小学奥数之容斥原理.docx
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小学奥数之容斥原理
五.容斥原理问题
1.有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是()
A43,25B32,25C32,15D43,11
解:
根据容斥原理最小值68+43-100=11
最大值就是含铁的有43种
2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:
(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;
(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:
(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是()
A,5B,6C,7D,8
解:
根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类:
只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由
(1)知:
a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①
由
(2)知:
a2+a23=(a3+a23)×2……②
由(3)知:
a12+a13+a123=a1-1……③
由(4)知:
a1=a2+a3……④
再由②得a23=a2-a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
然后将④⑤⑥代入①中,整理得到
a2×4+a3=26
由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解:
当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22
又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:
a2>a3
因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。
然后可以推出a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,总人数=8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2=6人。
3.一次考试共有5道试题。
做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。
如果做对三道或三道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多少?
答案:
及格率至少为71%。
假设一共有100人考试
100-95=5
100-80=20
100-79=21
100-74=26
100-85=15
5+20+21+26+15=87(表示5题中有1题做错的最多人数)
87÷3=29(表示5题中有3题做错的最多人数,即不及格的人数最多为29人)
100-29=71(及格的最少人数,其实都是全对的)
及格率至少为71%
六.抽屉原理、奇偶性问题
1.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种,问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的?
解:
可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉,把手套看成是元素,要保证有一副同色的,就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽屉原理,最少要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。
再根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能保证有一副手套是同色的,以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉,要保证有3副同色的,先考虑保证有1副就要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还剩下3只手套。
根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能保证有1副是同色的。
以此类推,要保证有3副同色的,共摸出的手套有:
5+2+2=9(只)
答:
最少要摸出9只手套,才能保证有3副同色的。
2.有四种颜色的积木若干,每人可任取1-2件,至少有几个人去取,才能保证有3人能取得完全一样?
答案为21
解:
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.
3.某盒子内装50只球,其中10只是红色,10只是绿色,10只是黄色,10只是蓝色,其余是白球和黑球,为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球,问:
最少必须从袋中取出多少只球?
解:
需要分情况讨论,因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的,那么就是:
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的,那么就是:
6*5+3+1=34(个)
如果黑球或白球其中有等于8个的,那么就是:
6*5+2+1=33
如果黑球或白球其中有等于9个的,那么就是:
6*5+1+1=32
4.地上有四堆石子,石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个,然后都放入第四堆中,那么,能否经过若干次操作,使得这四堆石子的个数都相同?
(如果能请说明具体操作,不能则要说明理由)
不可能。
因为总数为1+9+15+31=56
56/4=14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数,取出1个和放入3个也都是奇数,奇数加减若干次奇数后,结果一定还是奇数,不可能得到偶数(14个)。
容斥原理
(一)
【例题分析】
例1.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。
如图放在桌面上,求这两个图形盖住桌面的面积?
分析与解:
阴影部分是直角三角形,是两个图形的重叠部分,它的面积是:
(平方厘米)
方法一:
(平方厘米)
方法二:
(平方厘米)
方法三:
(平方厘米)
答:
盖住桌面的面积是67平方厘米。
例2.六一班参加无线电小组和航模小组的共26人,其中参加无线电小组的有17人,参加航模小组的有14人,两组都参加的有多少人?
分析与解:
把17人和14人相加,是把两组都参加的人算了两次,所以减去总人数,就是两组都参加的人数
(人)。
也可以这样解:
(人)
或
(人)
答:
两组都参加的有5人。
例3.六一班有学生46人,其中会骑自行车的有19人,会游泳的有25人,既会骑车又会游泳的有7人,既不会骑自行车又不会游泳的有多少人?
分析与解:
先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人,从中减去会骑车或会游泳的人数,剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。
(人)
(人)
答:
既不会骑车又不会游泳的有9人。
例4.某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组,参加美术小组有20人,参加音乐小组有24人,参加手工小组有31人,同时参加美术和音乐两个小组有5人,同时参加音乐和手工两个小组有6人,同时参加美术和手工两个小组的有7人,三个小组都参加的有3人,这个年级参加课外小组的同学共有多少人?
分析与解:
图中的5、6、7人都是两两重叠的部分,图中的3人是三个重叠的部分,要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。
(人)
答:
这个年级参加课外小组的有60人。
例5.某班在短跑、投掷和跳远三项检测中,有4人三项都未达到优秀,其他人至少有一项是优秀,下表是得优秀的情况,请你算出全班人数。
短跑
投掷
跳远
跑跳
跑投
跳投
三项
19
21
20
9
10
6
3
分析与解:
根据题意画出如下图
要求全班有多少人,先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数,加上三项都未达到优秀的,就是全班人数。
(人)
(人)
答:
全班有42人。
例6.分母是105的最简真分数有多少个?
分析与解:
这些分数是最简真分数,所以分子应小于105,只能是1—104中的自然数,而且分子与105要互质。
因为
,所以分母不能是3的倍数或5的倍数或7的倍数。
所以,要求有多少个最简真分数,实际上就是求1—104这104个自然数中不能被3、5、7整除的数有多少个。
因此要先求出能被3整除或能被5整除或能被7整除的数有多少个。
能被3整除的数:
(个)
能被5整除的数:
(个)
能被7整除的数:
(个)
能同时被3和5整除的数:
能同时被3和7整除的数:
能同时被5和7整除的数:
(个)
(个)
答:
分母是105的最简真分数有48个。
【模拟试题】(答题时间:
30分钟)
1.有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上,两两相交的面积分别是8、10、12平方厘米,三个圆相交的面积是5平方厘米,求三个圆盖住桌面的面积?
2.某区有100名外语教师懂英语或日语,其中懂英语的有75名,既懂英语又懂日语的有20人。
只懂日语的有多少名?
3.某班数学测验时有10人得优,英语得优有12人,两门都得优有3人,两门都没得优的有26人。
全班有多少人?
4.六年级一班春游,带矿泉水的有18人,带水果的有16人,这两种至少带一种的有28人,求两种都带的有多少人?
5.在1至100的自然数中,不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少个?
容斥原理
(二)
【例题分析】
例1.有25人参加跳远达标赛,每人跳三次,每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人,第二次达到优秀的有13人,第三次达到优秀的有15人,三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人?
分析与解:
“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。
要求只有两次达到优秀的人数,就是求重叠两层的部分(图中阴影部分)。
(人)
答:
只有两次达到优秀的有11人。
例2.在一个炎热的夏日,几个小朋友去冷饮店,每人至少要了一样冷饮,其中有6人要了冰棍,6人要了汽水,4人要了雪碧,只要冰棍和汽水的有3人,只要冰棍和雪碧的没有,只要汽水和雪碧的有1人;三样都要的有1人。
问:
共有几个小朋友去了冷饮店?
分析与解:
根据题意画图。
方法一:
(人)
方法二:
(人)
答:
共有10个小朋友去了冷饮店。
例3.有28人参加田径运动会,每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目,参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问:
只参加跑和投掷两项的有多少人?
分析与解:
“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的,也没有参加一项比赛的,我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。
(人)
答:
只参加跑和投掷两项的有3人。
有8人没参加跑的项目,说明这8只参加投跳,因为没人必须两项,又不含跑.参加投掷项目的人数是17,所以没参与投掷,也就是只参加跑跳=28-17=11.同时参加跑和跳两项的人数17人(没有只是二字),所以三项的=17-11=6,所以参加跑和投掷两项的有17-8-6=3
例4.某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组,其中数学有30人参加,英语有20人参加,语文小组有10人。
老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人,既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数,而三种全参加的只有1人,求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解:
根据已知条件画出图。
三圆盖住的总体为49人,假设既参加数学又参加英语的有x人,既参加语文又参加英语的有y人,可以列出这样的方程:
整理后得:
由于x、y均为质数,因而这两个质数中必有一个偶质数2,另一个质数为7。
答:
既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5.某班同学参加升学考试,得满分的人数如下:
数学20人,语文20人,英语20人,数学、英语两科满分者8人,数学、语文两科满分者7人,语文、英语两科满分者9人,三科都没得满分者3人。
问这个班最多多少人?
最少多少人?
分析与解:
根据题意画图。
设三科都得满分者为x
全班人数
整理后:
全班人数=39+x
39+x表示全班人数,当x取最大值时,全班人数就最多,当x取最小值时,全班人数就最少。
x是数学、语文、英语三科都得满分的同学,因而x中的人数一定不超过两科得满分的人数,即
且
,由此我们得到
。
另一方面x最小可能是0,即没有三科都得满分的。
当x取最大值7时,全班有
人,当x取最小值0时,全班有
39人。
答:
这个班最多有46人,最少有39人。
【模拟试题】(答题时间:
30分钟)
1.六年级共有96人,两种刊物每人至少订其中一种,有
的人订《少年报》,有
的人订《数学报》,两种刊物都订的有多少人?
2.小明和小龙两家合住一套房子,门厅、厨房和厕所为公用,在登记住房面积时,两家登记表如下表(单位:
平方米)
姓名
居室
门厅
厨房
厕所
总面积
小明
14
12
8
4
38
小龙
20
12
8
4
44
他们住的一套房子共有多少平方米?
3.某班45名同学参加体育测试,其中百米得优者20人,跳远得优者18人,又知百米、跳远都得优者7人,跳高、百米得优者6人,跳高、跳远均得优者8人,跳高得优者22人,全班只有1名同学各项都没达优秀,求三项都是优秀的人数。
4.某班四年级时,五年级时和六年级时分别评出10名三好学生,又知四、五年级连续三好生4人,五、六年级连续三好生3人,四年级、六年级两年评上三好生的有5人,四、五、六三年没评过三好生的有20人,问这个班最多有多少名同学,最少有多少名同学?
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