怎么证明平行四边形.docx

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怎么证明平行四边形

怎么证明平行四边形

第一篇：

怎么证明平行四边形

在平行四边形abed中，ae,cf,分别是/dab、/bed的平分线，e、f点分别在de、ab上，求证：

四边形afee是平行四边形

证明：

•••四边形abed为平行四边形；

二deIIab;

eaf=/dea

tae,ef，分别是/dab、/bed的平分线;

dae=/eaf;/eef=/bef;

「•/eaf=/efb;

aeIIef;

teeIIaf

•••四边形afee是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四

边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的

四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且

相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

2

1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360,5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..

3判定（前提：

在同一平面内）

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;（3）两组对边分别

平行的四边形是平行四边形；（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）两组对角分别相等的四边形为平行四边形（注：

仅以上五条

为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。

）（第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）所以这个四边形是平行四边形）编辑

本段性质（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。

）

（1）平行四边

形对边平行且相等。

（2）平行四边形两条对角线互相平分。

（3）平行四

边形的对角相等，两邻角互补。

（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

（推论）（5）平行四边形的面积等于底和高的积。

（可

视为矩形）（6）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

（7）对称中心是两对角线的交点。

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四

边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的

四边形是平行四边形

第二篇：

证明平行四边形

证明平行四边形

如图，分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd、

等边△abe。

已知/bac=30o,ef丄ab,垂足为f,连结df。

求证：

四边形adfe是平行四边形。

设bc=a,则依题意可得：

ab=2a,ac=V3a,

等边△abe,ef丄ab=>af=1/2ab=a,ae=2a,ef=V3a

daf=/dac+Zcab=60°+30°=90°,ad=ac=V3a,df=V（ad

2+af2）=2a

ae=df=2a,ef=ad=V3a=>四边形adfe是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四

边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的

四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且

相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

2

1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..

3判定（前提：

在同一平面内）

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;（3）两组对边分别

平行的四边形是平行四边形；（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）两组对角分别相等的四边形为平行四边形（注：

仅以上五条

为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。

）（第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°,那么邻角之和等与180°,那么对边平行，（两组对边

分别平行的四边形是平行四边形）所以这个四边形是平行四边形）编辑本段性质（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。

）

（1）平行四边

形对边平行且相等。

（2）平行四边形两条对角线互相平分。

（3）平行四

边形的对角相等，两邻角互补。

（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

（推论）（5）平行四边形的面积等于底和高的积。

边形

对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

（7）对称中

心是两对角线的交点。

性质9（8）矩形菱形是轴对称图形。

（9）平行四边形abed中（如图）e为ab的中点，贝Sae和de互相三等分，一般地，若e为ab上靠近a的n等分点，则ae和de互相（n+1）等分。

*注：

正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。

（10）平行四边形abed中，ac、bd是平行四边形abed的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。

（11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。

（12）平行四边

形是中心对称图形，但不是轴对称图形。

（13）平行四边形中，两条在

不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。

（14）平行四边形中，一个角

的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。

编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法一、连接对角线或平移对角线。

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

编辑本段面积与周长1、

（1）平行四边形的面积公式：

底x

高（推导方法如图）;如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积，则s平行四边二ah

（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“s”表示平行四边形的面积，则s平行四边形=ab*sin@2、平行四边形周长可以二乘（底1+底2）;如用“a”表示底1,“b”表示底2,“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2（a+b）底x1x高

第三篇：

证明平行四边形

证明（三）平行四边形导纲

一、引入：

平行四边形的定义：

a

平行四边形定义的应用：

b（l）Tab//cd,ad//bc

•••四边形abcd是⑵T四边形abcd是平行四边形.••二、自主探

究：

证明：

平行四边形的对边相等，对角相等。

已知：

口abcd（如

图）

求证:

ab=cd,bc=da;/b=Zd,/bad二/dcb证明：

丁四边形abcd是

平行四边形

dab

d

三、性质应用：

1.在口abed中，已知/a=32。

，求其余三个角的度数解：

丁四边

形abed是平行四边形二

d

2.已知在□abed中ab=6em,be=4e口求口abed的周长。

解：

丁四边

形abed是平行四边形二

3.连结ae,已知口abed的周长等于20cmae=7em求厶abe的周长。

e

b

a

四、小组合作探究：

证明：

平行四边形的对角线互相平分

五、总结性质：

ad

d

b

e

六、巩固练习：

1.已知o是口abed的对角线交点，ac=10cmbd=18cm

ad二？

12cm则厶boc?

的周长是

2.如图所示，平行四边形abcd的对角线相交于o点，且ab^bc,过o点作oe丄ac，交bc于e,如果△abe的周长为b,则平行四边形abcd的周长是（）。

a.bb.1.5bc.2bd.3b

ad

bec

七、学以致用：

证明：

夹在两条平行线间的平行线段相等。

八、巩固练习：

1、已知：

如图平行四边形abcd,e,f是直线bd上的两点，且/e二/f。

求证：

ae=cfc

2、已知：

如图，口abcd的对角线ac,bd相交于点o,过点o的直线与ad,bc分别相交

于点e,f.d求证:

oe=of.

b

f

九、自我检测：

1.在口abcd中，/a=50?

则/°

2.如果口abed中，/a+Zc=240°则

3.如果口abed的周长为28cm,且ab:

bc=2:

5,那么，cm,cm,.

3、已知：

如图,ac,bd是口abcd的两条对角线，且ae丄bd,cf丄bd,垂足分别为e,f,

求证:

ae=cf.

b

十、能力提咼：

4、已知：

在口abcd中,点e,f在对角线ac上,且

af=ce.

d

线段be与df之间有什么关系？

请证明你的结论.

a

若去掉题设中的af=ce，请添加一个条件使be与df有以上同样的

性质.b

第四篇：

命题与证明平行四边形教案

《命题与证明》

1、定义（一般地，能清楚地规定某一名称或术语意义的句子叫做

该名称或术语的定义）

2、命题（一般地，判断一件事情的句子叫做命题）命题是一个

“判断句”，判断“是”或“非”.其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，如“对顶角相等”是真命题，“相等的角是对顶角”是假命题.注意：

（1）命题是语句，而且必须是能判断正确和错误的句子.

（2）错误的命题也是命题.

过直线外一点做一条直线与已知直线垂直。

过直线外一点做一条直线，要么与已知直线相交，要么与已知直

线平行。

3、每个命题是由条件（题设）和结论（题断）两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式.一般形式是“如果p,那么q”，其中用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论.（判断清楚哪些是条件，哪些是结论）

写成“如果，那么”的形式

1在同一个三角形中等角对等边

2角平分线上的点到角两边的距离相等

3同角的余角相等

3、公理、定理、推论

人们在长期实践中检验所得的真命题，并作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做公理.如“过两点有且只有一条直线”；

“两点之间，线段最短”等等.有些命题的正确性是通过推理证实的，并被选定作为判定其它命题真假的依据，这样的真命题叫定理.由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.如三角形内角和定理三角形的内角和等于180°.

推论1直角三角形的两锐角互余.

推论2三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

推论3三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

4、证明真命题的方法

根据题设、定义、公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫证明.证明一个真命题一般按以下步骤进行：

（1）审题，分清命题的条件与结论.

（2）画图，依题意画出图形，画图时应做到图形正确且具有一般性，切忌将图形特殊化.

（3）写“已知”“求证”，按照图形，分析、探求解题思路，然后写出证明过程，证明的每一步都要做到叙述清楚，而且要有理有据

5、证明假命题的方法

证明一个命题是假命题，只需举一个“反例”即可，也就是举出一个符合命题的条件而不符合结论的例子.用反证证明下列命题是假命题

有一条边、两个角相等的两个三角形全等

任何三条线段都能组成三角形

6、重难点及归纳

1命题的理解：

本节的一个难点是找出一个命题的题设和结论，它是后面证明中，书写已知求证的基础，对那些条件结论不明显的命题.应在学习中多练，必要时结合图形来区分.例如命题“如果两条直线和

第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，其中“两条直线和第三条直线平行”是条件，“这两条直线也平行”是结论.再如命题，“对顶角相等”，它的条件和结论不明显，应将它改成“如果两个角为对顶角，那么这两个角相等”，再指出条件和结论.

2定义、命题、公理和定理之间的联系与区别

这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据.

3证明真命题的方法和步骤，难点是分析证明思路，有条理地写出推理过程.

4三角形内角和定理的三个推论常用来求角的大小和进行角的比较.

7、证明的思路：

①从已知出发，推出可能的结果，并与要证明的结论比较，直至推出最后的结果。

②从

要证明的结论出发，探索要使结论成立，需要什么条件，并与已知条件对照，直到找到所需要的并且是已知的条件。

探索证明：

在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60度

9、用反证法（证明的思路如何，苦李子的故事）

用反证法证明命题，一般有三个步骤：

反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）

归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾，或者与假设所推出的任何一个已知相矛盾）结论从而得出命题结论正确。

例如用反证法证明：

在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60度

例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行

已知：

如图/1=Z2a1b

求证：

ab〃cd

证明：

设ab与cd不平行c2d

那么它们必相交，设交点为md

这时，/1是厶ghm的外角al

•••/1>Z2g这与已知条件相矛盾2

•••ab与cd不平行的假设不能成立h

二ab〃cdc

例2.求证两条直线相交只有一个交点

证明：

假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。

（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步一一

推出矛盾。

但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。

例3.已知：

m2是3的倍数，求证：

m也是3的倍数

例4.求证：

2不是有理数

《平行四边形》

1、四边形的定义

2、定理：

四边形的内角和等于360度

推论：

四边形的外角和等于360度

n边形的内角和外角和（为什么）

正五边形能镶嵌平面吗（为什么）

单独和镶嵌平面的正多边形有哪几种？

为什么只有这几种？

（2014浙江省，8，3分）如图，在五边形abcde中，

/bae=120°,/b=Ze=90°,ab=bc,ae二de,在bc,de上分别找一点m,n,使得△amn的周长最小时，则/amn+Zanm的度数为（）（如何作辅助线，培养感觉）

а.100°b.110°c.120°d.130°

3、平行四边形的定义性质

定理：

平行四边形的对角相等

定理1:

平行四边形的两组对边分别相等。

推论1:

夹在两条平行线间的平行线段相等。

推论1:

夹在两条平行线间的垂线段相等。

定理2:

平行四边形的对角线互相平分。

4、中心对称图形定义对称中心

性质：

对称中心平分两个对称点的线段。

（在平面直角坐标系

中，点（x,y）关于原点对称的点的坐标是多少？

为什么？

）

5、平行四边形的判定

①定义②定理1:

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③定

理2:

两组对边分别相等的四边形是平行四边形④定理3:

对角线互相

平分的四边形是平行四边形

б、三角形的中位线定理（如何证明？

）

7、逆命题与逆定理

两个命题，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。

如

果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

每个命题都

有逆命题。

每个定理都有逆命题。

如果一个定理的逆命题也是定理，

那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。

因此，每个命题有逆命题；每个定理有逆命题，但不一定有逆定理。

1.（2014浙江金华，15,4分）如图，在口abed中，ab=3,ad=

4,Zabe=60°过be的中点e作ef丄ab,垂足为点f,与de的延长线相交于点九则厶def的面积是

3.（2014四川成都，20,10分）如图，已知线段ab//ed,ad与be相交于点k,e是线段ad上一动点.

5ed1

（1）若bk=2ke，求ab的值；

（2）连接be,若be平分/abe,则当ae=2ad时，猜想线段ab、

be、ed三者之间有怎样的等量关系？

请写出你的结论并予以证

明.再探究：

当ae=nad（n?

2），而其余条件不变时，线段ab、be、ed

三者之间又有怎样的等量关系？

请直接写出你的结论，不必证明.

6、如图，已知△abe中，?

abe?

45,f是高ad和be的交点，ed?

4,则线段df的长度为（）.

a

.b.4c

.d

?

第五篇：

命题与证明平行四边形练习

典型例题剖析

例1、将下列各句改写成“如果……，那么……”的形式.

（1）对顶角相等；

（2）等角的余角相等；

（3）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

（4）同旁内角互补，两直线平行；

分析：

省略掉词语的命题通常采取仔细分析，把省略掉的词语重新补上，或根据命题画出准确图形，再根据图形，把命题完整写出来，根据这些方法研究，我们便可着手改写了.

解：

（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；

（2）如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；

（3）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；

（4）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；

例2、指出下列命题的条件部分和结论部分

（1）直角都相等；

（2）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；

（3）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；

（4）大于90°而小于180°的角是钝角；

（5）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角.

分析：

解答这类问题，必须弄清命题由哪两部分组成，进一步弄明白条件与结论所表示的意思.便可找出条件与结论.对省略掉词语的命题应先设法补上，再着手找题设与结论.命题的条件与结论不好用文字叙述时，要用符号写出条件和结论，但必须说明符号所表示的意义.

解：

（1）条件：

两个角都是直角；

结论：

这两个角相等.

（2）条件：

互为邻补角的两个角的两条平分线；

结论：

这两条角平分线互相垂直.

（3）条件：

直线外一点与直线上各点连结的所有线段；

结论：

垂线段最短.

（4）条件：

90°

结论：

/<180°;是钝角.

（5）条件：

两个角的和等于平角；

结论：

这两个角互补.

例3、判断下列命题的真假，如果是假命题，请说明理由.

（1）两点之间，线段最短.

（2）如果一个数的平方是9,那么这个数是3.

（3）同旁内角互补.

（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行.

（5）如果a+b=0,那么a=0,b=0.

（6）两个锐角的和是锐角.

分析：

要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）即可.于是以上各题真假便眉目分明了.解：

（1）真命题，这是关于线段的一个公理.

（2）假命题，因为一个数的平方是9,这个数也可能是—3.

（3）假命题，任意二条直线被第三条直线所截，都有同旁内角产生，只有两条平行线被第三直线所截，才有同旁内角互补的结论.

（4）假命题，如果这个点在已知直线上，就无法作出一条直线与

已知直线平行.

（5）假命题，如果a=2,b=—2,2+（—2）=0，但a=2工0,b=—2工0.

（6）假命题，如60°和50°的角都是锐角，但它们的和是钝

角.

例4、区分下列语句中，哪些是定义，哪些是公理，哪些是定理：

（1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线；

（2）两点之间，线段最短；

（3）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；

（4）对顶角相等；

（5）垂线段最短.

分析：

只要理解定义，公理，定理的意义，便可区分谁是定义，谁

是公理，谁是定理.

解：

（1）、

（2）是公理；（3）是定义；⑷、（5）是定理.

例5、完成以下证明，并在括号内填写理由：

已知：

如图所示，/仁/2,Za二/3.

求证：

acIIde.

例6、如下图，/acd是厶abc的外角，be平分/abc,ce平分/acd,且be、ce交于点e

.求证：

例7、如图，ce是厶abc的外角/acm的平分线，ce交ba的延长线于点e,试说明/bac>Zb成立的理由

例8已知：

如图ad为/abc的角平分线e为bc的中点过e作ef//ad,交ab于m交ca延长线于f。

cn//ab交fe的延长线于n。

求证：

bm=cf

例9、求证：

没有一个有理数的平方等于3

例10、求证：

三角形的三条边的垂直平分线交于一点

例11、求证：

等腰三角形的底角是锐角