直线和圆的位置关系.docx
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直线和圆的位置关系.docx
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直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
教学目标
(一)教学知识点
1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2.了解切线的概念,探索切线与过切点的直径之间的关系.
(二)能力训练要求
1.经历探索直线与圆位置关系的过程,培养学生的探索能力.
2.通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价,从而实现位置关系与数量关系的相互转化.
(三)情感与价值观要求
通过探索直线与圆的位置关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
教学重点
经历探索直线与圆位置关系的过程.
理解直线与圆的三种位置关系.
了解切线的概念以及切线的性质.
教学难点
经历探索直线与圆的位置关系的过程,归纳总结出直线与圆的三种位置关系.
探索圆的切线的性质.
教学过程
一.创设问题情境,引入新课
[师]我们在前面学过点和圆的位置关系,请大家回忆它们的位置关系有哪些?
本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系.
二.新课讲解
1.复习点到直线的距离的定义
2.探索直线与圆的三种位置关系
[师]直线和圆的位置关系,我们在现实生活中随处可见,只要大家注意观察,这样的例子是很多的.如大家请看课本113页,观察图中的三幅照片,地平线和太阳的位置关系怎样?
作一个圆,把直尺的边缘看成一条直线,固定圆,平移直尺,直线和圆有几种位置关系?
[生]把太阳看作圆,地平线看作直线,则直线和圆有三种位置关系;把直尺的边缘看成一条直线,则直线和圆有三种位置关系.
[师]从上面的举例中,大家能否得出结论,直线和圆的位置关系有几种呢?
[生]有三种位置关系:
[师]直线和圆有三种位置关系,如下图:
它们分别是相交、相切、相离.
当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点),这条直线叫做圆的切线(tangentline).
当直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.
当直线与圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
因此,从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系,你能总结吗?
[生]当直线与圆有唯一公共点时,这时直线与圆相切;
当直线与圆有两个公共点时,这时直线与圆相交;
当直线与圆没有公共点时,这时直线与圆相离.
[师]能否根据点和圆的位置关系,点到圆心的距离d和半径r作比较,类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢?
[生]如上图中,圆心O到直线l的距离为d,圆的半径为r,当直线与圆相交时,d<r;当直线与圆相切时,d=r;当直线与圆相离时,d>r,因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系.
[师]由此可知:
判断直线与圆的位置关系有两种方法.一种是从直线与圆的公共点的个数来断定;一种是用d与r的大小关系来断定.
(1)从公共点的个数来判断:
直线与圆有两个公共点时,直线与圆相交;直线与圆有唯一公共点时,直线与圆相切;直线与圆没有公共点时,直线与圆相离.
(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断:
d<r时,直线与圆相交;
d=r时,直线与圆相切;
d>r时,直线与圆相离.
(1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗?
[师]请大家发表自己的想法.
课本P95 例题1
因为直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD垂直,直线CD是⊙O的切线,因此有圆的切线垂直于过切点的直径.
这是圆的切线的性质,下面我们来证明这个结论.
课本P96 (反正法)
三.课堂练习:
P96 1,2
四.课时小结
本节课学习了如下内容:
1.直线与圆的三种位置关系.
(1)从公共点数来判断.
(2)从d与r间的数量关系来判断.
2.圆的切线的性质:
圆的切线垂直于过切点的半径.
五.课后作业:
P103 12,14
直线和圆的位置关系
(2)
教学目标
(一)教学知识点
1.能判定一条直线是否为圆的切线.
2.会过圆上一点画圆的切线.
3.会作三角形的内切圆.
(二)能力训练要求
1.通过判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力.
2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力.
(三)情感与价值观要求
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
经历探究圆与直线的位置关系的过程,掌握图形的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题.
教学重点:
探索圆的切线的判定方法,并能运用.
作三角形内切圆的方法.
教学难点:
探索圆的切线的判定方法.
教学过程
一.创设问题情境,引入新课
上节课我们学习了直线和圆的位置关系,圆的切线的性质,懂得了直线和圆有三种位置关系:
相离、相切、相交.判断直线和圆属于哪一种位置关系,可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断,还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径.
由上可知,判断直线和圆相切的方法有两种,是否仅此两种呢?
本节课我们就继续探索切线的判定条件.
二.新课讲解
1.探索切线的判定条件
如下图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角∠α,当l绕点A旋转时,
(1)随着∠α的变化,点O到l的距离d如何变化?
直线l与⊙O的位置关系如何变化?
(2)当∠α等于多少度时,点O到l的距离d等于半径r?
此时,直线l与⊙O有怎样的位置关系?
为什么?
大家可以先画一个圆,并画出直径AB,拿直尺当直线,让直尺绕着点A移动.观察∠α发生变化时,点O到l的距离d如何变化,然后互相交流意见.
从上面的分析中可知,当直线l与直径之间满足什么关系时,直线l就是⊙O的切线?
请大家互相交流.
直线l垂直于直径AB,并经过直径的一端A点.
[师]很好.这就得出了判定圆的切线的又一种方法:
经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
2.做一做
已知⊙O上有一点A,过A作出⊙O的切线.
分析:
根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知:
经过直径的一端,并且垂直于直径的直线是圆的切线,而现在已知圆心O和圆上一点A,那么过A点的直径就可以作出来,再作直径的垂线即可,请大家自己动手.
如下图,从一块三角形材料中,能否剪下一个圆使其与各边都相切.
分析:
假设符号条件的圆已作出,则它的圆心到三角形三边的距离相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径为圆心到三边的距离.
[师]由例题可知,BE和CF只有一个交点I,并且I到△ABC三边的距离相等,为什么?
[生]∵I在∠B的角平分线BE上,∴ID=IM,又∵I在∠C的平分线CF上,∴ID=IN,∴ID=IM=IN.这是根据角平分线的性质定理得出的.
[师]因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个,因为三角形三个内角的平分线交于一点,这点为圆心,这点到三角形三边的距离相等,这个距离为半径,圆心和半径都确定的圆只有一个.并且只能作出一个,这个圆叫做三角形的内切圆(inscribedcircleoftriangle),内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心(incenter).
4.例题讲解
如下图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.
求证:
AT是⊙O的切线.
三.课堂练习
四.课时小结
本节课学习了以下内容:
1.探索切线的判定条件.
2.会经过圆上一点作圆的切线.
3.会作三角形的内切圆.
4.了解三角形的内切圆,三角形的内心概念.
五.课后作业
已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.
求证:
DC是⊙O的切线.
圆和圆的位置关系
教学目标
(一)教学知识点
1.了解圆与圆之间的几种位置关系.
2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.
(二)能力训练要求
1.经历探索两个圆之间位置关系的过程,训练学生的探索能力.
2.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系,发展学生的识图能力和动手操作能力.
(三)情感与价值观要求
1.通过探索圆和圆的位置关系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
2.经历探究图形的位置关系,丰富对现实空间及图形的认识,发展形象思维.
教学重点
探索圆与圆之间的几种位置关系,了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.
教学难点
探索两个圆之间的位置关系,以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程.
教学过程
一.创设问题情境,引入新课
我们已经研究过点和圆的位置关系,分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种;还探究了直线和圆的位置关系,分别为相离、相切、相交.它们的位置关系都有三种.今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系,那么结果是不是也是三种呢?
没有调查就没有发言权.下面我们就来进行有关探讨.
二.新课讲解
1、想一想:
大家思考一下,在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?
[生]如自行车的两个车轮间的位置关系;车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系;用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等.
[师]很好,现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多.下面我们就来讨论这些位置关系分别是什么.
2、探索圆和圆的位置关系
在一张透明纸上作一个⊙O.再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2.把两张透明纸叠在一起,固定⊙O1,平移⊙O2,⊙O1与⊙O2有几种位置关系?
[师]请大家先自己动手操作,总结出不同的位置关系,然后互相交流.
[生]我总结出共有五种位置关系,如下图:
[师]大家的归纳、总结能力很强,能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?
从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑.
[生]如图:
(1)外离:
两个圆没有公共点,并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部;
(2)外切:
两个圆有唯一公共点,除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部;
(3)相交:
两个圆有两个公共点,一个圆上的点有的在另一个圆的外部,有的在另一个圆的内部;
(4)内切:
两个圆有一个公共点,除公共点外,⊙O2上的点在⊙O1的内部;
(5)内含:
两个圆没有公共点,⊙O2上的点都在⊙O1的内部.
[师]总结得很出色,如果只从公共点的个数来考虑,上面的五种位置关系中有相同类型吗?
[生]外离和内含都没有公共点;外切和内切都有一个公共点;相交有两个公共点.
[师]因此只从公共点的个数来考虑,可分为相离、相切、相交三种.
经过大家的讨论我们可知:
(1)如果从公共点的个数,和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑,两个圆的位置关系有五种:
外离、外切、相交、内切、内含.
(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种:
相离、相切、相交,并且相离
,相切
三、例题讲解
两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图所示(点O,O'是圆心),分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求∠TPN的大小.
四、想一想
如图
(1),⊙O1与⊙O2外切,这个图是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是什么?
切点与对称轴有什么位置关系?
如果⊙O1与⊙O2内切呢?
〔如图
(2)〕
[师]我们知道圆是轴对称图形,对称轴是任一直径所在的直线,两个圆是否也组成一个轴对称图形呢?
这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上,下面我们用反证法来证明.反证法的步骤有三步:
第一步是假设结论不成立;第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论;第三步是证明假设错误,则原来的结论成立.
证明:
假设切点T不在O1O2上.
因为圆是轴对称图形,所以T关于O1O2的对称点T'也是两圆的公共点,这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾,因此假设不成立.
则T在O1O2上.
由此可知图
(1)是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线,切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上.
在图
(2)中应有同样的结论.
通过上面的讨论,我们可以得出结论:
两圆相内切或外切时,两圆的连心线一定经过切点,图
(1)和图
(2)都是轴对称图形,对称轴是它们的连心线.
五、议一议
设两圆的半径分别为R和r.
(1)当两圆外切时,两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系?
反之当d与R和r满足这一关系时,这两个圆一定外切吗?
(2)当两圆内切时(R>r),圆心距d与R和r具有怎样的关系?
反之,当d与R和r满足这一关系时,这两个圆一定内切吗?
[师]如图,请大家互相交流.
Ⅳ.课时小结
本节课学习了如下内容:
1.探索圆和圆的五种位置关系;
2.讨论在两圆外切或内切情况下,图形的轴对称性及对称轴,以及切点和对称轴的位置关系;
3.探讨在两圆外切或内切时,圆心距d与R和r之间的关系.
Ⅴ.课后作业
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 关 键 词:
- 直线 位置 关系