第24讲还原问题教教案教学设计导学案.docx
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第24讲还原问题教教案教学设计导学案
学科教师辅导讲义
学员编号:
年级:
四年级
课时数:
3
学员姓名:
辅导科目:
奥数
学科教师:
授课主题
第24讲-还原问题
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
①学习了解加、减、乘、除运算的变化规律;
②利用逆运算这些规律来解决一些较简单的问题;
③通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。
授课日期及时段
T(Textbook-Based)——同步课堂
一、还原问题
已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果,要求原数,这类问题叫做还原问题,还原问题又叫逆运算问题。
解决这类问题通常运用倒推法。
二、解题策略
遇到比较复杂的还原问题,可以借助画图和列表来解决这些问题。
例1、小刚的奶奶今年年龄减去7后,缩小9倍,再加上2之后,扩大10倍,恰好是100岁。
小刚的奶奶今年多少岁?
【解析】从最后一个条件恰好是100岁向前推算,扩大10倍后是100岁,没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁;加上2之后是10岁,没有加2之前应是10-2=8岁;没有缩小9倍之前应是8×9=72岁;减去7之后是72岁,没有减去7前应是72+7=79岁。
所以,小刚的奶奶今年是79岁。
例2、一个数的3倍加上6,再减去9,最后乘上2,结果得60。
这个数是多少?
【解析】运用逆推的思想:
60除以2得30,加上9得39,减去6得33,除以3得11.
例3、某商场出售洗衣机,上午售出总数的一半多10台,下午售出剩下的一半多20台,还剩95台。
这个商场原来有洗衣机多少台?
【解析】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推,从图中可以看出,剩下的95台和下午多卖的20台合起来,即95+20=115台正好是上午售后剩下的一半,那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。
而230台和10台合起来,即230+10=240台又正好是总数的一半。
那么,240×2=480台就是原有洗衣机的台数。
例4、粮库内有一批大米,第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半多5吨,还剩下4吨。
粮库原有大米多少吨?
【解析】第一次运出后剩下总数的一半为4+5=9
第一次运出后剩下总数为9x2=18
粮库原有大米吨数的一半为18+3=21
粮库原有大米吨数21x2=42
例5、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。
如果小强向小明借3本后,又借给小勇5本,结果三个人有的故事书的本数正好相等。
这三个人原来各有故事书多少本?
【解析】不管这三个人如何借来借去,故事书的总本数是60本,根据结果三个人故事书本数相同,可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。
如果小强不借给小勇5本,那么小强有20+5=25本,小勇有20-5=15本;如果小强不向小明借3本,那么小强有25-3=22本,小明有20+3=23本。
例6、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张。
如果甲给乙3张后,乙又送给丙5张,那么三个人的贺年卡张数刚好相同。
问三人原来各有贺年卡多少张?
【解析】90÷3=30,甲30+3=33
乙=30+5-3=32
丙=30-5=25
例7、甲乙两桶油各有若干千克,如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶,再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶,这时两桶油恰好都是36千克。
问两桶油原来各有多少千克?
【解析】如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶,甲桶内应有油36÷2=18千克,乙桶应有油36+18=54千克;如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶,乙桶原有油应为54÷2=27千克,甲桶原有油18+27=45千克。
例8、王亮和李强各有画片若干张,如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强,李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮,这时两个人都有24张。
问王亮和李强原来各有画片多少张?
【解析】李强再拿出同样多的画片给王亮前:
王亮=24÷2=12张
李强=24+12=36张
原来:
李强=36÷2=18张
王亮=12+18=30张
例9、两只猴子拿26个桃,甲猴眼急手快,抢先得到,乙看甲猴拿得太多,就抢去一半;甲猴不服,又从乙猴那儿抢走一半;乙猴不服,甲猴就还给乙猴5个,这时乙猴比甲猴多5个。
问甲猴最初准备拿几个?
【解析】先求出两个猴现在各拿多少,根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴多2个”,可知乙猴现在拿(26+2)÷2=14个,甲猴现在拿26-14=12个。
甲猴从乙猴那儿抢走一半,又还给乙猴5个后有12个,如果甲猴不还给乙猴,那么甲猴有12+5=17个;如果甲猴不抢乙猴一半,那么乙猴现在有(26-17)×2=18个。
乙猴看甲猴拿得太多,抢去甲猴的一半后有18个,如果不抢,那么甲猴最初准备拿(26-18)×2=16个。
例10、学校运来36棵树苗,小强和小萍两人争着去栽。
小强先拿了树苗若干棵,小萍看到小强拿太多了就抢了10棵,小强不肯,又从小萍那里抢了6棵,这时小强拿的棵数是小萍的2倍。
问最初小强准备拿多少棵?
【解析】小强又从小明哪儿抢了6棵,这时小明的棵数是36÷(1+2)=12,小强的棵数是12x2=24;
小强从小明哪儿抢6棵前,小明的棵数是12+6=18,小强的棵数是24-6=18;
那么小明抢了10棵前小强的棵数是18+10=28。
例11、24千克水被分装在三个瓶子中,第一次把A瓶的水倒一部分给B、c两瓶,使B、c两瓶的水比原来增加1倍;第二次把B瓶的水倒一部分给A、c两瓶,也使A、c两瓶的水比瓶中已有的水增加1倍;第三次把c瓶的水倒一部分给A、B两瓶,使A、B两瓶的水比瓶中已有的水增加1倍.这样倒了三次后,三瓶水同样多.问三个瓶中原来各装水多少千克?
【解析】我们可以用倒推法来做这个题目,由题意可知,最后一次倒水后,A、B、c三个瓶中各有24÷3=8千克水,由题意可推算出第二次倒水之后A、B、c三个瓶中的水分别为8÷2=4、8÷2=4、8×2=16千克,再用同样的方法推算出最初A、B、c三个瓶中的水分别是多少.
最后一次倒水后,A、B、c三个瓶中各有:
24÷3=8(千克),
第二次倒水之后A、B、c三个瓶中的水分别为8÷2=4(千克),8÷2=4(千克),8×2=16(千克),
第一次倒水后A、B、c三个瓶中的水分别为4÷2=2(千克),4+8+2=14(千克),4×2=8(千克),
最初甲乙丙三个瓶中的水分别:
2+4+7=13(千克),14÷2=7(千克),8÷2=4(千克),
答:
A瓶原来装水13千克,B瓶原来装水7千克,c瓶原来装水4千克,
例12、有一个财迷总想使自己的钱成倍增长,一天他在一座桥上碰见一个老人,老人对他说:
“你只要走过这座桥再回来,你身上的钱就会增加一倍,但作为报酬,你每走一个来回要给我32个铜板.”财迷算了算挺合算,就同意了.他走过桥去又走回来,身上的钱果然增加了一倍,他很高兴地给了老人32个铜板.这样走完第五个来回,身上的最后32个铜板都给了老人,一个铜板也没剩下.问:
财迷身上原有多少个铜板?
【解析】此题采用逆推法解决.
第5次以后,财迷只剩下32个铜板,相当于第5次过桥前手里有16个;
第4次过桥后给了老人32个,所以第四次结束以后手中有48个,相当于第4次过桥前手中有24个;
第3次过桥后给了老人32个,所以第3次结束以后手中有56个,相当于第3次过桥前手中有28个;
第2次过桥后给了老人32个,所以第2次结束以后手中有60个,相当于第2次过桥前手中有30个;
第1次过桥后给了老人32个,所以第1次结束以后手中有62个,相当于第1次过桥前手中有31个.
P(Practice-Oriented)——实战演练
Ø课堂狙击
1、在□里填上适当的数:
20×□÷8+16=26
【解析】4.
2、爸爸买了一些橘子,全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个,第二天吃了剩下的一半多1个,第三天又吃掉了剩下的一半多1个,还剩下1个。
爸爸买了多少个橘子?
【解析】这题是逆序推理法,从后面往前推:
最后只剩下1个,因为第三天吃掉了剩下的一半多一个,所以第二天剩下的有:
(1+1)×2=4个,第二天剩下四个是因为第二天吃了剩下的一半多一个,所以第一天剩下的:
(4+1)×2=10个,第一天剩下10个是因为吃了这些橘子的一半多一个,所以这些橘子:
(10+1)×2=22个。
3、小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。
如果小红给小丽13张,小丽给小敏23张,小敏给小红3张,那么他们每人各有40张。
原来三个人各有年历片多少张?
【解析】小敏原有:
40+3-23=20(张);
小丽原有:
40+23-13=50(张);
小红原有:
40×3-20-50=120-70=50(张)
4、甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个,如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙,再按丙现有的个数给丙之后,乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。
最后,丙也按同样的方法给甲、乙,这时,他们三个人都有32个玻璃球。
原来每人各有多少个?
【解析】三人一共32×3=96个。
丙给甲乙之前:
甲:
32÷2=16个,乙:
32÷2=16个,丙:
96-16-16=64个。
乙给甲丙之前:
甲:
16÷2=8个,丙:
64÷2=32个,乙:
96-8-32=56个。
甲给乙丙之前,即原来:
乙:
56÷2=28个丙:
32÷2=16个甲:
96-28-16=52个。
5、将某数的3倍减5,计算出答案,将答案再3倍后减5,计算出答案,这样反复经过4次,最后计算的结果为691,那么原数是_____.
【解析】第四次计算后的结果为691,第三次计算后的结果为:
(691+5)÷3=232,
第二次计算后的结果为:
(232+5)÷3=79,第一次计算后的结果为(79+5)÷3=28;
原数为:
(28+5)÷3═11
6、一只猴子摘了一堆桃子,第一天它吃了这堆桃子的七分之一,第二天它吃了余下桃子的六分之一,第三天它吃了余下桃子的五分之一,第四天它吃了余下桃子的四分之一,第五天它吃了余下桃子的三分之一,第六天它吃了余下桃子的二分之一,这时还剩12只桃子,那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是_____.
【解析】第6天吃了12个,共24个;
第5天吃了12个,共36个;
第4天吃了12个,共48个;
第3天吃了12个,共60个;
第2天吃了12个,共72个;
第1天吃了12个,总共84个
7、一个车间计划用5天完成加工一批零件的任务,第一天加工了这批零件的51多120个,第二天加工了剩下的41少150个,第三天加工了剩下的31多80个,第四天加工了剩下的21少20个,第五天加工了最后的1800个.这批零件总数有多少个?
【解析】第四天:
(1800-20)÷(1-1/2)=3560个
第三天:
(3560+80)÷(1-1/3)=5460个
第二天:
(5460-150)÷(1-1/4)=7080个
第一天:
(70800+120)÷(1-1/5)=9600个
Ø课后反击
1、小红问王老师今年多大年纪,王老师说:
“把我的年纪加上9,除以4,减去2,再乘上3,恰好是30岁。
”王老师今年多少岁?
【解析】(30÷3+2)×4-9=(10+2)×4-9=12×4-9=48-9=39(岁)
2、某水果店卖菠萝,第一次卖掉总数的一半多2个,第二次卖掉了剩下的一半多1个,第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个,这时只剩下一外菠萝。
三次共卖得48元,求每个菠萝多少元?
【解析】第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个,这时只剩下1个菠萝,那么第二次卖后剩下:
(1+1)×2=4(个);第二次卖掉剩下的一半多1个,那么第一次卖后剩下:
(4+1)×2=10(个);
第一次卖掉总数的一半多2个,剩下10个,则总数为(10+2)×2=24(个),三次共卖了24-1=23个,
再根据总价÷数量=单价解答即可得单价2元。
3、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子10颗,甲给乙13颗,乙给丙18颗,丙给丁16颗,四人的个数相等。
他们原来各有弹子多少颗?
【解析】甲-13+2=乙+13-18=丙+18-16=丁+16-2
即:
甲-11=乙-5=丙+2=丁+14
即:
甲=丁+25,乙=丁+19,丙=丁+12
另外.甲+乙+丙+丁=100
所以,丁=11
所以,甲=36,乙=30,丙=23
所以,甲分得了36颗,乙分得了30颗,丙分得了23颗,丁分得了11颗
4、书架上分上、中、下三层,共放192本书。
现从上层出与中层同样多的书放到中层,再从中层取出与下层同样多的书放到下层,最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层,这时三书架所放的书本数相等。
这个书架上中下各层原来各放多少本书?
【解析】既然上中下都相同,那么就是192÷3=64(本)
逆推来计算:
最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层,这是三层本数相同了,
那么说明,下给上层64÷2=32(本),下未给上时有:
64+32=96(本),下原有:
96÷2=48(本)
中未给下时有:
192-32-48=112(本)那中原来有:
112÷2=56(本)上原有:
192-48-56=88(本)
5、有甲、乙、丙三个数,从甲数中拿出15加到乙数,再从乙数中拿出18加到丙数,最后从丙数拿出12这时三个数都是180。
问甲、乙、丙三个数原来各是多少?
【解析】如果不从丙数中拿出12加到甲数,那么甲应为180-12=168,丙是180+12=192;如果不从乙数中拿出18加到丙数,那么丙数是192-18=174,乙数应是180+18=198;如果不从甲数中拿出15加到乙数,那么甲是168+15=183,乙数是198-15=183。
综全算式:
甲数:
180-12+15=183乙数:
180+18-15=183丙数:
180+12-18=174
6、小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说:
“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好是100岁”那么,这位老爷爷今年_____岁.
【解析】(100÷10+15)×4-17=(10+15)×4-17=100-17=83(岁)
7、李老师拿着一批书送给36位同学,每到一位同学家里,李老师就将所有的书的一半给他,每位同学也都还她一本,最后李老师还剩下2本书,那么李教师原来拿了_____本书.
【解析】本道题目是逆推题目:
最后李老师还剩2本书,从这两本书入手,他到第36位同学家之前应有(2-1)×2=2本书.可知同样到每一位同学家之前都是2本书.因此开始时候老师手中拿着2本书.
8、从某天起,池塘水面的浮草,每天增加一倍,50天后整个池塘长满了草,第几天浮萍所占面积是池塘的.
【解析】第50天后整个池塘长满了浮草,增加一倍的意思是指后一天是前一天的2倍,即前一天是后一天的一半,因此,第49天时浮萍所占面积是池塘的,第48天时浮萍所占面积是池塘的
10、有甲、乙两箱糖果,如果第一次从甲箱拿出和乙箱同样多块糖果放到乙箱里,第二次从乙箱拿出和甲箱剩下的同样多块糖果放入甲箱,这样拿4次后,甲、乙两箱糖果都是16块.甲、乙两箱各有糖果_____块.
【解析】最后:
甲16块,乙16块,共有:
16+16=32(块);
第四次拿之前:
甲:
16÷2=8(块),乙:
32-8=24(块);
第三次拿之前:
乙:
24÷2=12(块),甲:
32-12=20(块);
第二次拿之前:
甲:
20÷2=10(块),乙:
32-10=22(块);
原有:
乙:
22÷2=11(块),甲:
32-11=21(块).
1、如果5×(2+△×△)-4=2006,那么△=________。
(第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试)
【解析】5×(2+△×△)-4=2006
5×(2+△×△)=2010
2+△×△=402
△×△=400,
所以△=20
2、有一个培养某种微生物的容器,这个容器的特点是:
往里面放人微生物,再把容器封住,每过一个夜晚.容器里的微生物就会增加一倍,但是.若在白天揭开盖子,容器内的微生物就会正好减少16个。
小丽在实验的当天往容器里放入一些微生物.心急的她在第二、三、四天都开封看了看,到第五天,当她又启封查看时,惊讶地发现微生物都没了。
请问:
小丽开始往容器里放丁多少个微生物?
(第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试)
【解析】第五天揭开后0个,揭开前16个;
第四天揭开后8个,揭开前24个;
第三天揭开后12个,揭开前28个;
第二天揭开后14个,揭开前30个;
第一天15个。
S(Summary-Embedded)——归纳总结
(1)学习了解加、减、乘、除运算的变化规律;
(2)利用逆运算这些规律来解决一些较简单的问题;
(3)掌握重点题型。
重点和难点突破:
(1)学会画图,列表;
(2)学会逆运算。
Ø本节课我学到了
Ø我需要努力的地方是
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