最新32洛必达法则汇总.docx
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最新32洛必达法则汇总
32洛必达法则
1.用洛必达法则求下列极限:
⑴«SkipRecordIf...»;
【解】这是“«SkipRecordIf...»”未定型商式极限,可以应用洛必达法则求解:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
----代值计算
⑵«SkipRecordIf...»;
【解】这是“«SkipRecordIf...»”未定型商式极限,可以应用洛必达法则求解:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----对未定型商式再应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----套用极限公式«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
⑶«SkipRecordIf...»;
【解】这是“«SkipRecordIf...»”未定型商式极限,可以应用洛必达法则求解:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----对未定型商式再应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----代值计算
⑷«SkipRecordIf...»;
【解】这是“«SkipRecordIf...»”未定型商式极限,可以应用洛必达法则求解:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----整理繁分式
«SkipRecordIf...»----对未定型商式再应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----化简复杂分式
«SkipRecordIf...»----对未定型商式再应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----代值计算
«SkipRecordIf...»
⑸«SkipRecordIf...»;
【解】这是“«SkipRecordIf...»”未定型商式极限,可以应用洛必达法则求解:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----化简繁分式
«SkipRecordIf...»----对未定型商式再应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----化简繁分式
«SkipRecordIf...»
⑹«SkipRecordIf...»;
【解】这是“«SkipRecordIf...»”未定型商式极限,可以应用洛必达法则求解:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----化简繁分式
«SkipRecordIf...»----对未定型商式再应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----代入计算
⑺«SkipRecordIf...»;
【解】这是“«SkipRecordIf...»”未定型极限,应化为商式极限后应用洛必达法则求解:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----化为商式后,成为“«SkipRecordIf...»”未定型商式极限
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----化简繁分式
«SkipRecordIf...»----代入计算
⑻«SkipRecordIf...»;
【解】这是“«SkipRecordIf...»”未定型极限,应化为商式极限后应用洛必达法则求解:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----化为商式后,成为“«SkipRecordIf...»”未定型商式极限
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----化简繁分式
«SkipRecordIf...»----代入计算
⑼«SkipRecordIf...»;
【解】这是“«SkipRecordIf...»”未定型极限,应化为商式极限后应用洛必达法则求解:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----为通分化为商式作准备
«SkipRecordIf...»----成为“«SkipRecordIf...»”未定型商式极限
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----代入计算
⑽«SkipRecordIf...»;
【解】这是“«SkipRecordIf...»”未定型极限,应化为商式极限后应用洛必达法则求解:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----通分化为商式,成为“«SkipRecordIf...»”未定型
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----化简繁分式,成为“«SkipRecordIf...»”未定型
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----代入计算
⑾«SkipRecordIf...»;
【解】这是“«SkipRecordIf...»”幂指函数未定型极限,应化为商式极限后应用洛必达法则求解:
【解法一】应用对数法,令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,
于是,«SkipRecordIf...»----成为“«SkipRecordIf...»”未定型
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----化简繁分式,成为“«SkipRecordIf...»”未定型
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----代入计算
得到«SkipRecordIf...»,亦即«SkipRecordIf...»,
从而有«SkipRecordIf...»,亦即«SkipRecordIf...»。
【解法二】应用指数法,利用公式«SkipRecordIf...»,得
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----化简繁分式,成为“«SkipRecordIf...»”未定型
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----代入计算
⑿«SkipRecordIf...»;
【解】这是“«SkipRecordIf...»”幂指函数未定型极限,应化为商式极限后应用洛必达法则求解:
【解法一】应用对数法,令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
于是,«SkipRecordIf...»----成为“«SkipRecordIf...»”未定型
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----代入计算
得到«SkipRecordIf...»,亦即«SkipRecordIf...»,于是得«SkipRecordIf...»,
亦即«SkipRecordIf...»。
【解法二】应用指数法,利用公式«SkipRecordIf...»,得
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----成为“«SkipRecordIf...»”未定型
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----代入计算
⒀«SkipRecordIf...»;
【解法一】这是“«SkipRecordIf...»”幂指函数未定型极限,可考虑套用公式«SkipRecordIf...»求解:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
【解法二】应用对数法,化为商式极限后应用洛必达法则求解:
令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
于是,«SkipRecordIf...»----成为“«SkipRecordIf...»”未定型
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----代入计算
得到«SkipRecordIf...»,亦即«SkipRecordIf...»,于是得«SkipRecordIf...»,
亦即«SkipRecordIf...»。
【解法三】应用指数法,利用公式«SkipRecordIf...»,得
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»----成为“«SkipRecordIf...»”未定型
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----代入计算
⒁«SkipRecordIf...»
【解法一】这是“«SkipRecordIf...»”幂指函数未定型极限,可考虑套用公式«SkipRecordIf...»求解:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
【解法二】应用对数法,化为商式极限后应用洛必达法则求解:
令«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
于是,«SkipRecordIf...»----成为“«SkipRecordIf...»”未定型
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»----代入计算
得到«SkipRecordIf...»,亦即«SkipRecordIf...»,于是得«SkipRecordIf...»,
亦即«SkipRecordIf...»。
【解法三】应用指数法,利用公式«SkipRecordIf...»,得
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----成为“«SkipRecordIf...»”未定型
«SkipRecordIf...»----应用洛必达法则
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»----代入计算
2.验证下列极限存在,但不能用洛必达法则求出:
⑴«SkipRecordIf...»;
【解】应用古典极限方法,将极限函数分解为:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
其中,«SkipRecordIf...»,
而当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»是无穷小,«SkipRecordIf...»是有界函数,从而«SkipRecordIf...»,
使得«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
可知«SkipRecordIf...»极限存在。
但是,虽然极限属于“«SkipRecordIf...»”型未定极限,却不能用洛必达法则求出结果。
原因是应用洛必达法则后,分子中出现当«SkipRecordIf...»时极限不存在的函数«SkipRecordIf...»:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»极限不存在。
⑵«SkipRecordIf...»。
【解】应用古典极限方法,将极限函数变形为:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»是无穷小,«SkipRecordIf...»是有界函数,
从而«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
可知«SkipRecordIf...»极限存在。
但是,虽然极限属于“«SkipRecordIf...»”型未定极限,却不能用洛必达法则求出结果。
原因是应用洛必达法则后,分子中出现当«SkipRecordIf...»时极限不存在的函数«SkipRecordIf...»:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»极限不存在。
3.设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处二阶可导,且«SkipRecordIf...»,试确定«SkipRecordIf...»的值使«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处可导,并求«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»。
【解】题设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处二阶可导,当然«SkipRecordIf...»存在,
于是由于«SkipRecordIf...»得到«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,----①
要使«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处可导,必须使«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处连续,
亦即使«SkipRecordIf...»,而已知«SkipRecordIf...»,
即应有«SkipRecordIf...»,
于是由①式知,有«SkipRecordIf...»。
这时,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
由于«SkipRecordIf...»存在,知«SkipRecordIf...»为“«SkipRecordIf...»”未定型极限,应用洛必达法则,得
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
仍由于«SkipRecordIf...»存在,知«SkipRecordIf...»为“«SkipRecordIf...»”未定型极限,再次应用洛必达法则,得«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
即得«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
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