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导数公式:
=scc2x
/2(cfgx)'=-cscr
(secx)r=secx・tgx
(escx\=-escx•etgx(ax\=ax\na
(arccosx)'=——/
yjl-x2
(log.x\=
1
x\na
(arcctgx)f=
1
l+x2
基本积分表:
ygxdx=-ln|cosx+C^ctgxdx=ln|sinx+Cjsccxdx=ln|scc兀+fgx+CJesexdx=ln|cscx-etgx+C
1x
=—arctg—+C
aa
=±lnl
dx
cos2x
dx
sin2x
|sec2xdx=tgx+C
jese2xdx=-etgx+C
dx
~22
a+x
dx
27
x-er
dx
a2-x2
dx
\la2-x2
x-a
2ci\x+a\1,ci+x厂
=——In+C
2aa-x
==arcsin—+C
a
jsecx•tgxdx=secx+C
|cscx-c/gxJx=-esex+C
iaxdx=———C
JInez
jshxdx=chx+C
^chxdx=shx+C
J岛T777"
/r
2
—2
In=Jsin"xdx=jcosMxdx
00
^x2+a2dx=—y/x2+a2+—ln(x+y/x2+a2)+C2
2
JVx2-a2dx=~J兀2_—
In兀+—cz厶+C
JJ/x=*罷
三角函数的有理式积分:
2
一+—arcsin—+C
2a
sinx=
2u
l+u2
cosx=
1-M2
1+w2
U=tg2
dx=
2du
l+w2
X_-X
双曲正弦:
shx='r
2
双曲余弦:
chx=CA
2
c/7rex
双曲正切:
thx=-=^-^chxe+earshx=ln(x+Vx2+1)
archx=±ln(x+y]x2-1)
sinx
lim
=1
lim(l+-)'=^=2.718281828459045...
—8%
arthx=—In
2
三角函数公式:
•诱导公式:
数
角彳、
sin
cos
tg
Ctg
-a
-sina
cosa
-tga
-ctga
90°-a
cosa
sina
ctga
tga
90°+a
cosa
-sina
-ctga
-tga
180°-a
sina
-cosa
-tga
-ctga
180°+a
-sina
・cosa
tga
ctga
270°-a
-cosa
-sina
ctga
tga
270°+a
-cosa
sina
-ctga
-tga
360°-a
-sina
cosa
-tga
-ctga
360°+a
sina
cosa
tga
ctga
•和差角公式:
tg(a±/3)=
/,°、ctga・ctg0+\
crg(d±0)=&"
ctgp±ctga
sin(cr±/?
)=sinacos/?
±cos<7sin0
cos(a±0)=cosacos0年sinasin0
tga土tg0
•和差化积公式:
sirm+sin0=2sincos~~~~
sin6Z-sin0=2cos°十"sin―—
22
nr6Z+0oc—(3cosa+cos0=2cos—-^―cos—-^―cosa-cos0=2sin"+"sin—―—
22
•倍角公式:
•半角公式:
高阶导
莱布尼兹(Leibniz)公式:
(济)(“)=£算严幼严
Jl=0
冲叫+和+汕知”+…+⑷-1)・・°"+叽心)严+・・・+"/)
2!
k\
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)-f(a)=f^)(b-a)
柯西中值定理严)-W以O
F(b)-F(a)F©
当F(Q二x时,柯西中值定理就是拉格朗口中值定理。
曲率:
弧微分公式:
ds={1+)严曲其i|y=/ga
M点的曲率:
K=\im
山toAs
da
ds
Vo+/2)3
平均曲率灭=
.△&:
从M点到NT点,切线斜率的倾角变化量;As:
MM弧反。
直线:
K=O;
半径为a的圆:
K=-.a
定积分的近似计算:
bt
矩形法:
丄上(儿+)>+•••+儿-)
in
b>j
梯形法:
j/(x)«—^-[-(y0+儿)+x+…+儿_】]
a
bfh—Z7
抛物线法:
]7(x)u玄-[(儿+儿)+2(儿+儿+…+儿—2)+4(X+儿+…+儿-1)]
a
定积分应用相关公式:
功:
W=F-s水压力:
F=p-A引力:
F=k^,k为引力系数
r
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:
〃=|冏叽|=J(£一州)2+(儿一X)2+G-Z|)2向量在轴上的投影:
Pr血乔=|乔卜cos00是乔与”轴的夹角。
Prju(5i+52)=Pr皿+Prja2
a-b=\a\-hcos0=axbx+ayhy+a.h:
9是一个数量,
两向量之间的夹角:
COS&=
•航+b:
+b:
c=axb=axay
a_,|c|=a-|&|sin^.例:
线速度:
v=vvxr.
bx伏,
向量的混合积:
[ahc]=(dxb)-c=hx
-
dy冬_
bybz=axh•ccosq,q为锐角时,
代表平行六面体的体积。
平面的方程:
1、点法式:
A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中n={A,B,C},MQ(xQ,yQ,zQ)
厶一般方程:
Ax+By+Cz+Q=0
3、截距世方程:
兰+工+三=1
abc
平面外任意一点到该平面的距离:
〃」办。
+〃儿+5+刖
Va2+s2+c2
x=xg+mt空间直线的方程:
乂也==二英中2仙‘,“};参数方程:
尸儿+m
mnp
二次曲面:
222
1、椭球而:
与+件+*=1
ab“c
22
2、抛物ffi:
—4-—=Z,(p,9同号)
2p2q
3、双曲面:
222单叶双曲面:
亠+―-二=1crb「c
222
双叶双曲面:
二-—+二=1(马鞍面)
crb「c_
多元函数微分法及应用
全微分:
dz=—dx+—dydu=—dx+—dy+—dzdxdydxdy'dz
全微分的近似计算:
"=dz=fx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay
多元复合函数的求导法:
dzdzdudzdvdtdudtdvdt
当u=u(x,y\v=v(x,y)时,
隐函数的求导公式:
隐函数方程组:
严』以)=0
G(x,y,u,v)=0
dF
dF
j0(F,G)
du
FF
Uy
5(w,v)
8G
dG
GuGv
du
6v
Fa(
G)X)G1刃
r\FM5(5
一一=
av一5)
迦—__L°(F,G)dxJ6(x,v)里—丄Q(F,G)SyJ5(y,v)
微分法在几何上的应用:
兀=0⑴
空间曲线y=0⑴在点Mgjg)处的切线方程:
导=宁汁壬小(P(A))0仏)血亿))
Z=co(t)
在点M处的法平面方程:
0仏)(兀-兀0)+0‘仏)(y一儿)+少(厲)(z-Zo)=0
若空间曲线方程为则切向量〒={
Fy耳
巴Fv
[G(“z)=O
5S
GMGJ负Gy
曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,yQ,z0),贝山
1、过此点的法向量:
h={Fx(x0,y(),^()),Fy(x0,y(),^()),Fz(x0,y0,z())}
2、过此点的切平面方程:
的(兀0,儿,5)(兀-兀0)+耳(兀0』0,5)0-儿)+3(兀0』0忆0)(2-5)=0
方向导数与梯度:
函数z=在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数^J:
—=—cos^?
+—sin^
dldxdy
其中。
为兀轴到方向/的转角。
函数z=/(“)在一点/心y)的梯度:
gradA(x,y)=%i+嬰了
oxdy
它与方向导数的关系是:
%=gradf(x,y)-e,其中e=cos(p-I+sin^-j,为/方向上的ol
多元函数的极值及其求法:
单位向量。
设人(筍,儿)=人(兀o』o)=O,令:
几CWo)=4,几(兀o』o)=B,/vv(x0,y0)=CAC-庆>0时,卩儿)为极大值
[A>0,(3。
)为极小值
则彳4C-矿<0时,无极值
AC—B2=0时,不确定重积分及其应用:
y)dxdy=jj/(rcos^,z*sin0)rdrclO
DDf
2
dxdy
_Mx[["(")〃y==
"MJJp(_x,y)db
D
Vz、
平面薄片的重心:
"竺5,
MJJp(x,y)db
D
平面薄片的转动惯量:
对于兀轴人=JJy»(兀,),,)dcr,对于y轴/、.=^x2p(x,y)d DD 平面薄片(位于my平面)对z轴上质点M(0,0Q,(d>0)的引力: F二{"£,/},其中: 化=仙畑)如3,口Q(S)MJF=_fap(X,y)xda^ D(x2+y2+a2yD(x2+y2+6Z2)2D(x2+j2+a2)2 柱面坐标和球面坐标: x=rcosO 柱面坐标: y=厂sin0,jJJ/(x? z)dxdydz=^F(r,O.z)rdrclOdz, Z=Z 其中: F(r,<9,z)=/(rcos<9,rsin0.z) x=rsin^cos^ 球面坐标H y=厂sin0sin&,dv=rd(p•厂sin0・d&・d,"=厂s\x\(pdrd(pdO z=rcos(p 2/rnr{(p.O) y,z)dxdydz=sm(pdrd(pdO=|F(r,^? ^)r2sin^r QQ000 其中M=x=jjj/x/v Q : Jjj(宀 Q 重心: 嗨呼伉卩曲=扌护皿 转动惯量: Ix=JJJ(y2+z2)pdv9ly=jjj(x2+z2)/^/v, QQ 曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分): X=(p(t)… 设f(x,y)在厶上连续,L的参数方程为: 二,(6r y=0(。 x=t y=(p(f) p ^f(x,y)ds=J/[^(r),妙(/)]J02⑴+屮门(t)dt(a<0)特殊情况: < Aa 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分): 设厶的参数方程为\x=(p(t\贝h y=肖⑴ 卩 Jp(x,y)dx+0(兀,y)dy=J{P[0(/),0(/)]0(/)+ La 两类曲线积分么间的关^Pdx+Qdy=J(PcosQ+Qcos")ds,其屮a和0分另U为 LL 厶上枳分起止点处切向量的方向角。 格林公式: (挈-7)dxdy=pdx+Qd)格林公式寸J(響-)dxdy=\Pclx4-Qdyd%6Id°yL 当P=-y,Q=x,即: oQ_&P=2时,得到£>的面积: A=^dxdy=^xdy-ydx °xdyp2/ •平面上曲线积分与路径无关的条件: 1、G是一个单连通区域;2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,冃竽=? 。 注意奇点,如(0,0),应 dxcy 减去对此奇点的积分,注意方向相反! •二元函数的全微分求积: 在字=7时,Pdx+Qdy才是二元函数/心,y)的全微分,具中: dxdy g) 通常设X。 =y0=0o p(兀,y)dx+Q(兀,y)狞, (心几) 曲面积分: 对面积的曲面积分: 儿z)ds=y,z(x,y)]Jl+Z;(x,y)+z;(x,y)dxdy 工Dxy 对坐标的曲面积分: jjP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中: y,z^dxdy=±y9z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号; Jjp(%,y,z)dydz=±JpIXy,z),y,z\dydz,取曲面的询侧吋取正号; 儿z)dz.dx=±y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取止号。 工4 两类曲面积分之间的关系: jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=fJ(Pcosa+Qcos0+/? cosy)ds 咼斯公式: 用烂+警+譽妙岬p如+Qdzdx+Rdxdy=如Pcosa+Qcos0+Rcosy)ds 比 高斯公式的物理意义——通量与散度: 散度: div7=$+学+嬰,即: 单位体积内所产生的流体质量,若divv<0,则为消失…dxdydz 通量: jjA-hds==jj(Pcosa+Qcos0+7? cosy)ds, 因此,高斯公式又可写成: JJJdiv月血=羽 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系: 向量场人沿冇向闭曲线厂的环流量: jPdx-^Qdy+Rdz=^A-tdsrr 常数项级数: 等比数歹lhl+g+q2+・・・+q讥上尤 l-q 等并数歹I」: 1+2+3n=+D" 2 调和级数』+丄+丄+・・・+丄是发散的 23n 级数审敛法: QV1时,级数收敛设: p=lim丽7,贝ij \时,级数发散71-»00V. °=1时,不确定 2、比值审敛法: QV1时,级数收敛 TJ 设: °=lim匕巴,贝IJ°〉1时,级数发散"TooTJ "0=1时,不确定 3、定义法: sn=Uj+u2++存在,则收敛;否则发散。 ns 交错级数Wj-U2+氏3-“4+…(或-"l+“2一“3+…,叫>0)的审敛法莱布尼兹定理: [11„>Ult+, 如果交错级数满足£爲J。 ,那么级数收敛且其和曲”其余项乙的绝对值|rj<^+1ol”T0Cfl 绝对收敛与条件收敛: (1)%]+比2Un+其川冷为任意实数; ⑵”]|+机|+|“31+…+血+… 如杲⑵收敛,贝灿肯定收敛,且称为绝对收敛级数;如杲 (2)发散,而⑴收敛,则称⑴为条件收敛级数。 调和级数: 发散, 而工收敛; n 级数: 工丄收敛; P<1时发散 ”〉1时收敛 壽级数: 1+x+%2+X’+…+x"+… 兀<1时,收敛于 \—X 兀n1时,发散 对于级数(3)a04-a}x4-ci2x2°“兀"+•••,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全 l\x\ 数轴上都收敛,则必存在/? 使i\x\>R时发散,其屮/? 称为收敛半径。 寸不泄 p工0吋,R=—求收敛半径的方法: 设lim|纽|=°,其中附论是⑶的系数,贝#°=0时,R=+oon\p=+oo时,R=0 函数展开成幕级数: 函数展开成泰勒级数: /(%)=/(兀0)(兀-兀0)+匸"°)(X7())2+•••+—(兀-看))"+… 2! m 余项: Rny(C(x—M,/S)可以展开成泰勒级数的充要条件是山H1&,=0 (/1+1)! nx 兀。 =0时即为麦克劳林公式: /(兀)=/(o)+广⑼単/+…+£22*+... 2! m 一些函数展开成霉级数: Z1w[m(m-l)7加(加一1)…(加一m+1)“ (―1 (1+兀)川=1+加兀+Q+•••+△__兀"+•• 2! n\ /V5严I sinx=x++(—I)""+…(-00 3! 5! (2/1-1)! 欧拉公式: ix・• e=cosx+zsinx cosx=或 sinx= 8 cosnx+bnsinnx) n=\ 三角级数: /(0=4)+£观sin(H血+久)=牛+n=l厶 其中,=aA^,an=Ansin(pn,bn=Ancas(pn,cut=xo 正交性: 1,sinx,cosx,sin2x,cos2x•••sinnx,cosnx…任意两个不同项的乘积在[一兀,龙]上的积分=0。 傅立叶级数: /(x)=—+(d“cosnx+bnsinnx),周期=2/r 2n=l i江 an=—(x)cosnxdx 其中 -咒 1兀 0=123…) Z? n=—j/(x)sinnxdx兀一托 周期为2/的周期函数的傅立叶级数: /(x)=牛+£(碍cos罕•+b“sin竽),周期=2/ 2n=lII 微分方程的相关概念: 一阶微分方程: )/=/0,刃或P(X,y)dx+Q(x,y)dy=0 可分离变量的微分方程: 一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式,解法: k(y)dy=J7(x)dx得: G(y)=F(兀)+C称为隐式通解。 齐次方程: 一阶微分方程可以写成—=f(x,y)=^x,y)f即写成丄的函数,解法: dxX 设弘二2,贝\\—=u+X—,u+—=(p(u)f———分离变量,积分后将2代替 xdxdxdxx(p{u)-ux 即得齐次方程通解。 一阶线性微分方程: 1、一阶线性微分方+P(x)y=2(x) dx /当0⑴=0时,为齐次方程,y=Ce~^{x)dx \当Q(x)h0时,为非齐次方程,y=(jQ(x)eP""*dx+C)e-P""* 2、贝努力方程: 冬+P(x)y=Q(x)yn^n工0,1) dx 全微分方程: 如杲Pgy)dx+0(兀,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程,即: du(x9y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中』=P(x,y),^~=Q(x,y)oxdy .・.W(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。 +2Wy=/(A /(兀)三o时为齐次 /(x)h0时为非齐次 dx1 二阶微分方程: 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法: (*)y"+py'+gy=0,其中为常数; 求解步骤: 1、写出特征方程: (A)厂2+”+q=0,其中厂2,厂的系数及常数项恰好是(*)式中y",y',y的系数; 2、求出(△)式的两个根人,厂2 3、根据人上的不同情况,按下表写出(*)式的通解: ",厂2的形式 (*)式的通解 两个不相等实根(h_4g>0) 尸W+C2严 两个相等实根(八曲“) y=(q+c2x)er'x 一对共轨复根(p2_4g<0) y=严(C]cosfix+c2sinfix) rx=Q+i0,r2-a-ip a」 22 二阶常系数非齐次线性微分方程 yn+pyfqy=f(x),p9q为常数f(x)=eAxPm(x)^92为常数;f(x)=eAx[Pl(x)coscax+Pn(x)sincox]型
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