数学建模典型例题.docx

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数学建模典型例题

一、人体重变化

某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。

每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克•天）乘以他的体重（千克）。

假设以脂肪形式贮存的热量100%地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。

试研究此人体重随时间变化的规律。

一、问题分析

人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。

二、模型假设

1、以脂肪形式贮存的热量100%有效

2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存

3、假设体重的变化是一个连续函数

4、初始体重为W0

三、模型建立

假设在△t时间内：

体重的变化量为W（t+△t）-W（t）；

身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t））

将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；

转换成微分方程为：

d[W（t+△t）-W（t）]=（10467-5038-69*W（t））dt；

四、模型求解

d（5429-69W）/（5429-69W）=-69dt/41686

W（0）=W0

解得：

5429-69W=（5429-69W0）e（-69t/41686）

即：

W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e（-69t/41686）

当t趋于无穷时，w=81;

二、投资策略模型

一、问题重述

一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。

5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。

在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本aij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）。

以千元计数aij的由下面的表给出：

aij

年2

年3

年4

年5

年6

年1

4

6

9

12

20

年2

5

7

11

16

年3

6

8

13

年4

8

11

年5

10

请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。

二、问题分析

本问题是寻找成本最低的投资策略，可视为寻找最短路径问题。

因此可利用图论法分析，用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本的投资策略。

3、条件假设

除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；

4、模型建立

二

5

117三6

4

16

6138四

一9

12811

20

五

10

六

运用Dijikstra算法

123456

04691220

691220

91220

1220

20

可发现，在第二次运算后，数据再无变化，可见最小路径已经出现

即在第一年买进200辆，在第三年全部卖出，第三年再买进200第六年全部卖出。

三、飞机与防空炮的最优策略

1、问题重述：

红方攻击蓝方一目标，红方有2架飞机，蓝方有四门防空炮，红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜。

其中共有四个区域，红方可以其中任意一个接近目标，蓝方可以任意布置防空炮，但一门炮只能防守一个区域，其射中概率为1。

那么双方各采取什么策略？

2、问题分析

该问题显然是红方与蓝方的博弈问题，因此可以用博弈论模型来分析本问题。

1、对策参与者为两方（红蓝两方）

2、红军有两种行动方案，即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。

蓝军有三种防御方案，即四个区域非别布置防空炮（记为1-1-1-1）、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个（记为2-1-1-0）、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有（记为2-2-0-0）。

显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的。

三、问题假设：

（1）红蓝双方均不知道对方的策略。

（2）蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮，但是大炮数量大于飞机的数量，而一门大炮已经可以击落一架飞机，因而这种方案不可取。

（3）红方有两种方案，一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标，另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。

（4）假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场，且双方必须同时作出决策。

4、模型建立

行动及其产生的结果

红方

蓝方

2架一起

两架分开

1-1-1-1

1.0

0.00

2-1-1

0.75

0.50

2-2-0-0

0.50

0.83

由此可得赢得矩阵蓝方为A，红方为B

A=10

0.750.50

0.500.83

B=00.250.5

10.50.17

没有鞍点，故用混合策略模型解决本问题

设蓝方采取行动i的概率为xi（i=1，2，3），红方采取行动j的概率为yj（j=1,2），则蓝方与红方策略集分别为：

S1=｛x=（x1，x2，x3）0

S2=｛y=（y1，y2）0

5、模型求解

下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x*

Maxv1

0*x1+0.25*x2+0.5*x3>v1

x1+0.5*x2+0.17*x3>v1

x1+x2+x3=1

xi<=1

下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y*

Minv2

y2

0.25*y1+0.5*y2

0.5*y1+0.17*y2

y1+y2=1

yi<=1

四、雷达计量保障人员分配

开展雷达装备计量保障工作中，合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键。

所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上，并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益。

现某雷达团共部署12种型号共16部雷达，部署情况及计量保障任务分区情况如表所示：

区域

部署雷达

计量保障任务划分

计量保障任务数量

区域1（雷达一营）

区域2（雷达二营）

区域3（雷达三营）

A、A、B、C、D、E

C、F、G、H、I

D、F、J、K、L

A、B1、B2、C、D、E、

C、F、G、H1、H2、I

D、F、J、K、L1、L2

6

6

6

说明：

1．保障任务分区域进行保障；

2．B、H、L型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务；

3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务；

4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务；

5．每个保障人员只能保障一个任务；

6．每个保障任务只由一个保障人员完成。

雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定，即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同。

各雷达的重要性如下表所示（表中下标表示雷达所在保障区域）：

雷达

A1

B1

C1

D1

E1

C2

F2

G2

H2

I2

D3

F3

J3

K3

L3

重要性

0.8

0.9

0.8

0.7

0.7

0.7

0.8

0.7

0.9

0.6

0.7

0.9

0.8

0.6

0.7

该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员，他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示：

人员

A

B1

B2

C

D

E

F

G

H1

H2

I

J

K

L1

L2

Mw1

0.8

0.3

0

0.7

0.4

0.8

0.6

0.7

0.9

0.3

0.4

0

0

0.7

0.8

Mw2

0.9

0.5

0

0.5

0

0

0.5

0.9

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

Mw3

0

0.9

0

0

0

0

0.4

0.6

0.4

0.7

0.4

0.4

0.3

0.4

0.5

Mw4

0.4

0

0

0.5

0.5

0

0.2

0

0.2

0.6

0.8

0.2

0.7

0.2

0.2

Mw5

0.7

0.8

0.7

0.6

0.7

0.3

0.3

0

0.3

0.5

0.7

0.3

0.3

0.3

0.7

Mw6

0.5

0

0.8

0.6

0.8

0.7

0.8

0

0.8

0.8

0.6

0.8

0.8

0.1

0.2

Mw7

0.5

0.9

0.4

0

0

0.2

0.3

0.4

0.3

0.3

0

0.6

0.3

0.3

0.5

Mw8

0.8

0.2

0.4

0.6

0

0.1

0.2

0.2

0.2

0.1

0

0.2

0.1

0.2

0.2

Mw9

0.4

0.7

0.5

0.5

0.3

0.6

0.7

0.8

0.7

0.6

0.4

0.3

0.7

0.6

0.2

Mw10

0.7

0.3

0.8

0.6

0.8

0.8

0.3

0.5

0.2

0

0.4

0.9

0.7

0

0

问题：

如何给该团三个营分配计量保障人员，使他们发挥最大军事效益？

一、问题分析：

该问题是人员指派问题，目的是得到最大效益。

根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵，用0—1整数规划方法来求解，得到最大效益矩阵。

2、模型假设

1．保障任务分区域进行保障；

2．B、H、L型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务；

3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务；

4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务；

5．每个保障人员只能保障一个任务；

6．每个保障任务只由一个保障人员完成。

三、模型建立

根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵：

根据题目，设保障任务的重要性向量

，bi表示第i个任务的重要性。

列出保障任务重要性向量：

我们用二者的乘积表示效益矩阵：

。

我们设元素rij表示第i个人完成j件事的效益,Xij表示第i个人去保障第j件任务，如果是，其值为1，否则为0。

利用这一个矩阵和0-1规划，我们就可以列出方程：

m<=n

model:

sets:

M/1..10/;

N/1..18/:

a;

allowed（M,N）:

b,r,x;

endsets

data:

a=0.80.90.90.80.70.70.70.80.70.90.90.60.70.90.80.60.70.7;

b=0.80.300.70.40.80.70.60.70.90.30.40.40.6000.70.8

0.90.500.5000.50.50.90.50.50.500.50.50.50.50.5

00.9000000.40.60.40.70.400.40.40.30.40.5

0.4000.50.500.50.200.20.60.80.50.20.20.70.20.2

0.70.80.70.60.70.30.60.300.30.50.70.70.30.30.30.30.7

0.500.80.60.80.70.60.800.80.80.60.80.80.80.80.10.2

0.50.90.4000.200.30.40.30.3000.30.60.30.30.5

0.80.20.40.600.10.60.20.20.20.1000.20.20.10.20.2

0.40.70.50.50.30.60.50.70.80.70.60.40.30.70.30.70.60.2

0.70.30.80.60.80.80.60.30.50.200.40.80.30.90.700;

enddata

max=@sum（allowed（i,j）:

x（i,j）*r（i,j））;

@for（M（i）:

@for（N（j）:

r（i,j）=a（j）*b（i,j）））;

@for（M（i）:

@sum（N（j）:

x（i,j））=1）;

@for（N（j）:

@sum（M（i）:

x（i,j））<=1）;

@for（M（i）:

@for（N（j）:

@bin（x（i,j））））;

End

解得最大效益为6.63，

分配方案为：

第5、7、8号保障人员分配到区域1，其中8号承担A型，5、7号承担B1，B2型；第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2，其中第9号保障人员承担F型2号G型，1、3号承担H1，H2型，4号I型；第6、10号保障人员分配到区域3，6号F型、10号J型。