专题229 二次函数中的存在性问题重难点题型举一反三人教版原卷版.docx
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专题229二次函数中的存在性问题重难点题型举一反三人教版原卷版
专题22.9二次函数中的存在性问题-重难点题型
【人教版】
【题型1二次函数中直角三角形存在性问题】
【例1】(2021•罗湖区校级模拟)如图,已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点P是抛物线上一动点,连接PB,PC.
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)如图1,当点P在直线BC上方时,过点P作PD上x轴于点D,交直线BC于点E.若PE=2ED,求△PBC的面积;
(3)抛物线上存在一点P,使△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标.
【变式1-1】(2021春•望城区校级月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),连接AC,点P为第二象限抛物线上的动点.
(1)求a、b、c的值;
(2)连接PA、PC、AC,求△PAC面积的最大值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△QAC为直角三角形,若存在,请求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式1-2】(2021•长沙模拟)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,且点B与点C的坐标分别为B(3,0).C(0,3),点M是抛物线的顶点.点P为线段MB上一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,若OD=m.
(1)求二次函数解析式;
(2)设△PCD的面积为S,试判断S有最大值或最小值?
若有,求出其最值,若没有,请说明理由;
(3)在MB上是否存在点P,使△PCD为直角三角形?
若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式1-3】(2021•长沙模拟)如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式;
(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;
(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标;
(4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形?
若存在,请直接写出此时点M的坐标,若不存在,请说明理由.
【题型2二次函数中等腰三角形存在性问题】
【例2】(2020秋•曾都区期末)如图,抛物线y=ax2+4x+c经过A(﹣3,﹣4),B(0,﹣1)两点,点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点,设其横坐标为m.
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD(点D是点A的对应点),求点D的坐标,并判断点D是否在抛物线上;
(3)过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M,试探究是否存在点P,使△PBM是等腰三角形?
若存在,求出点m的值;若不存在,说明理由.
【变式2-1】(2020秋•云南期末)如图,直线y
x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,已知二次函数的图象经过点B,C和点A(﹣1,0).
(1)求B,C两点的坐标.
(2)求该二次函数的解析式.
(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?
如果存在,直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【变式2-2】(2021•南充)如图,已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴交于点C,对称轴为直线x
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,连接OQ,当线段PQ长度最大时,判断四边形OCPQ的形状并说明理由;
(3)如图2,在
(2)的条件下,D是OC的中点,过点Q的直线与抛物线交于点E,且∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F,得△BEF为等腰三角形?
若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式2-3】(2021•建华区二模)综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点,且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).
(1)求抛物线的解析式及点B坐标;
(2)设该抛物线的顶点为点H,则S△BCH= ;
(3)若点M是线段BC上一动点,过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D,交抛物线于点E,求ME长的最大值及点M的坐标;
(4)在(3)的条件下:
当ME取得最大值时,在x轴上是否存在这样的点P,使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【题型3二次函数中平行四边形存在性问题】
【例3】(2020秋•元阳县期末)如图,直线y
x+c与x轴交于点A(﹣3,0),与y轴交于点C,抛物线y
x2+bx+c经过点A,C,与x轴的另一个交点为B(1,0),连接BC.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)M为x轴的下方的抛物线上一动点,求△ABM的面积的最大值.
(3)P为抛物线上一动点,Q为x轴上一动点,当以B,C,Q,P为顶点的四边形为平行四边形时,求点P的坐标.
【变式3-1】(2020秋•泰山区期末)如图,抛物线y
bx+c经过点A(﹣4,0),点M为抛物线的顶点,点B在y轴上,且OA=OB,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图.
(1)求直线AB和抛物线的表达式;
(2)在y轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小,在备用图中画出图形并求出点Q的坐标;
(3)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、O、C、N为顶点且AC为一边的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式3-2】(2021春•雨花区期末)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P从点B出发,沿着射线BC运动,速度每秒
个单位长度,过点P作直线PM∥y轴,交抛物线于点M.设运动时间为t秒.
①在运动过程中,当t为何值时,使(MA+MC)(MA﹣MC)的值最大?
并求出此时点P的坐标.
②若点N同时从点B出发,向x轴正方向运动,速度每秒v个单位长度,问:
是否存在t使点B,C,M,N构成平行四边形?
若存在,求出t,v的值;若不存在,说明理由.
【变式3-3】(2021•北碚区校级模拟)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣6与x轴交于A,C(﹣6,0)两点(点A在点C右侧),交y轴于点B,连接BC,且AC=4.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若P是BC上方抛物线上不同于点A的一动点,连接PA,PB,PC,求当S△PBC
S△PAC有最大值时点P的坐标,并求出此时的最大值.
(3)如图2,将原抛物线向右平移,使得点A刚好落在原点O,M是平移后的抛物线上一动点,Q是直线BC上一动点.当A,M,B,Q组成的四边形是平行四边形时,请直接写出此时点Q的坐标.
【题型4二次函数中菱形存在性问题】
【例4】(2020秋•巴南区期末)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C.
(1)求b,c的值;
(2)如图1,点P为直线BC上方抛物线上的一个动点,设点P的横坐标m.当m为何值时,△PBC的面积最大?
并求出这个面积的最大值.
(3)如图2,将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点D,点M为直线BC上的一点,点N是平面坐标系内一点,是否存在点M,N,使以点B,D,M,N为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式4-1】(2021•湘潭)如图,一次函数y
x
图象与坐标轴交于点A、B,二次函数y
x2+bx+c图象过A、B两点.
(1)求二次函数解析式;
(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为点C,点P是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q,使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形?
若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
【变式4-2】(2021春•无棣县月考)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3),点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.
(1)求二次函数解析式;
(2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形POP'C.是否存在点P,使四边形POP'C为菱形?
若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?
求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
【变式4-3】(2020秋•南岸区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(4,0)和B(﹣1,0),交y轴于点C.
(1)求二次函数y=x2+bx+c的表达式;
(2)将点C向右平移n个单位得到点D,点D在该二次函数图象上.点P是直线BD下方该二次函数图象上一点,求△PBD面积的最大值以及此时点P的坐标;
(3)在
(2)中,当△PBD面积取得最大值时,点E是过点P且垂直于x轴直线上的一点.在该直角坐标平面内,是否存在点Q,使得以点P,D,E,Q四点为顶点的四边形是菱形?
若存在,直接写出满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【题型5二次函数中矩形存在性问题】
【例5】(2021春•九龙坡区校级期末)如图1,若二次函数y=﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,连接AC、BC.
(1)求三角形ABC的面积;
(2)若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点,连接PB、PC,是否存在点P,使四边形ABPC的面积为18,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)如图2,若点Q是抛物线上一动点,在平面内是否存在点K,使以点B、C、Q、K为顶点,BC为边的四边形是矩形?
若存在,请直接写出点K的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式5-1】(2021•齐齐哈尔)综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,连接BC,OA=1,对称轴为直线x=2,点D为此抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上C、D两点之间的距离是 2
;
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点,连接BE和CE,求△BCE面积的最大值;
(4)点P在抛物线对称轴上,平面内存在点Q,使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形,请直接写出点Q的坐标.
【变式5-2】(2021春•杏花岭区校级月考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求直线BC的解析式;
(2)若点P为直线BC下方抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,△BCP的面积最大,求△BCP的最大面积及此时点P的坐标;
(3)点M为抛物线对称轴上一动点,点N为坐标平面内一点,若以点B,C,M,N为顶点的四边形是矩形,直接写出点M的坐标.
【变式5-3】(2021•北碚区校级模拟)如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且点A的坐标为(﹣2,0),直线BC的解析式为y
x﹣4.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,过点A作AD∥BC交抛物线于点D(异于点A),P是直线BC下方抛物线上一点,过点P作PQ∥y轴,交AD于点Q,过点Q作QR⊥BC于点R,连接PR.求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标.
(3)如图2,点C关于x轴的对称点为点C′,将抛物线沿射线C′A的方向平移2
个单位长度得到新的抛物线y′,新抛物线y′与原抛物线交于点M,原抛物线的对称轴上有一动点N,平面直角坐标系内是否存在一点K,使得以D,M,N,K为顶点的四边形是矩形?
若存在,请直接写出点K的坐标;若不存在,请说明理由.
【题型6二次函数中正方形存在性问题】
【例6】(2021•渝中区校级二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),其中A(﹣2,0),并且抛物线过点D(4,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点P为直线CD上方抛物线上一点,过P作PE∥y轴交BC于点E,连接CP,PD,DE,求四边形CPDE面积的最值及点P的坐标;
(3)如图2,将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),是否在新抛物线上存在点M,在平面内存在点N,使得以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形?
若在,直接写出此时新抛物线的顶点坐标,若不存在,请说明理由.
【变式6-1】(2020秋•高明区期末)如图,抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点Q在该抛物线的对称轴上,若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形,求点Q的坐标;
(3)若P为BD的中点,过点P作PF⊥x轴于点F,G为抛物线上一动点,GM⊥x轴于点M,N为直线PF上一动点,当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时,直接写出点M的坐标.
【变式6-2】(2021•合川区校级模拟)如图,在平面直角坐标系.xOy中,直线y=x﹣4与x轴交于点A,与y轴交于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(﹣2,0).
(1)求抛物线解析式;
(2)如图1,点F是直线AB下方抛物线上一动点,连接FA,FB,求出四边形FAOB面积最大值及此时点F的坐标.
(3)如图2,在
(2)问的条件下,点Q为平面内y轴右侧的一点,是否存在点Q及平面内任意一点M使得以A,F,Q,M为顶点的四边形是正方形?
若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【变式6-3】(2021•海南模拟)如图,平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(﹣3,0),B(4,0),交y轴于点C(0,4).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)直线y
x
与抛物线交于A、D两点,与直线BC交于点E.若点M(m,0)是线段AB上的动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点F,交直线AD于点G,交直线BC于点H.
①当SEOG
S△AOE时,求m的值;
②在平面内是否存在点P,使四边形EFHP为正方形?
若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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