完整版概率论与数理统计公式整理超全免费版.docx

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第1章随机事件及其概率

（1）排列组合公式

Pmnm!

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

（mn）!

nm!

Cm从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

n!

（mn）!

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：

m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n

种方法来元成，则这件事可由m+n种方法来元成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：

mxn

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n

种方法来元成，则这件事可由mxn种方法来元成。

（3）一些常见排列

重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有

如下性质：

1每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

2任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用大写字母

A,B,C,…表示事件，它们是的子集。

为必然事件，？

为不可能事件。

不可能事件（?

）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，

必然事件（Q）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

AB

如果冋时有AB,BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：

A=B

A、B中至少有一个发生的事件：

AB,或者A+Bo

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可

表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B冋时发生：

AB,或者ABAB=?

，则表示A与B不可能冋时发生，

称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。

它表示A不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：

结合率：

A（BC）=（AB）CAU（BUC）=（AUB）UC

分配率：

（AB）UC=（AUC）A（BUC）（AUB）nC=（AC）U（BC）

AiAi

德摩根率：

i1i1ABAB,ABAB

（7）概率的公理化定义

设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A），若满

足下列三个条件：

1°0

2°P（Q）=1

3°对于两两互不相容的事件A,A2,...有

PAiP（Ai）

i1i1

常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件A的概率。

（8）古典概型

1°1,2n,

1

2°P

（1）P

（2）P（n）一。

n

设任一事件A，它是由1,2m组成的，则有

P（A）=

（1）

（2）（m）=P

（1）P

（2）P（m）

mA所包含的基本事件数

n基本事件总数

（9）几何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，冋时样本空

间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何

概型。

对任一事件A,

P（A）丄血。

其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

L（）

（10）加法

公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（11）减法

公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Q时，P（B）=1-P（B）

（12）条件概率

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称P（AB）为事件A发生条件下，事

P（A）

件B发生的条件概率，记为P（B/A）P（AB）。

P（A）

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Q/B）=1P（B/A）=1-P（B/A）

（13）乘法

公式

乘法公式：

P（AB）P（A）P（B/A）

更一般地，对事件A,A,…An,若P（AA…An-1）>0,则有

P（A1A2…An）P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）......P（An|A1A2…An1）

70

（14）独立性

1两个事件的独立性

设事件A、B满足P（AB）P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。

若事件A、B相互独立，且P（A）0，则有

P（B|A）P（AB）P（A）P（B）P（B）

P（A）P（A）

若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。

必然事件和不可能事件？

与任何事件都相互独立。

?

与任何事件都互斥。

2多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）;P（BC）=P（B）P（C）;P（CA）=P（C）P（A）

并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

那么AB、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概

公式

设事件B1,B2,，Bn满足

1°B1,B2,,Bn两两互不相容，P（Bi）°（i1,2,,n）,

n

ABi

2°i1

J?

则有

P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（Bn）P（A|Bn）。

（16）贝叶斯公式

设事件B1,B2,…，Bn及A满足

1°B1,B2,…，Bn两两互不相容，P（Bi）>°,i1,2,…，n,

n

ABi

2°i1P（A）°

J?

?

则

P（BP（Bi）P（A/Bi）2

P（Bi/A）n,i=1,2,…n。

P（Bj）P（A/Bj）

j1

此公式即为贝叶斯公式。

P（Bi）,（i1,2,…,n）,通常叫先验概率。

P（Bi/A）,（i1,2,…,

n）,通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了

“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了n次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；

n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；

每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与

否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。

用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用Pn（k）表

示n重伯努利试验中A出现k（0kn）次的概率，

_....kknk

Pn（k）CnPq，k0,1,2,,n。

第二章随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X的可能取值为X<（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为

P（X=Xk）=pk,k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形

式给出：

X|X1,X2,,Xk,

P（Xxk）p1,p2,,pk,。

显然分布律应满足下列条件：

pk1

（1）pk0,k1,2,,

（2）k1。

（2）连续型随机变量的分布密度

设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（X）,对任意实数x,有

X

F（x）f（x）dx

则称X为连续型随机变量。

f（X）称为X的概率密度函数或密度函数，简称概

率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1°f（x）0。

2°f（x）dx1

（3）离散与连续型随机变量的关系

P（Xx）P（xXxdx）f（x）dx

积分元f（x）dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P（XXk）pk在离

散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

设X为随机变量，x是任意实数，则函数

F（x）P（Xx）

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P（aXb）F（b）F（a）可以得到X落入区间（a,b］的概率。

分布

函数F（x）表示随机变量落入区间（-a,x］内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°0F（x）1,x;

2°F（x）是单调不减的函数，即X1X2时，有F（X1）F（X2）；

3°F（）limF（x）0,F（）limF（x）1;

xx

4°F（x0）F（x），即F（x）是右连续的；

5°P（Xx）F（x）F（x0）。

对于离散型随机变量，F（x）pk；

xkx

x

对于连续型随机变量，F（x）f（x）dx。

（5）八大分布

0-1分布

P（X=1）=p,P（X=0）=q

二项分布

在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。

事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,,n。

P（Xk）Pn（k）C：

pkqnk,其中

q1p,0p1,k0,1,2,,n,

则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。

记为

X~B（n,p）。

k1k

当n1时，P（Xk）pq,k0.1，这就是（0-1）分

布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量X的分布律为

k

P（Xk）巫e

0,k0,1,2,

则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~（）或

者P（）。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=入，nTS）。

超几何分布

CkQcn

…z■、Cm?

Cn

Mk0,1,2,l

P（Xk）百-

CN

‘1min（M,n）

随机变量X服从参数为

n,N,M的超几何分布，记为H（n,N,M）。

几何分布

1,2,3,，其中p>0,q=1-p。

P（Xk）qk1p,k

随机变量X服从参数为

p的几何分布，记为G（p）。

均匀分布

设随机变量X的值只落在［a,b］内，其密度函数f（x）在［a,b］

1

上为常数，即

ba

1awx

f（x）ba

其他，

0,

则称随机变量X在［a,

b］上服从均匀分布，记为X~U（a,b）。

分布函数为

『0,x

xa

xj

J

baawxwb

F（x）f（x）dx

.1,x>b。

当awX1

x2

P（X〔Xx2）

。

b

a

指数分布

x

re,x0

f（x）]0

I0,x0,

其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。

X的分布函数为

广/x

1e,x0

F（x）[0，

Iu,x<0。

记住积分公式：

xnexdxn!

0

正态分布

设随机变量X的密度函数为

1幕

f（x）e，X，

42

其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、

2的正态分布或咼斯（Gauss）分布，记为XN（,）。

f（X）具有如下性质：

1°f（x）的图形是关于X对称的；

1

2°当X时，f（）为最大值；

2<2

若X~N（\，则公2的分布函数为

F（x）-j==e2dt

参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为

X~N（0,1）1其密度函数记为

（x）2

2,x,

分布函数为

1x与

（x）edt。

（x）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

①（-x）=1-①（x）且①（0）=丄。

2X2

如果X~N（,2），则N（0,1）。

P（^Xx2）。

（6）分位数

下分位表：

P（X）=；

上分位表：

P（X）=。

（7）函数分布

离散型

已知X的分布列为

XX1,X2,,xn,

P（XXi）P1,P2,,Pn,

Yg（X）的分布列（yg（Xi）互不相等）如下：

Yg（X1）,g（x2）,,g（xn）,

若有某些g（xif相等，则应将对应的pi相加作为g（xi）的概率。

连续型

先利用X的概率密度fx（x）写出Y的分布函数FY（y）=P（g（X）<

y），再利用变上下限积分的求导公式求出fY（y）。

（1）联合离散型分布

第三章二维随机变量及其分布

如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列

个有序对（x,y），则称为离散型随机量。

设=（X，Y）的所有可能取值为（x「yj）（i,j1,2,），

且事件｛=（Xi，yj）｝的概率为pj,,称

P{（X,Y）（Xi，yj）}Pj（i,j1,2,）

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

*

y1

y2

yj

X1

P11

P12

P1

X2

p21

P22

P2j

Xi

Pi1

Pij

这里pj具有下面两个性质:

（1）pj>0（i,j=1,2,…）;

（2）Pij1.

ij

连续型

对于二维随机向量（X,Y），如果存在非负函数

f（x,y）（x,y），使对任意一个其邻边

分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D-{（X,Y）|a

有

P{（X,Y）D}f（x,y）dxdy,

D

则称为连续型随机向量；并称f（x,y）为=（X，Y）的分布

密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）f（x,y）>0;

（2）f（x,y）dxdy1.

（2）二维随机变量的本质

（Xx,Y

y）（Xxyy）

（3）联合

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

分布函数

F（x,y）P{Xx,Yy}

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函

数。

分布函

数是一个以全平面为其定义域，以事件

{（1，2）|

X

（1）x,Y

（2）y}的概率为函数值的一个实值函

数。

分布函数

F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）0F（x,y）1；

（2）F（x,y）

分别对x和y是非减的，即

当X2>X1时，有

F（X2,y）>F（X1,y）;当沖屮时，有F（x,y2）>F（x,y1）;

（3）F（x,y）

分别对x和y是右连续的，即

F（x,y）F（x0,y）,F（x,y）F（x,y0）;

（4）F（,

）F（,y）F（x,）0,F（,）1.

（5）对于x1

X2，y1y2，

F（X2,y2）

F（X2,yjF（X1，y2）F（X1，yj0.

（4）离散型与连续型的关系

P（Xx，Y

y）P（xXxdx，yYydy）f（x，y）dxdy

（5）边缘分布

离散型

X的边缘分布为

P?

P（XXi）

j

Y的边缘分布为

P?

jP（Yyj）

i

Pij（i,j1,2,）；

Pij（i,j1,2,）。

连续型

X的边缘分布密度为

fx（x）f（x,y）dy;

Y的边缘分布密度为

fy（y）f（x,y）dx

（6）条件:

离散型

「在已知X=x的条件下，

Y取值的条件分布为

分布

p（yyj|Xxj

Pij.

Pi?

'

在已知Y=y的条件下，

X取值的条件分布为

P（XXi|Yyj）

巴p?

j,

连续型

在已知Y=y的条件下，

X的条件分布密度为

f（x|y）；

fY（y）

在已知X=x的条件下，

Y的条件分布密度为

f（y|x）卅

fx（X）

（7）独立

一般型

F（X,Y）=Fx（x）FY（y）

性

离散型

PijPi?

P?

j

有零不独立

连续型

f（x,y）=fX（x）fY（y）

直接判断，充要条件：

1可分离变量

2正概率密度区间为矩形

二维正态分

22

1x!

2（x!

）（y2）y2

布

1

f/x,.

2（12）1122

f（x,y）

212廿1

2e,

=0

（8）二维均匀分布

随机变量的若X1,X2,…XmXm+1,…％相互独立，h,g为连续函数，则:

函数h（X1,X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：

若X与Y独立，则：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

若X与Y独立，则：

3X+1和5Y-2独立。

设随机向量（X,Y）的分布密度函数为

1

SDf（x,y）

0,

（x,y）D

其他

其中Sd为区域D的面积，则称（

U（D）。

例如图3.1、图3.2和图3.3。

X,Y）

服从

D上的均匀分布，记为（X,Y）

O图3.3

D3

（9）二维

设随机向量（X,Y的分布密度函数为

正态分布

1

e

12J12

22

1x12（x1）（y2）y2

f（x,y）

2

2（12）1122

j

其中1,2,

0,20,|

1是5个参数，则称（X,Y）服从二维正态分

布，

记为（X，Y）

〜N（1，2,1，

；,）•

由边缘密度的计算公式，可以推出二

一维正态分布的两个边缘分布仍为正态分

布，

即X〜N（1,

12），Y~N（2,

2）.

但是若X〜N（

1，12）,Y~N（

2

22）,（X,Y）未必是二维正态分布。

（10）函数

分布

Z=X+Y

根据定义计算：

Fz（z）P（Zz）P（XYz）

对于连续型，fz（z）=f（x,zx）dx

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,122）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

C

Ti?

i

2c22

2ii

i

Z=max,min（

X1,X2,…Xn）

若X1,X2X

n相互独立，其分布函数分别为

Fx（x）,Fx（x）

Fxn（x），则Z=max,min（X1,X2，…Xn）的分布

函数为：

Fmax（x）Fx1（x）?

FX2（x）Fxn（x）

Fmin（x）1[1

Fx1（x）]?

[1Fx2（x）][1Fxn（x）]

2分布

设n个随机变量X1,X2,,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和

n

WXi2

i1

的分布密度为

nu

1-1-nueu0,

f（u）22n

2

0,u0.

我们称随机变量W服从自由度为n的2分布，记为W2（n）,其中

n

n21x,

x2edx.

20

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

2分布满足可加性：

设

Yi2（nJ,

则

k

2

ZYi~（n1n2nk）.

i1

t分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

2

X~N（0,1）,Y〜（n）,

可以证明函数

TX

JY/n

的概率密度为

n1n1

2t2

f（t）21t（t）.

f——nn

如一

2

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T〜t（n）。

t1（n）t（n）

F分布

设X~2（n1）,Y~2（n2），且X与Y独立，可以证明

X/片

F的概率密度函数为

Y/n2

n1n2n1叫匕

2E2夕1n12门

f（y）y21y,y0

f（y）n1n2n2n2

22

0,y0

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2

的F分布，记为F〜f（n1,n2）.

1

F1（n1,n2）厂/、

F（n2,nJ

第四章随机变量的数字特征

（1）

离散型

连续型

-一-

维

期望

设X是离散型随机变量，其分布

设X是连续型随机变量，其概率密

随变

机

量

期望就是平均值

律为p（XXk）=pk,

度为f（X）,

的

数

k=1,2,…,n,

E（X）Xf（X）dX

字

特

n

征

E（X）XkPk

k1

（要求绝对收敛）

（要求绝对收敛）

函数的期望

Y=g（X）

Y=g（X）

n

E（Y）g（Xk）Pk

k1

E（Y）g（X）f（X）dX

方差

2

D（X）=E[X-E（X）]，标准差

2

D（X）[XkE（X）]Pk

k

D（X）[xE（X）]2f（x）dx

（X）^D（X），

矩

①对于正整数k，称随机变量X

①对于正整数k,称随机变量X