123旋转类全等问题3讲义教师版.docx
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123旋转类全等问题3讲义教师版
旋转类全等问题
例题精讲
【例1】如图所示.正方形ABCD中,在边CD上任取一点Q,连AQ,过D作DP_AQ,交AQ于R,交BC于P,正方形对角线交点为0,连OP,OQ.求证:
OP_0Q.
C
【考点】旋转类全等问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】
【答案】欲证OP_0Q,即证明.COP•.COQ=90.然而,.COQ•.QOD=90,因此只需证明
■COP二/DOQ即可•这归结为证明=COP也DOQ,又归结为证明CP=DQ,最后,再归结为证明.ADQ也.DCP的问题.
证明:
在正方形ABCD中,因为AQ_DP,
所以,在Rt.ADQ与Rt.:
RDQ中有.RDQ=/QAD.
所以,在Rt.ADQ与Rt.:
DCP中有AD=DC,.ADQ=/DCP=90,.QAD=/PDC,所以.ADQ也.DCP(ASA),DQ=CP.
又在DOQ与COP中,DO=CO,ODQ=/OCP=45,
所以「DOQ也.COP(SAS),DOQ=/COP.
从而.POQ=/COP.COQ=/DOQ.COQ二.COD=90,
即OP_OQ.
说明
(1)利用特殊图形的特殊性质,常可发现有用的条件,如正方形对角线互相垂直,对角线与边成45角,及OA=OB=OC=OD等均在推证全等三角形中被用到.
【例2】如图所示,在等腰直角「ABC的斜边AB上取两点M、N,使.MCN=45,记AM=m,MN=x,
BN二n,求证:
以x、m、n为边长的三角形的形状是直角三角形
【考点】旋转类全等问题,轴对称类全等问题
【难度】4星【题型】解答
【关键词】
【解析】略
【答案】解法1:
如图所示,将.CBN绕点C顺时针旋转90,得到.CAD.
连接MD,贝UAD=BN=n,CD=CN,.ACD=/BCN,
故.MCDACM.ACDACM•.BCN=90_4545=.MCN,
从而.MDC也.MNC,
贝UMD二MN二x.
而.DAM=4545’=90,
故在直角三角形「AMD中有m2•n2=x2.
解法2:
我们用上一讲学习过的“对称变换”也能得到解答.如图所示,以CM为对称轴将.:
CMA翻折到厶CMP的位置.易证.'CPN和.:
CBN关于CN对称,且APMN为直角三角形,并且可得PM二AM二m,PNNB二n,MN二x.
【例3】请阅读下列材料:
已知:
如图1在RMABC中,NBAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若DAE=45•探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:
把UAEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连结ED,
使问题得到解决•请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;
⑵当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变?
请说明你的猜想并给予证明.
【考点】旋转类全等问题
【难度】4星
【题型】解答【关键词】通州区2009一模第25题
【解析】
【答案】⑴DE2二BD2EC2
证明:
根据.AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE
•••.AEC也.ABE
•••BE=EC,AE=AE,C=/ABE,.EAC二/EAB在Rt.ABC中
•••AB=AC
•.ABC二/ACB=45
•.ABC.ABEJ90
即.EBD=90
•EB2BD2=ED2
又•••.DAE=45
•.BAD梟/EAC=45
•.EAB.BAD=45
即.EAD=45
•.AED空AED
•DE=DE
•
DE2=BD2EC2
⑵关系式DE^BD2EC2仍然成立
证明:
将AADB沿直线AD对折,得AAFD,连FE
•.AFD仝ABD
•AF=AB,FD=DB
ZFADZBAD,乙AFDZABD
又•••AB二AC,•AF二AC
•••.FAE=.FAD.DAE=.FAD45
ZEACZBACNBAE=90:
ZDAE/DABj;=45ZDAB•乙FAE/EAC
又•••AE=AE
•.AFE也ACE
•FE=EC,/AFE£ACE=45
.AFD=ABD=180-•ABC=135
•.DFE=/AFD-/AFE=135-45=90
•在Rt.DFE中
DF2FE2二DE2即DE2二BD2EC2
【例4】如图所示,在五边形
ABCDE中,ZBWE=90,AB二CD二AE二BCDE=1,求此五边形的面
积.
【考点】旋转类全等问题
【难度】4星
【题型】解答【关键词】北京市初二数学竞赛试题
【解析】
【答案】我们马上就会想到连接AC、AD,因为其中有两个直角三角形,但又发现直接求各三角形的面积并
不容易,至此思路中断•
我们回到已知条件中去,注意到BCDE=1,这一条件应当如何利用?
联想到在证明线段相等时我
们常用的“截长补短法”,那么可否把BC拼接到DE的一端且使EF=BC呢(如图所示)?
据此,连
接AF,则发现「ABC也.AEF,且FD=1,AF=AC,AE=AB,.:
ADF是底、高各为1的三角形,其面积为1,而「ACD与AFD全等,从而可知此五边形的面积为1.
C
【巩固】在五边形ABCDE中,已知AB=AE,BCD^CD,/ABC£AED=180,连接AD•求证:
AD
平分ZCDE.
A
B
【考点】旋转类全等问题
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题
【解析】
【答案】连接AC•由于AB=AE,ZABCMAED=180.
A
B
我们以A为中心,将「ABC逆时针旋转到,AEF的位置•因AB=AE,所以B点与E点重合,而-AEFAEDABC•AED=180,
所以D、E、F在一条直线上,C点旋转后落在点F的位置,且AF=AC,EF=BC•
所以DF=DEEF=DEBC=CD•
在•ACD与AFD中,
因为AC=AF,CD=FD,AD=AD,
故ACDAFD,
因此.ADCADF,即AD平分.CDE•
【例5】女口图,五边形ABCDE中,AB=AE,BCDE=CD,BAE=/BCD=120,ABC.AED=180,连结AD。
求证:
AD平分NCDE。
【考点】旋转类全等问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】略
【答案】连结AC,把ABC绕点A逆时针旋转120得AAEF,
证明「:
ACDAFD,所以AD平分乙CDE
【例6】如图所示,ABC是边长为1的正三角形,BDC是顶角为120的等腰三角形,以D为顶点作一个
60的ZMDN,点M、N分别在AB、AC上,求AAMN的周长.
C
【考点】旋转类全等问题
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】北京市数学竞赛试题,天津市数学竞赛试题
【解析】
【答案】如图所示,延长AC到E使CE二BM.
C
E
D
在BDM与CDE中,因为BD二CD,.MBD=ECD=90,BM=CE,所以BDM也CDE,故MD=ED.
因为.BDC=120,.MDN=60,所以.BDM.NDC=60.
又因为.BDM=.CDE,所以.MDN=.EDN=60.
在.MND与.END中,DN二DN,.MDN=/EDN=60,DM二DE,所以MND也END,则NE=MN,所以.)AMN的周长为2.
【答案】BM+NC=MN
AC至E,使CE=BM,连接DE
(2)猜想:
仍然成立证明:
如图,延长
•/BD=CD,且.BDC=120,
•••.DBCDCB=30
由ABC是等边三角形,•■MBD=.NCD=90.:
MBDB:
ECD(SAS)
•DM二DE,BDMCDE.EDN=.BDC-.MDN=60在MDN与EDN中
DM=DE
I
•上MDN=/EDN
DN=DN
••MDN也.:
EDN(SAS)
•MN=NE=NCBM
.AMN的周长Q=AMANMN=(AMBM)(ANNC)=ABAC=2AB而等边.'ABC的周长L=3AB
...Q_2
L~3
2
(3)2x2L
3
【例8】如图所示,在四边形ABCD中,AB二BC,.AC=90,.B=135,K、N分别是AB、BC上的点,若ABKN的周长为AB的2倍,求NKDN的度数.
【考点】旋转类全等问题
【难度】4星
【题型】解答【关键词】
【解析】
【答案】延长BC至F,使得CF=AB,在CF上取点E,使得CE=AK,连接BD、DE、DF.
BK
•/AB_AD,BC_CD,AB=BC/•Rt.ADB也Rt.CDB
•••AD=CD
•/AD=CD,AK=CE,AB_AD,BC_CD•.:
ADK也.:
CDE
•-DK=DE
•/BKBNKN=2AB,BF=BNEFEN=2AB,EF=CF-CE=AB-AK=BK
•KN=EN
•.NIDK^:
NDE
•.KDN=•EDN=.CDE+.NDC=.CDE+.ADK
•/.ABC=135•.KDN=(180-135)=22.5
点评:
本题的辅助线可以看作是将「ADB割下来,放到CDF处,从而将不规则的图形转化为规则
的图形,进而利用线段之间的等量关系求解.
【例9】
(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,B=/D=90,E、F分别是边BC、CD上的点,且
1
.EAF=—.BAD•求证:
EF=BEFD;
2
(2)如图在四边形ABCD中,AB=AD,.B+.D=180,E、F分别是边BC、CD上的点,且
1
.EAFBAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
不用证明.
2
(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,B.ADC=180,E,F分别是边BC,CD延长线上的
点,且/EAF=1/BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出它们之
2
间的数量关系,并证明.
【考点】旋转类全等问题
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】
【答案】证明:
延长EB到G,使BG=DF,联结AG.
•/■ABG=•ABC=•D=90,AB=AD,
•••.ABG也.ADF.
•••AG=AF,1=.2.
1
•-.1.3^72.3二/EAFBAD.
2
•.GAE二.EAF.
又AE=AE,
•-AEG=.AEF.
•EG=EF.
•/EG=BE+BG.
•EF二BEFD
(2)
(1)中的结论EF=BEFD仍然成立.
(3)结论EF=BEFD不成立,应当是EF=BEFD
证明:
在BE上截取BG,
使BG=DF,连接AG.
•/.B.ADC=180,
/ADF/ADC=180,
•EB二.ADF.
•••AB=AD,
••ABG也ADF.
•.BAG=.DAF,AG=AF.
1
•.BAG+.EAD=DAF+.EAD=.EAF=BAD
2
•.GAE-.EAF.
•••AE二AE,
•AEG也.AEF
•EG=EF
•/EG二BE-BG
【例10】如图①,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形
ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点0(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.
(1)如图②,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与G的延长线相交于点N,此时,⑴中的猜想还成立吗?
若成立,请证明;若不成
立,请说明理由.
【考点】旋转类全等问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】略
【答案】⑴BM=FN.
证明如下:
因为^GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,所以.ABD=.F=45,OB=0F.
又.BOM=.FON,所以QBM也.OFN.即BM二FN.
⑵BM二FN仍然成立.
理由是:
因为UGEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形,所以ZDBA/GFE=45,OB=OF.
所以ZMBOZNFO=135.又乙BOMZFON,所以QBM也.OFN.
所以BM二FN.
AF二DE,:
CEF的面
【例11】在六边形ABCDEF中,.A=.B=/C=/D,AB=BC=CD,
【考点】旋转类全等问题
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】略
【答案】由于六边形的内角和为720,而六个内角都相等,所以•A=/B=/C二E=/F=120.
由于^CEF的面积是六边形ABCDEF面积的一半,我们可以将六边形中除去^CEF,然后将剩下的
部分设法拼在一起,当然,首要的任务是将CDE移动位置,与四边形BCFA集中到一起,为此,
以C为旋转中心,将.QDE绕C点逆时针旋转120到■CBE1的位置.
Ei
B
H1
事实上,CBEi也CDE(CB=CD,BCEi=.DCE,CEi=CE).
而BE^DE,.EBC=.CDE=120=.ABC,所以Z巳BA=1207乙EQE=NBCD=120°.
设E1F交AB于M点,在.EBM与FAM中,
由于E1B=DE=FA,乙E1BMZFAM=120,丄E1MBZFMA,故.EBM也.FAM,
是SCE1F=S.ceF-
则S.e’bm=S「fam,自F作FH_CE于H,作FH1_CE1于比,
11
由于—CEFHCE1FH1,
22
而C^=CE1,故FH二FH1.
由于F点到.EQE两边的距离相等,
11
所以.ECF=.E1CFECE1DCB=60.
22
课后作业
1.在等腰RtABC的斜边AB上取两点M、N,使/MCN=45,记AM=m,MN=x,BN=n,则以x、
m、n为边长的三角形的形状是().
A•锐角三角形B•直角三角形
C.钝角三角形D.随x、m、n的变化而变化
【考点】旋转类全等问题
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】1997年安徽省初中数学竞赛题
【解析】
【答案】如图,将CBN绕点C顺时针旋转90,得■CAD,连结MD,
贝UAD=BN二n,CD二CN,/ACD=ZBCN,
•••/MCD=/ACM/ACD二/ACM/BCN=90’-45145丄/MCN.
/•MDC也.MNC,•MD二MN=x
又易得.DAM=4545’=90,•在RtAMD中,有m2n2=x2,故应选(B)
2.如图,已知五边形ABCDE中,.ABC=/AED=90,AB二CD=AE=BC•DE=2.求该五边形的面积.
【考点】旋转类全等问题
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】江苏省数学竞赛试题
【解析】
【答案】延长CB至F,使得BF=DE,连接AF、AC、AD.
•/.ABC=.AED=90,AB=AE,BF=DE
•ABF也.AED
•AF=AD
•/CD=BC+DE=BC+BF=CF,AC=AC
••.ACFACD
•/AB=CD=CF=2
•该五边形的面积为16.
点评:
本题可看作将五边形ABCDE分割成三块,通过割补重新组合成一个规则的图形.
F是CD上一点,满足
3.等边AABD和等边■CBD的边长均为1,E是BE_AD上异于A、D的任意一点,
AECF=1,当E、F移动时,试判断「BEF的形状.
【考点】旋转类全等问题
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】
【答案】由条件AECF=1,且DFCF=1,得AE=DF.
因为AB=DB,也A=NBDF=60°,所以MBE也ADBF,因此BE=BF,ABE=/DBF.
因为.EBF=/EBD.DBF=/EBD.ABE=.ABD=60,所以JBEF为等边三角形.
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