届高考数学必考题型过关练专题一+集合与常用逻辑用语 解析版.docx
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届高考数学必考题型过关练专题一+集合与常用逻辑用语解析版
第1练 小集合,大功能
题型一 单独命题独立考查
例1 已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3B.6C.8D.10
破题切入点 弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键.
答案 D
解析 ∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},
∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4.
∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},
∴B中所含元素的个数为10.
题型二 与函数定义域、值域综合考查
例2 设函数f(x)=lg(1-x2),集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.[-1,0]B.(-1,0)
C.(-∞,-1)∪[0,1)D.(-∞,-1]∪(0,1)
破题切入点 弄清“集合”代表的是函数的定义域还是值域,如何求其定义域或值域.
答案 D
解析 因为A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1 ∁RA=(-∞,-1]∪[1,+∞). 则u=1-x2∈(0,1], 所以B={y|y=f(x)}={y|y≤0},∁RB=(0,+∞), 所以题图阴影部分表示的集合为 (A∩∁RB)∪(B∩∁RA) =(0,1)∪(-∞,-1].故选D. 题型三 与不等式综合考查 例3 若集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-2 A.a>-2B.a≤-2 C.a>-1D.a≥-1 破题切入点 弄清“集合”代表不等式的解集,“A∩B≠∅”说明两个集合有公共元素. 答案 C 解析 A={x|-1 如图所示: ∵A∩B≠∅,∴a>-1. 总结提高 (1)集合是一个基本内容,它可以与很多内容综合考查,题型丰富. (2)对于集合问题,抓住元素的特征是求解的关键,要注意集合中元素的三个特征的应用,要注意检验结果. (3)对于给出已知集合,进行交集、并集与补集运算时,可以直接根据它们的定义求解,也可以借助数轴、Venn图等图形工具,运用分类讨论、数形结合等思想方法,直观求解. 1.已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B等于( ) A.(0,1)B.(0,2] C.(1,2)D.(1,2] 答案 D 解析 A={x|1<x<4},B={x|x≤2}, ∴A∩B={x|1<x≤2}. 2.已知集合A={x|x2+x-2=0},B={x|ax=1},若A∩B=B,则a等于( ) A.- 或1B.2或-1 C.-2或1或0D.- 或1或0 答案 D 解析 依题意可得A∩B=B⇔B⊆A. 因为集合A={x|x2+x-2=0}={-2,1}, 当x=-2时,-2a=1,解得a=- ; 当x=1时,a=1; 又因为B是空集时也符合题意,这时a=0,故选D. 3.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|- },则( ) A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆AD.A⊆B 答案 B 解析 易求A={x|x<0或x>2},显然A∪B=R. 4.(2014·浙江)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA等于( ) A.∅B.{2}C.{5}D.{2,5} 答案 B 解析 因为A={x∈N|x≤- 或x≥ }, 所以∁UA={x∈N|2≤x< },故∁UA={2}. 5.已知M={y|y=2x},N={(x,y)|x2+y2=4},则M∩N中元素个数为( ) A.0B.1C.2D.不确定 答案 A 解析 集合M是数集,集合N是点集, 故其交集中元素的个数为0. 6.(2014·自贡模拟)设集合S={x|x>2},T={x|x2-3x-4≤0},则(∁RS)∩(∁RT)等于( ) A.(2,4]B.(-∞,-1) C.(-∞,2]D.(4,+∞) 答案 B 解析 因为T={x|-1≤x≤4}, 所以(∁RS)∩(∁RT)=∁R(S∪T)=(-∞,-1). 7.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a等于( ) A.4B.2C.0D.0或4 答案 A 解析 当a=0时,显然不成立; 当a≠0时,由Δ=a2-4a=0,得a=4.故选A. 8.已知集合A={x∈R||x-1|<2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于________. 答案 3 解析 A={x∈R||x-1|<2}={x∈R|-1 集合A中包含的整数有0,1,2,故A∩Z={0,1,2}. 故A∩Z中所有元素之和为0+1+2=3. 9.已知集合A={3,m2},B={-1,3,2m-1}.若A⊆B,则实数m的值为________. 答案 1 解析 ∵A⊆B,∴m2=2m-1或m2=-1(舍). 由m2=2m-1得m=1. 经检验m=1时符合题意. 10.对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={ai1,ai2,…,aik},定义X的“特征数列”为x1,x2,…,x100,其中xi1=xi2=…=xik=1,其余项均为0.例如: 子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0,…,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于________; (2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为________. 答案 (1)2 (2)17 解析 (1)由题意,可得子集{a1,a3,a5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,…,0,所以前3项和为1+0+1=2. (2)由题意,可知P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,…,0, 则P={a1,a3,a5,…,a99},有50个元素. 即集合P中的元素的下标依次构成以1为首项,2为公差的等差数列, 即这些元素依次取自集合E中的项a2n-1(1≤n≤50,n∈N*). Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,…,1, 则Q={a1,a4,a7,a10,…,a100},有34个元素. 即集合Q中的元素的下标依次构成以1为首项, 3为公差的等差数列, 即这些元素依次取自集合E中的项a3n-2(1≤n≤34,n∈N*). 而P∩Q中的元素是由这两个集合中的公共元素构成的集合, 所以这些元素的下标依次构成首项为1, 公差为2×3=6的等差数列, 即这些元素依次取自集合E中的项a6n-5, 由1≤6n-5≤100,解得1≤n≤ , 又n∈N*, 所以1≤n≤17,即P∩Q的元素个数为17. 11.已知函数f(x)= 的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B. (1)当m=3时,求A∩(∁RB); (2)若A∩B={x|-1 解 (1)当m=3时,B={x|-1 则∁RB={x|x≤-1或x≥3}, 又A={x|-1 ∴A∩(∁RB)={x|3≤x≤5}. (2)∵A={x|-1 故4是方程-x2+2x+m=0的一个根, ∴有-42+2×4+m=0,解得m=8. 此时B={x|-2 因此实数m的值为8. 12.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2 (1)求A∪B; (2)(∁RA)∩B; (3)如果A∩C≠∅,求a的取值范围. 解 (1)因为A={x|3≤x<7},B={x|2 所以A∪B={x|2 (2)因为A={x|3≤x<7}, 所以∁RA={x|x<3或x≥7}. 所以(∁RA)∩B={x|x<3或x≥7}∩{x|2 (3)如图,当a>3时,A∩C≠∅. 第2练 常用逻辑用语中的“常考题型” 题型一 充分必要条件问题 例1 (1)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数,则“f(x)与g(x)都为增函数”是“f(x)+g(x)是增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 (2)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ= ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 破题切入点 (1)增函数的性质以及互相推出的关键. (2)三角函数的图象和性质要熟练掌握. 答案 (1)A (2)B 解析 (1)若f(x)与g(x)都为增函数, 根据单调性的定义易知f(x)+g(x)为增函数; 反之f(x)+g(x)为增函数时, 例如f(x)=-x,g(x)=2x,f(x)+g(x)=x为增函数, 但f(x)为减函数,g(x)为增函数. 故“f(x)与g(x)都为增函数”是“f(x)+g(x)是增函数”的充分不必要条件. (2)φ= ⇒f(x)=Acos =-Asinωx为奇函数, ∴“f(x)是奇函数”是“φ= ”的必要条件. 又f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函数⇒f(0)=0⇒φ= +kπ(k∈Z)D/⇒φ= . ∴“f(x)是奇函数”不是“φ= ”的充分条件. 即“f(x)是奇函数”是“φ= ”的必要不充分条件. 题型二 逻辑联结词、命题真假的判定 例2 下列叙述正确的个数是( ) ①l为直线,α、β为两个不重合的平面,若l⊥β,α⊥β,则l∥α; ②若命题p: ∃x0∈R,x -x0+1≤0,则綈p: ∀x∈R,x2-x+1>0; ③在△ABC中,“∠A=60°”是“cosA= ”的充要条件; ④若向量a,b满足a·b<0,则a与b的夹角为钝角. A.1B.2C.3D.4 破题切入点 判定叙述是否正确,对命题首先要分清命题的条件与结论,再结合涉及知识进行判定;对含量词的命题的否定,要改变其中的量词和判断词. 答案 B 解析 对于①,直线l不一定在平面α外,错误;对于②,命题p是特称命题,否定时要写成全称命题并改变判断词,正确;③注意到△ABC中条件,正确;④a·b<0可能〈a,b〉=π,错误.故叙述正确的个数为2. 总结提高 (1)充要条件的判断及选择: 首先要弄清楚所要考查的相关知识并将其联系起来;其次充要条件与互相推出的关系,有时以集合形式给出时找集合间的包含关系.牵扯到比较复杂的问题时,要将条件转化之后再判断. (2)命题真假的判定方法,注意真值表的使用. (3)四种命题的改写及真假判断. (4)含有一个量词的命题的否定的改写方法. 1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若a=3,则A={1,3}⊆B, 故a=3是A⊆B的充分条件; 而若A⊆B,则a不一定为3, 当a=2时,也有A⊆B. 故a=3不是A⊆B的必要条件.故选A. 2.命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是( ) A.若α≠ ,则tanα≠1 B.若α= ,则tanα≠1 C.若tanα≠1,则α≠ D.若tanα≠1,则α= 答案 C 解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知,原命题的逆否命题是: 若tanα≠1,则α≠ . 3.(2014·达州模拟)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题: p1: 数列{an}是递增数列; p2: 数列{nan}是递增数列; p3: 数列 是递增数列; p4: 数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( ) A.p1,p2B.p3,p4 C.p2,p3D.p1,p4 答案 D 解析 如数列-2,-1,0,1,2,…, 则1×a1=2×a2,排除p2, 如数列1,2,3,…,则 =1, 排除p3,故选D. 4.已知p: <1,q: (x-a)(x-3)>0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,1)B.[1,3] C.[1,+∞)D.[3,+∞) 答案 C 解析 -1<0⇒ <0⇒(x-1)(x+1)<0⇒p: -1 x<3或x>a;当a<3时,q: x3.綈p是綈q的必要不充分条件,即p是q的充分不必要条件,即p⇒q且qD⇒/p,从而可推出a的取值范围是a≥1. 5.命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为( ) A.对任意x∈R,都有x2<0 B.不存在x∈R,使得x2<0 C.存在x0∈R,使得x ≥0 D.存在x0∈R,使得x <0 答案 D 解析 全称命题的否定是一个特称命题,故选D. 6.若命题p: 函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q: 函数y=x- 的单调递增区间是[1,+∞),则( ) A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题 C.綈p是真命题D.綈q是真命题 答案 D 解析 因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题; 因为函数y=x- 的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题. 所以p∧q为假命题,p∨q为真命题, 綈p为假命题,綈q为真命题,故选D. 7.下列关于命题的说法中错误的是( ) A.对于命题p: ∃x∈R,使得x2+x+1<0,则綈p: ∀x∈R,均有x2+x+1≥0 B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为: “若x≠1,则x2-3x+2≠0” D.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题 答案 D 解析 对于A,命题綈p: ∀x∈R,均有x2+x+1≥0,因此选项A正确.对于B,由x=1可得x2-3x+2=0;反过来,由x2-3x+2=0不能得知x=1,此时x的值也可能是2,因此“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,选项B正确.对于C,原命题的逆否命题是: “若x≠1,则x2-3x+2≠0”,因此选项C正确,故选D. 8.下列命题中,是真命题的是( ) A.存在x∈ ,使sinx+cosx> B.存在x∈(3,+∞),使2x+1≥x2 C.存在x∈R,使x2=x-1 D.对任意x∈ ,使sinx 答案 D 解析 A中,∵sinx+cosx= sin ≤ , ∴A错误; B中,2x+1≥x2的解集为[1- ,1+ ],故B错误; C中,Δ=(-1)2-4=-3<0, ∴x2=x-1的解集为∅,故C错误; D正确,且有一般结论,对∀x∈ , 均有sinx 9.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin2x, 则曲线y=-sin2x过坐标原点, 所以“φ=π”⇒“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”; 当φ=2π时,y=sin(2x+2π)=sin2x, 则曲线y=sin2x过坐标原点, 所以“φ=π”D⇐/“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”, 所以“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件,故选A. 10.下列命题中错误的是( ) A.命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠0” B.若x,y∈R,则“x=y”是“xy≤ 2中等号成立”的充要条件 C.已知命题p和q,若p∨q为假命题,则命题p与q中必一真一假 D.对命题p: ∃x∈R,使得x2-2ax-a2<0,则綈p: ∀x∈R,x2-2ax-a2≥0 答案 C 解析 易知选项A,B,D都正确;选项C中,若p∨q为假命题,根据真值表,可知p,q必都为假,故C错. 11.设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列选项中不正确的是( ) A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 B.当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C.当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件 D.当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件 答案 C 解析 与同一条直线垂直的两个平面平行,反之,当两个平行平面中有一个与一条直线垂直时,另一个也与这条直线垂直,选项A正确;根据平面与平面垂直的判定定理,选择B正确;当直线n⊂α时,直线n不平行于平面α,选项C不正确;根据线面垂直的性质,选项D正确. 12.对于原命题“单调函数不是周期函数”,下列陈述正确的是( ) A.逆命题为“周期函数不是单调函数” B.否命题为“单调函数是周期函数” C.逆否命题为“周期函数是单调函数” D.以上三者都不正确 答案 D 解析 根据四种命题的构成可得选项A、B、C中结论均不正确. 第3练 突破充要条件的综合性问题 题型一 充分必要条件的判断方法 例1 “ea>eb”是“log2a>log2b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 破题切入点 有关充要条件的判断问题,弄清楚谁是条件谁是结论,然后看谁能推出谁. 答案 B 解析 因为ea>eb⇔a>b, 所以取a=1,b=-1, 则a>bD⇒/log2a>log2b; 若log2a>log2b,则a>b. 综上,“ea>eb”D⇒“log2a>log2b”, 但“ea>eb”⇐“log2a>log2b”. 所以“ea>eb”是“log2a>log2b”的必要而不充分条件. 题型二 根据充要条件求参数范围 例2 函数f(x)= 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A.a<0B.0 C. 破题切入点 把函数f(x)的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题,从而求出f(x)有一个零点的充分必要条件,再利用“以小推大”的技巧,即可得正确选项. 答案 A 解析 因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=-2x+a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a≤0或a>1. 所以函数f(x)有且只有一个零点的充分必要条件是a≤0或a>1,应排除D;当0
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