相同.试计算他应该每天从报社买进多少份报纸,才能使一个月所得利润超过600元?
试用不等式表示这一问题,不需解答.
【错解】 设每天从报社买进x份报纸,
则每月销量为(20x+10×250)份,退回报社[10(x-250)]份.
卖出的报纸每份可得0.1元,退回的报纸每份损失0.12元.
每月获得的利润为0.1×(20x+10×250)-0.12×10×(x-250)=0.8x+550,
∴0.8x+550>600.
【错因分析】 本题的解题过程似乎很全面,但是却忽略了题中隐含的自变量x的取值范围是250≤x≤400.
【防范措施】 利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时,一定要注意题目中是否有隐含条件.
【正解】 设每天从报社买进x份报纸(250≤x≤400),
则每月销量为(20x+10×250)份,退回报社[10(x-250)]份.
卖出的报纸每份可得0.1元,退回的报纸每份损失0.12元.
每月获得的利润为0.1×(20x+10×250)-0.12×10×(x-250)=0.8x+550,
∴0.8x+550>600(250≤x≤400).
1.基础知识:
(1)不等关系与不等式;
(2)比较实数a,b大小的依据.
2.基本技能:
(1)会用不等式表示不等关系;
(2)会用不等式表示多个不等关系;
(3)比较两个数(或式)的大小.
3.思想方法:
(1)函数思想;
(2)转化思想.
(对应学生用书第45页)
1.人类能听到的声音频率x不低于80Hz且不高于2000Hz,用不等式表示为________.
【解析】 “不低于80Hz”即“≥80Hz”;“不高于2000Hz”即“≤2000Hz”.
【答案】 80Hz≤x≤2000Hz
2.某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120km/h,行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于10m,用不等式表示为________.
【解析】 v的最大限速为120km/h,即v≤120km/h;d不得小于10m,即d≥10m.
【答案】 v≤120km/h且d≥10m
3.若x≠2且y≠-1,M=x2+y2-4x+2y,N=-5,则M与N的大小关系是________.
【解析】 M-N=x2+y2-4x+2y-(-5)=(x-2)2+(y+1)2.
∵x≠2且y≠-1,∴x-2≠0且y+1≠0,∴(x-2)2+(y+1)2>0,∴M>N.
【答案】 M>N
4.比较x3与x2-x+1的大小
【解】 ∵x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1
=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1),
∴当x=1时,(x-1)(x2+1)=0,∴x3=x2-x+1;
当x>1时,(x-1)(x2+1)>0,∴x3>x2-x+1;
当x<1时,(x-1)(x2+1)<0,∴x3<x2-x+1.
(对应学生用书第92页)
一、填空题
1.某果汁盒上标明果汁含量P不低于50%,则关于P的一个不等式为__________.
【解析】 不低于50%,即大于等于50%,又最大百分比为1,故50%≤P≤1.
【答案】 50%≤P≤1
2.如图3-1-2所示的两种广告牌,其中图
(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图
(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母a,b(a≠b)的不等式表示出来________.
(1)
(2)
图3-1-2
【解析】
(1)中面积显然比
(2)大,又
(1)的面积S1=
a2+
b2=
(a2+b2),
(2)的面积S2=ab,所以有
(a2+b2)>ab.
【答案】
(a2+b2)>ab
3.一根长为30m的钢筋,要分别截成80cm和120cm两种规格的短钢筋x根和y根,则x,y必须满足的不等式是________.
【解析】 所截钢筋总长度0.8x+1.2y不能超过30m,且x,y均为正整数.
【答案】 0.8x+1.2y≤30(x,y∈N*)
4.一个工程
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