湖南工程学院排队系统分析及窗口设计优化研究.docx
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湖南工程学院排队系统分析及窗口设计优化研究
湖南工程学院排队系统分析及服务数量设计优化研究
张汝佳
(湖南工程学院管理学院,湖南湘潭411104)
摘要
排队论(Queuingtheory)又称随机服务系统,无论是在日常的生活中还是在工作中排队显得尤为重要,排队理论则是通过研究各种服务系统中等待现象的概率特征,从而为解决服务系统的最优设计与最优控制的一种理论。
在湖南工程学院里中全日制普通在校学生达11785人,成人教育学生3748人,这可以说是一个相当大的人数比重。
由于人数多所以无论是在学校的食堂还是在银行的自动取款机(ATM)中,都可以看到人头攒动,如何在有限的时间里尽可能的使所有的师生都满意食堂的服务,根据排队理论的建立一个优化系统就显得尤为重要了,只有使系统达到最优化,老师和学生才能够更加的满意,使学校获得经济利益和现实利益。
本文首先介绍了关于排队论的相关数学理论知识,梗概的介绍了排队系统的最优化模型以及湖南工程学院建设银行ATM机数目和学校食堂服务台(打饭阿姨)的数目。
本文将排队理论的系统和方法运用到了学校排队系统中,建立了相应于学校排队系统多服务等待制的M/M/m排队模型。
本文随机抽取某一食堂并对食堂全天时间段的人数和数据进行整理分析,带入模型取得实际分析,获得相应的数据结果,进行了最优化的服务台(打饭阿姨)的数目确定。
关键字:
排队论,高校排队系统,建设银行ATM机,湖南工程学院最优化服务台数目
Abstract
TheTheoryandmethodofqueuing(queuingtheory),alsoknownasstochasticservicesystem,bothineverydaylifeorqueuingisparticularlyimportantinthework,queuingtheoryisthestudyofavarietyofservicesthroughthesystemwaitsforthephenomenonofprobabilitycharacteristics,soastosolvetheservicesystemoptimaldesignandoptimalcontroltheory.InHunanInstituteofEngineeringinthefull-timestudentsupto11,785ordinarypeople,adulteducationstudents3748people,thiscanbeafairlylargenumberofproportions.Sincethenumberofpeoplesoitisintheschoolcafeteriaorinthebank'sautomatedtellermachine(ATM),andcanbeseenfullofpeople,howinthelimitedtimeaspossiblesothatalltheteachersandstudentsaresatisfiedwiththecanteenservice,accordingtothequeueestablishanoptimizedsystemtheoryisparticularlyimportant,onlytooptimizethesystem,teachersandstudentstobeabletobemoresatisfied,sothattheschoolandtherealinterestsoftheeconomicbenefits.
Thispaperintroducestherelevantmathematicaltheoryofknowledgeaboutqueuingtheory,outlinedescribestheoptimizationmodelqueuingsystemandthenumberofthenumberofATMmachinesandschoolcanteensdesk(Dafanaunt)ofHunanInstituteofEngineeringIndustrialandCommercialBankofChina.Inthispaper,thesystemandmethodofqueuingtheoryappliedtotheschoolqueuingsystem,theestablishmentofM/M/mqueuingmodelqueuingsystemcorrespondingtotheschoolsystem'smulti-servicewait.Inthispaper,arandomnumberofcanteensandcafeteria-daytimeperiodanddatawereanalyzedwithamodelmadeintotheactualanalyze,thecorrespondingdataobtainedresultswerethenumberofdesk(DaFanaunt)isoptimizedOK.
Keywords:
queuingtheory,universityqueuingsystem,ICBCATMmachines,thenumberofHunanInstituteofEngineeringInformationOptimization
目录
摘要
Abstract
1引言
1.1排队论及其排队系统
1.2排队系统在中国的实际应用
2理论基础
2.1排队服务系统的基本概念
2.2皮尔逊
检验方法
2.3负指数分布
2.4泊松分布
2.5生灭过程
3湖南工程学院ATM机排队系统
3.1ATM机最优化服务台数
3.2ATM机仿真模型的检验及其结果
4湖南工程学院食堂排队系统
4.3食堂排队数学模型
4.4运用LINDO确定最优化服务人数以及服务时间方案
参考文献
1引言
所谓排队[1],是指需要得到某种服务的对象加入等待的队列。
在现实世界中,排队系统[2]是多种多样的,从日常生活中的各类的服务系统,诸如:
火车站,饭店,民航售票处,银行,商店的收银台,餐厅,旅馆……以及各种生产系统如:
通信系统,交通系统,计算机存贮系统,生产管理系统……而同时伴随着服务系统的增加,在每个家庭以及生活,排队现象总是司空见惯的。
1.1排队论及其排队系统[3]
排队论起源于20世纪初的电话通话。
1909—1920年丹麦数学家、电气工程师爱尔兰(A.K.Erlang)用概率论方法研究电话通话问题,从而开创了这门应用数学学科,并为这门学科建立许多基本原则。
20世纪30年代中期,当费勒(W.Feller)引进了生灭过程时,排队论才被数学界承认为一门重要的学科。
排队系统又称服务系统。
服务系统由服务机构和服务对象(顾客)构成。
服务对象到来的时刻和对他服务的时间(即占用服务系统的时间)都是随机的。
任何排队系统都是由这一种输入—输出系统,其基本结构如图1所示。
1.2排队系统在中国的实际应用
随着改革开放的不断发展与科学技术的创新,我国的以服务业为代表的第三产业逐渐发展起来,中国的经济水平不断提高,人民的经济条件和生活水平的改善和提高直接促进了中国服务业的发展与繁荣,2001年时中国的排队系统的应用可谓是迎来了质的变化,从沿海的一线城市到内陆地区的小城市,排队系统的应用已经被顾客又不接受到认可,再到支持和依赖。
同时随着银行,电信,商务服务的发展与激烈的竞争,排队系统理论的优势也逐渐体现出来。
排队系统[4]由输入过程与到达规则、排队规则、服务机构的结构、服务时间与服务规划组成。
一般还假设到达间隔时间序列与服务时间均为独立同分布随机变量序列,且这两个序列也相互独立。
无论是银行排队还是在医院排队,排队叫号系统已经使我们的生活变得方便又节省时间。
2理论基础[5][6][7][8]
2.1排队服务系统的基本概念
排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。
当顾客到达时,所有服务机构都被占用,则顾客排队等候,即为等待制。
在等待制中,为顾客进行服务的次序可以是先到先服务,或后到先服务,或是随机服务和有优先权服务(如医院接待急救病人)。
如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去,则为损失制。
排队论有几个性能指标:
系统中的平均排队LP;顾客在系统中的平均等待时间WQ;顾客在系统中的平均逗留时间WS;系统中的平均顾客数LS。
几个常用的数量指标:
平均到达率λ;平均服务率μ;系统中并联服务台的数目S;服务台强度,即每个服务台单位时间间隔内的平均服务时间ρ;系统的稳态概率P0和繁忙概率P。
1. 平均队长:
指系统内顾客数(包括正被服务的顾客与排队等待服务的顾客)的数学期望。
2. 平均排队长:
指系统内等待服务的顾客数的数学期望。
3. 平均逗留时间:
顾客在系统内逗留时间(包括排队等待的时间和接受服务的时间)的数学期望。
4. 平均等待时间:
指一个顾客在排队系统中排队等待时间的数学期望。
5. 平均忙期:
指服务机构连续繁忙时间(顾客到达空闲服务机构起,到服务机构再次空闲止的时间)长度的数学期望。
排队论中的排队模型有四种模型,银行营业网点适合于模型一的特征,也就是说:
排队结构是单通道的,服务阶段单一,顾客总体是无限的,顾客到达的分布符合泊松分布,排队的规则符合先来的先服务,服务时间分布符合指数分布,队列的长度是无限的。
2.2皮尔逊
检验方法
检验方法:
依据排队理论对拟合函数的检验方法:
1/
=
(μ、
为频数,
为频率),
>
则拒绝原假设,认为不严格服从泊松分布;若检验
<
则接受原假设,认为服从负指数分布。
2.3负指数分布
指数分布是单参数
的非对称分布,记作
它的数学期望为
,方差为
。
指数分布是唯一具有无记忆性的连续型随机变量,即有
在排队论、可靠性分析中有广泛应用。
本文将正态分布来产生顾客的服务时间。
2.4泊松分布
泊松分布与指数分布有密切的关系。
当顾客平均到达率为常数的到达间隔服从指数分布时,单位时间内到达的顾客数K 服从泊松分布,即单位时间内顾客人数到达
记作Poisson(λ) 。
泊松分布在排队服务、产品检验、生物与医学统计、天文、
物理等领域都有广泛应用。
本文将用泊松分布来产生单位时间内到达的顾客数目。
2.5生灭过程
在排队论中,如果N(t)表示时刻t系统中的顾客数,则
就构成了一个随机过程。
如果用“生”表示顾客的到达,“灭”表示顾客的离去,则对许多排队过程来说,
就是一类特殊的随机过程-生灭过程。
定义 1 设
为一个随机过程。
若N(t)的概率分布具有以下性质:
1. 假设N(t)=n,则从此时刻t起到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为n的负指数分布,n=0.1.2.3.……
2. 假设N(t)=n,则从此时刻t起到下一个顾客离去时刻止的时间服从参数为n
的负指数分别n=0.1.2.3.……
3. 同一时刻只有一个顾客到达或离去。
则称
为一个生灭过程。
当系统运行相当时间而到达平衡状态后,对任一状态n,即
其中n表示系统中一共有n名顾客,单位时间内进
入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等,这就是系统在统计平衡下的“流入=流出”原理。
根据这一原理,可得到任一状态下的平衡方程如下:
0:
1:
2:
n:
整理可得:
3湖南工程学院ATM机排队系统
3.1ATM机最优化服务台数
在湖南工程学院的ATM机中抽取建设银行为例,在银行中如何提高效率来节省顾客的时间是非常重要的。
然而如何评价一个排队系统的好坏是有评判标准的,即既要考虑顾客的时间利益而且还要考虑服务机构自身的利益。
就顾客而言一个排队系统如果能使自己的等待时间大大减少,就会更加受顾客的喜欢和青睐。
而就服务机构而言增加多少的服务数量(台/人数)是非常重要的。
如果服务台数过少就不能节省顾客的交易时间或者满足顾客的需要,从而造成顾客的损失,但是增加的服务数量(台/人数)会要计入经济成本,让服务机构的利益减少,所以最优化的服务台数能够具有经济利益和现实利益。
就我们学校来说,建设银行的ATM机共有两台,是否这两台满足了学生平时的存取钱的需要,下面我们运用EXCEL排队问题的模拟问题来分析如何判断ATM机的服务台数达到了最优化的状态。
假设:
(1)学生在ATM机前排队等待平均时间不超过8分钟;
(2)学生等待时间在15分钟以上的几率不超过0.2%;
求解步骤:
(1)分析整理学生到达间隔时间表和ATM机使用时间表,如表1,2
(2)根据仿真结果计算第i个顾客到达时刻、开始接受服务时刻、排队等待时间;
(3)对排队等待时间求平均值,并编制变量数据,进行概率统计。
(4)运用正态分布模型计算。
3.2ATM机仿真模型的检验及其结果
表1学生到达间隔时间(分)
0.8
1
0.3
0.9
0.9
0.7
0.4
0.3
1.1
1.1
0.3
0.3
0.9
0.9
0.1
0.9
1
0.9
1
0.6
0.7
0.5
0.1
0.7
1.1
0.5
0.7
0.6
0.3
0.9
1
0.4
1
0.7
0.6
0.6
0.8
0.8
0.2
0.3
1.1
0.9
0.6
0.7
0.8
0.6
1
0.5
0.7
0.5
0.9
0.7
0.7
0.7
0.5
0.6
1.1
0.6
0.2
1
1
1.1
0.4
0.4
0.2
0.3
0.8
0.7
0.8
0.5
0.6
0.1
1.1
0.9
0.3
0.6
0.7
0.9
0.2
1
0.3
0.5
0.3
0.8
0.6
0.4
0.5
0.7
0.5
0.7
0.7
0.2
0.6
0.7
0.6
0.9
0.6
0.7
0.3
0.8
0.2
0.6
0.4
0.7
1
0.2
0.6
0.8
0.4
0.9
0.9
0.6
0.8
0.8
0.4
0.2
0.2
0.3
0.7
0.5
0.7
0.7
0.6
0.4
1.1
1
0.5
1
0.9
0.7
0.2
0.3
1.1
0.5
0.7
0.9
1.1
0.8
0.6
0.3
1
1
0.7
0.2
0.9
0.5
0.1
0.5
0.9
1.1
0.3
0.2
0.9
0.5
0.1
0.6
0.9
0.4
0.2
0.4
1
0.2
0.6
1
0.3
1
1
0.8
0.8
0.7
0.2
0.3
0.8
1
1
0.8
0.3
0.4
0.3
0.6
0.7
0.8
0.4
0.1
0.1
0.5
1.1
1
0.3
0.9
0.2
0.1
0.5
0.5
1
0.7
0.2
0.2
0.5
0.9
0.8
0.5
0.3
0.9
0.4
0.5
0.4
0.3
0.6
0.4
min=
0.1
max=
1.1
E(x)=
0.623333
s=
0.285988
到达间隔时间服务正态拟合检验
x
F(x)
P(x)
观测频数
理论频数
0.40
0.217425
0.22
64
86.96994
0.55
0.398813
0.18
82
72.55515
0.7
0.60568
0.21
127
82.74689
0.85
0.785987
0.18
136
72.12295
1
0.906093
0.12
55
48.04227
1.15
0.967231
0.06
3
24.45523
1.3
0.991011
0.02
0
9.511952
1.45
0.998077
0.01
0
2.826516
1.6
0.999681
0.00
0
0.641559
1.75
0.999959
0.00
0
0.111207
P值0.6589564758
表2ATM机使用时间(分/台)
2.96
2.14
2.92
2.13
2.25
2.57
2.63
2.47
2.25
2.08
2.85
2.12
2.72
2.17
2.08
2.97
3
2.67
2.53
2.29
2.84
2.63
2.25
2.91
2.88
2.09
2.41
2.81
2.02
2.38
2.61
2.74
2.62
2.01
5
2.95
3
4
2.3
2.77
3
2.6
4
2.63
2.34
2.14
2.85
2.31
2.8
2.23
2.4
2.89
2.79
3
2.17
2.34
2.18
2.95
2.06
2.76
2.07
2.68
2.56
4.5
2.32
2.45
2
4
2.26
2.72
2.02
2.66
2.66
2.75
2.51
2.15
4
6.5
4
2.35
2.34
2.58
1
2.63
2.99
2.61
5.4
2.86
2.8
2.81
2.42
5
3
2.84
5.2
2.67
2.63
2.45
2.18
4
2.88
2.25
2.72
2
2.98
2.77
2
2.15
2.37
2.68
2.7
2.68
2.82
2.73
2.28
2.52
2.56
2.76
2.16
2.02
2.35
2.57
2.42
2.77
2.18
2.59
2.74
4.5
2.55
2.5
2.75
2.4
2.3
2.12
2.79
2.8
2.36
2.12
2.9
2.02
2.37
3.6
2.46
2.57
应用excel仿真的模型[9]我们分析可以得出结论:
由统计结果可见:
设2个ATM机,学生排队等待平均时间为3.72分钟,最短时间是不等待,即学生到达ATM机前或者是排队;最长等待时间为8.75分钟;因此,两个ATM机完全可以满足银行机构对学生存取钱的方便的承诺。
若设一个ATM机,由于服务时间多于顾客到达间隔时间,学生会越来越多,会严重耽误学生的休息时间;再多设ATM机,可提供更快捷的服务,但会造成不必要的损失。
因此,设2个ATM机是最佳选择。
4湖南工程学院食堂排队系统
4.1学校食堂排队系统
由于学校的上下课时间一致所以中饭时间的食堂就可以看到很多的学生,在高校的学生食堂排队就是一个典型的排队问题,学校食堂只能在全体时,学生食堂的排队就餐过程是一个典型的排队问题,但学生食堂排队状况的特点是:
仅在整
体过程中满足服务强度ρ≤1的条件,而在单个时段并不满足[10]。
学生的休息时间有限但是中午这个时间段而这个时段又是食堂的高峰期,如何能让学生们所花的时间最少,同时又能使学生不会选择旁边的小吃店而兼顾学校食堂的利益,这种做法就显得很重要了。
然而根据调查显示学生在高校食堂排队是一个不可避免的问题,我们需要分析和研究的是如何使学生的利益和高校的利益达到一个均衡点,就学生来说食堂兴建的越多,排队人数和排队的时间就越少越对自身有利,然而从学校的角度出发,如果过多的修建食堂那么不仅经费吃紧而且学校的利益不能达到最优。
那么如何减少学生的排队时间,是学生满意,减少学生在食堂消费的人数流失就是学校应该考虑的,一个合理的排队系统的建立就很重要。
4.2食堂排队系统模型设计
如图所示,我们通过整理资料研究得出食堂排队系统的分析模型。
在食堂中,我们往往采取一对一的服务,也就是说完整的流程分为排队和就餐这两个过程,在单方面的选择时,如果是一对一的服务我们在选择使会更加注意时间效益,如果同学们排队时间过长不仅是一种时间资源的浪费而且也会使学校食堂的收益减少,我们可以了解到单位时间内进餐人数是为排队到吃完这一段时间为节点的,此外还要注意分析的是部分人选择排完队就走。
因此我们可以画出流程图,如下图所示:
4.3食堂排队数学模型[11]
假设M为食堂的窗口总数,W为每个窗口的服务时间,t为就餐的整个过程的完成时间,
为t时段滞留在排队中的人数,
为t时段滞留在食堂进餐的人数,为t时段到达食堂(开始排队)的人数,
为t时段完成排队的人数则公式为:
=M
1/W
4.4运用LINDO确定最优化服务人数以及服务时间方案
最优的服务人数:
model
1]r=20;t=3/60;load=r*t;
2]pwait=@peb(load,s);
3]w_q=pwait*t/(s-load);
4]w_s=w_q+t;l_s=w_s*r;
5]min=8*l_s+14*s;
6]@gin(s);@bnd(1,s,5);
end
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
38.66667
Objectivebound:
38.66667
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
3
Totalsolveriterations:
2237
Elapsedruntimeseconds:
0.81
ModelClass:
MINLP
Totalvariables:
5
Nonlinearvariables:
2
Integervariables:
1
Totalconstraints:
5
Nonlinearconstraints:
2
Totalnonzeros:
11
Nonlinearnonzeros:
3
VariableValueReducedCost
R20.000000.000000
T0.5000000E-010.000000
LOAD1.0000000.000000
PWAIT0.33333330.000000
S2.0000008.666652
W_Q0.
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