学年高中物理第十一章机械振动第2节简谐运动的描述教学案新人教版.docx
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学年高中物理第十一章机械振动第2节简谐运动的描述教学案新人教版
第2节简谐运动的描述
1.振幅A表示振动物体离开平衡位置的最大距离,表示振动的强弱,是标量。
2.振子完成一次全振动的时间总是相等的,一次全振动中通过的总路程为4A。
3.相位是描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
4.简谐运动的表达式为:
x=Asin(ωt+φ)。
位移随时间变化的关系满足x=Asin(ωt+φ)的运动是简谐运动。
一、描述简谐运动的物理量
1.振幅
(1)定义:
振动物体离开平衡位置的最大距离,用A表示。
(2)物理意义:
表示振动的强弱,是标量。
2.全振动
图1121
类似于O→B→O→C→O的一个完整振动过程。
3.周期(T)和频率(f)
周期
频率
定义
做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间,叫做振动的周期
单位时间内完成全振动的次数,叫做振动的频率
单位
秒(s)
赫兹(Hz)
物理含义
表示物体振动快慢的物理量
关系式
T=
4.相位
描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
二、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为x=Asin(ωt+φ)
1.x表示振动物体相对于平衡位置的位移。
2.A表示简谐运动的振幅。
3.ω是一个与频率成正比的量,表示简谐运动的快慢,ω=
=2πf。
4.ωt+φ代表简谐运动的相位,φ表示t=0时的相位,叫做初相。
1.自主思考——判一判
(1)振幅就是指振子的位移。
(×)
(2)振幅就是指振子的路程。
(×)
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。
(×)
(4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。
(√)
(5)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ)中,ω表示振动的快慢,ω越大,振动的周期越小。
(√)
2.合作探究——议一议
(1)两个简谐运动有相位差Δφ,说明了什么?
甲、乙两个简谐运动的相位差为
π,意味着什么?
提示:
两个简谐运动有相位差,说明其步调不相同。
甲、乙两个简谐运动的相位差为
π,意味着乙(甲)总比甲(乙)滞后
个周期或
次全振动。
(2)简谐运动的表达式一般表示为x=Asin(ωt+φ),那么简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示?
提示:
简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示,也可以用余弦函数表示,只是对应的初相位不同。
描述简谐运动的物理量及其关系的理解
1.对全振动的理解
(1)全振动的定义:
振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程,叫作一次全振动。
(2)全振动的四个特征:
①物理量特征:
位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
②时间特征:
历时一个周期。
③路程特征:
振幅的4倍。
④相位特征:
增加2π。
2.简谐运动中振幅和几个物理量的关系
(1)振幅和振动系统的能量:
对一个确定的振动系统来说,系统能量仅由振幅决定。
振幅越大,振动系统的能量越大。
(2)振幅与位移:
振动中的位移是矢量,振幅是标量。
在数值上,振幅与振动物体的最大位移相等,但在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化。
(3)振幅与路程:
振动中的路程是标量,是随时间不断增大的。
其中常用的定量关系是:
一个周期内的路程为4倍振幅,半个周期内的路程为2倍振幅。
(4)振幅与周期:
在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。
[典例] 弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动,BC相距20cm,某时刻振子处于B点,经过0.5s,振子首次到达C点,求:
(1)振子的振幅;
(2)振子的周期和频率;
(3)振子在5s内通过的路程及位移大小。
[解析]
(1)振幅设为A,则有2A=BC=20cm,所以A=10cm。
(2)从B首次到C的时间为周期的一半,因此T=2t=1s;
再根据周期和频率的关系可得f=
=1Hz。
(3)振子一个周期通过的路程为4A=40cm,即一个周期运动的路程为40cm,
s=
4A=5×40cm=200cm
5s的时间为5个周期,又回到原始点B,位移大小为10cm。
[答案]
(1)10cm
(2)1s 1Hz (3)200cm 10cm
振动物体路程的计算方法
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据:
①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅,则在n个周期内通过的路程必为n·4A。
②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。
③振动物体在
内通过的路程可能等于一倍振幅,还可能大于或小于一倍振幅,只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时,
内通过的路程才等于振幅。
(2)计算路程的方法是:
先判断所求时间内有几个周期,再依据上述规律求路程。
1.如图1122所示,弹簧振子在BC间振动,O为平衡位置,BO=OC=5cm,若振子从B到C的运动时间为1s,则下列说法正确的是( )
图1122
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1s,振幅是10cm
C.经过两次全振动,振子通过的路程是20cm
D.从B开始经过3s,振子通过的路程是30cm
解析:
选D 振子从B→O→C仅完成了半次全振动,所以周期T=2×1s=2s,振幅A=BO=5cm,A、B错误;振子在一次全振动中通过的路程为4A=20cm,所以两次全振动振子通过的路程为40cm,C错误;3s的时间为1.5T,所以振子通过的路程为30cm,D正确。
2.质点沿x轴做简谐运动,平衡位置为坐标原点O。
质点经过a点(xa=-5cm)和b点(xb=5cm)时速度相同,时间tab=0.2s;此时质点再由b点回到a点所用的最短时间tba=0.4s;则该质点做简谐运动的频率为( )
A.1Hz B.1.25Hz
C.2HzD.2.5Hz
解析:
选B 由题意可知,a、b两点关于平衡位置O对称,质点经a点和b点时速度相同,则质点由b点回到a点所用的最短时间tba=0.4s为质点振动周期的
,故T=2tba=0.8s,质点做简谐运动的频率为f=
=1.25Hz,B正确。
3.一个质点做简谐运动,振幅是4cm,频率为2.5Hz,该质点从平衡位置起向正方向运动,经2.5s,质点的位移和路程分别是( )
A.4cm、24cm B.-4cm、100cm
C.0、100cmD.4cm、100cm
解析:
选D 由f=
得T=
=0.4s,Δt=2.5s=6
T。
每个周期质点通过的路程为4×4cm=16cm,故质点的总路程s=6
×16cm=100cm,质点0时刻从平衡位置向正向位移运动,经过
周期运动到正向最大位移处,即位移x=4cm,故D项正确。
对简谐运动表达式的理解
做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式:
x=Asin(ωt+φ)
(1)x:
表示振动质点相对于平衡位置的位移。
(2)A:
表示振幅,描述简谐运动振动的强弱。
(3)ω:
圆频率,它与周期、频率的关系为ω=
=2πf。
可见ω、T、f相当于一个量,描述的都是振动的快慢。
(4)ωt+φ:
表示相位,描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。
它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体完成了一次全振动。
(5)φ:
表示t=0时振动质点所处的状态,称为初相位或初相。
(6)相位差:
即某一时刻的相位之差。
两个具有相同ω的简谐运动,设其初相分别为φ1和φ2,其相位差Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1。
[典例] 物体A做简谐运动的振动位移为xA=3cos
m,物体B做简谐运动的振动位移为xB=5cos
m。
比较A、B的运动( )
A.振幅是矢量,A的振幅是6m,B的振幅是10m
B.周期是标量,A、B周期相等为100s
C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D.A振动的频率fA大于B振动的频率fB
[思路点拨]
(1)物体的振幅、角速度可以直接由简谐运动表达式得出。
(2)角速度与周期、频率的关系:
ω=
=2πf。
[解析] 振幅是标量,A、B的振动范围分别是6m、10m,但振幅分别是3m、5m,选项A错误。
周期是标量,A、B的周期T=
=
s=6.28×10-2s,选项B错误。
因为ωA=ωB,故fA=fB,选项C正确,选项D错误。
[答案] C
用简谐运动表达式解答振动问题的方法
应用简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ)解答简谐运动问题时,首先要明确表达式中各物理量的意义,找到各物理量对应的数值,根据ω=
=2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系,有时还需要通过画出其振动图像来解决有关问题。
1.某振子做简谐运动的表达式为x=2sin
cm,则该振子振动的振幅和周期为( )
A.2cm 1s B.2cm 2πs
C.1cm
sD.以上全错
解析:
选A 由x=Asin(ωt+φ)与x=2sin
对照可得:
A=2cm,ω=2π=
,所以T=1s,A选项正确。
2.有一弹簧振子,振幅为0.8cm,周期为0.5s,初始时具有负方向的最大加速度,则它的振动方程是( )
A.x=8×10-3sin
m
B.x=8×10-3sin
m
C.x=8×10-1sin
m
D.x=8×10-1sin
m
解析:
选A 由题意知,A=0.8cm=8×10-3m,T=0.5s,ω=
=4π,t=0时,弹簧振子具有负方向的最大加速度,即t=0时,x=A=8×10-3m,故A选项正确。
3.(多选)某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=Asin
t,则质点( )
A.第1s末与第3s末的位移相同
B.第1s末与第3s末的速度相同
C.第3s末与第5s末的位移相同
D.第3s末与第5s末的速度相同
解析:
选AD 根据x=Asin
t可求得该质点振动周期为T=8s,则该质点振动图像如图所示,图像的斜率为正表示速度为正,反之为负,由图可以看出第1s末和第3s末的位移相同,但斜率一正一负,故速度方向相反,选项A正确,B错误;第3s末和第5s末的位移方向相反,但两点的斜率均为负,故速度方向相同,选项C错误,D正确。
1.周期为2s的简谐运动,在半分钟内通过的路程是60cm,则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为( )
A.15次,2cm B.30次,1cm
C.15次,1cmD.60次,2cm
解析:
选B 在半分钟内振子完成15次全振动,经过平衡位置的次数为30次,通过的路程s=4A×15=60A=60cm,故振幅A=1cm,B项正确。
2.物体做简谐运动,其图像如图1所示,在t1和t2两时刻,物体的( )
图1
A.相位相同
B.位移相同
C.速度相同
D.加速度相同
解析:
选C 由图可知物体做简谐运动的振动方程为x=Asinωt,其相位为ωt,故t1与t2的相位不同,A错;t1时刻位移大于零,t2时刻位移小于零,B、D错;由振动图像知t1、t2时刻物体所处位置关于平衡位置对称,速率相同,且均向下振动,方向相同,C对。
3.如图2甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,周期T=2s,从最低点位置向上运动时开始计时,在一个周期内的振动图像如图乙所示,关于这个图像,下列哪些说法正确( )
甲 乙
图2
A.t=1.25s时,振子的加速度为正,速度也为正
B.t=1.7s时,振子的加速度为负,速度也为负
C.t=1.0s时,振子的速度为零,加速度为负的最大值
D.t=1.5s时,振子的速度为零,加速度为负的最大值
解析:
选C 由xt图像可知,t=1.25s时,振子的加速度和速度均沿-x方向,A错误;t=1.7s时,振子的加速度沿+x方向,B错误;t=1.0s时,振子在最大位移处,加速度为负向最大,速度为零,C正确;t=1.5s时,振子在平衡位置,速度最大,加速度为零,D错误。
4.(多选)一个弹簧振子的振幅是A,若在Δt的时间内物体运动的路程是s,则下列关系中可能正确的是(包括一定正确的)( )
A.Δt=2T,s=8AB.Δt=
,s=2A
C.Δt=
,s=2AD.Δt=
,s>A
解析:
选ABD 因每个全振动所通过的路程为4A,故A、B正确,C错误;又因振幅为振子的最大位移,而s为
时的路程,故s有可能大于A,故D正确。
5.有一个在光滑水平面内的弹簧振子,第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动,第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动,则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A.1∶1 1∶1B.1∶1 1∶2
C.1∶4 1∶4D.1∶2 1∶2
解析:
选B 弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离,即振幅,故振幅之比为1∶2,而对同一振动系统,其周期与振幅无关,则周期之比为1∶1。
振动周期由振动系统的性质决定,与振幅无关。
6.(多选)如图3所示,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。
以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式为y=0.1sin(2.5πt)m。
t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下;t=0.6s时,小球恰好与物块处于同一高度。
取重力加速度的大小g=10m/s2。
以下判断正确的是( )
图3
A.h=1.7m
B.简谐运动的周期是0.8s
C.0.6s内物块运动的路程为0.2m
D.t=0.4s时,物块与小球运动方向相反
解析:
选AB 由物块简谐运动的表达式y=0.1sin(2.5πt)m知,ω=2.5π,T=
=
s=0.8s,选项B正确;t=0.6s时,y=-0.1m,对小球:
h+|y|=
gt2,解得h=1.7m,选项A正确;物块0.6s内路程为0.3m,t=0.4s时,物块经过平衡位置向下运动,与小球运动方向相同。
故选项C、D错误。
7.一物体沿x轴做简谐运动,振幅为12cm,周期为2s。
当t=0时,位移为6cm,且向x轴正方向运动,求:
(1)初相位;
(2)t=0.5s时物体的位置。
解析:
(1)设简谐运动的表达式为x=Asin(ωt+φ),A=12cm,T=2s,ω=
,t=0时,x=6cm。
代入上式得,6=12sin(0+φ)
解得sinφ=
,φ=
或
π。
因这时物体向x轴正方向运动,
故应取φ=
,即其初相为
。
(2)由上述结果可得:
x=Asin(ωt+φ)=12sin
cm,
所以x=12sin
cm=12sin
πcm=6
cm。
答案:
(1)
(2)6
cm处
8.
(1)(多选)有两个简谐运动,其表达式分别是x1=4sin
cm,x2=5sin
cm,下列说法正确的是( )
A.它们的振幅相同B.它们的周期相同
C.它们的相位差恒定D.它们的振动步调一致
E.它们的圆频率相同
(2)一竖直悬挂的弹簧振子,下端装有一记录笔,在竖直面内放置有一记录纸。
当振子上下振动时,以速率v水平向左匀速拉动记录纸,记录笔在纸上留下如图4所示的图像,y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标。
由此图求振动的周期和振幅。
图4
解析:
(1)它们的振幅分别是4cm、5cm,故不同,选项A错误;ω都是100πrad/s,所以周期
都是
s,选项B、E正确;由Δφ=
-
=
得相位差
恒定,选项C正确;Δφ≠0,即振动步调不一致,选项D错误。
(2)设振动的周期为T,由题意可得:
在振子振动的一个周期内,纸带发生的位移大小为2x0,故T=
。
设振动的振幅为A,则有:
2A=y1-y2,故A=
。
答案:
(1)BCE
(2)
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