初升高数学提高练习第七讲 根式及其运算.docx
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初升高数学提高练习第七讲根式及其运算
第七讲根式及其运算
二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础,在进行根式运算时,往往用到绝对值、整式、分式、因式分解,以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法,也就是说,根式的运算,可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力.下面先复习有关基础知识,然后进行例题分析.
二次根式的性质:
二次根式的运算法则:
设a,b,c,d,m是有理数,且m不是完全平方数,则当且仅
当两个含有二次根式的代数式相乘时,如果它们的积不含有二次根式,则这两个代数式互为有理化因式.
例1化简:
法是配方去掉根号,所以
因为x-2<0,1-x<0,所以
原式=2-x+x-1=1.
=a-b-a+b-a+b=b-a.
说明若根式中的字母给出了取值范围,则应在这个范围内进行化简;若没有给出取值范围,则应在字母允许取值的范围内进行化简.
例2化简:
分析两个题分母均含有根式,若按照通常的做法是先分母有理化,这样计算化简较繁.我们可以先将分母因式分解后,再化简.
解法1配方法.
配方法是要设法找到两个正数x,y(x>y),使x+y=a,xy=b,则
解法2待定系数法.
例4化简:
(2)这是多重复合二次根式,可从里往外逐步化简.
分析被开方数中含有三个不同的根式,且系数都是2,可以看成
解设
两边平方得
②×③×④得
(xyz)2=5×7×35=352.
因为x,y,z均非负,所以xyz≥0,所以
xyz=35.⑤
⑤÷②,有z=7.同理有x=5,y=1.所求x,y,z显然满足①,所以
解设原式=x,则
解法1利用(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)来解.
将方程左端因式分解有
(x-4)(x2+4x+10)=0.
因为
x2+4x+10=(x+2)2+6>0,
所以x-4=0,x=4.所以原式=4.
解法2
说明解法2看似简单,但对于三次根号下的拼凑是很难的,因此本题解法1是一般常用的解法.
例8化简:
解
(1)
本小题也可用换元法来化简.
解用换元法.
解直接代入较繁,观察x,y的特征有
所以
3x2-5xy+3y2=3x2+6xy+3y2-11xy
=3(x+y)2-11xy
=3×102-11×1=289.
例11求
分析本题的关键在于将根号里的乘积化简,不可一味蛮算.
解设根号内的式子为A,注意到1=(2-1),及平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,所以
A=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(2256+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(2256+1)+1
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)…(2256+1)+1
=…=(2256-1)(2256+1)+1
=22×256-1+1=22×256,
的值.
分析与解先计算几层,看一看有无规律可循.
解用构造方程的方法来解.设原式为x,利用根号的层数是无限的特点,有
两边平方得
两边再平方得
x4-4x2+4=2+x,所以x4-4x2-x+2=0.
观察发现,当x=-1,2时,方程成立.因此,方程左端必有因式(x+1)(x-2),将方程左端因式分解,有
(x+1)(x-2)(x2+x-1)=0.
解因为
原式=5
练习七
1.化简:
2.计算:
3.计算:
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