第四章 圆与方程全章导学案.docx
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第四章 圆与方程全章导学案.docx
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第四章圆与方程全章导学案
第四章圆与方程
4.1.1圆的标准方程
一、学习目标
知识与技能:
1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法:
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方
程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观:
通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
二、学习重点、难点:
学习重点:
圆的标准方程
学习难点:
会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。
三、使用说明及学法指导:
1、先阅读教材118—120页,然后仔细审题,认真思考、独立规范作答。
2、不会的,模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成90℅以上,平行班完成80℅以上
四、知识链接:
1.两点间的距离公式?
2.具有什么性质的点的轨迹称为圆?
圆的定义?
平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径.
五、学习过程:
(自主探究)
A问题1阅读教材118页内容,回答问题
已知在平面直角坐标系中,圆心A的坐标用(a,b)来表示,半径用r来表示,则我们如何写出圆的方程?
问题2圆的方程形式有什么特点?
当圆心在原点时,圆的方程是什么?
例1:
1写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径是3;
(2)圆心在C(3,4),半径是
(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3);
2、写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)(x-1)2+y2=6
(2)(x+1)2+(y-2)2=9
(3)
例2:
写出圆心为
半径长等于5的圆的方程,判断
是否在这个圆上。
问题3点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外的条件是什么?
例3
△ABC的三个顶点的坐标是
求它的外接圆的方程
例4已知圆心为
的圆经过点
和
且圆心在
上,求圆心为
的圆的标准方程.
注:
比较例3、例4可得出
△ABC外接圆的标准方程的两种求法:
1.根据题设条件,列出关于
的方程组,解方程组得到
得值,写出圆的标准方程.
2.根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程.
六、达标检测
1、已知两点P1(4,9)和P2(6,3),求以P1P2为直径的圆的方程,试判断点M(6,9)、N(3,3)、
Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外?
2、求圆心C在直线x+2y+4=0上,且过两定点A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程。
3、从圆x2+y2=9外一点P(3,2)向该圆引切线,求切线方程。
4、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程.
C5.求过点A(3,2),圆心在直线y=2x上,且与直线y=2x+5相切的圆的方程:
七、小结与反思
①圆的方程的推导步骤:
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
②圆的方程的特点:
点(a,b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径;
③求圆的方程的两种方法:
(1)待定系数法;确定a,b,r;
【金玉良言】临渊羡鱼不如退而结网。
4.1.2圆的一般方程
一、学习目标:
知识与技能:
(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.
(2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程。
(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法:
通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度与价值观:
渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生勇于创新,勇于探索。
二、学习重点、难点:
学习重点:
圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.
学习难点:
对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
三、学法指导及要求:
1、认真研读教材121---123页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆.3、A:
自主学习;B:
合作探究;C:
能力提升4、小班、重点班完成全部,平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80%以上B完成70%~80%C力争完成60%以上.
四、知识链接:
圆的标准方程:
圆心
;半径:
r.
五、学习过程:
问题的导入:
问题1:
方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形?
方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形?
问题2:
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆?
问题3:
什么是圆的一般方程?
问题4:
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?
典型例题:
例1:
求过三点O(0,0)M1(1,1)M2(4,2)的圆的方程
例2:
已知:
线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。
变式:
已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)距离比为
的点的轨迹,求此曲线的方程并画出曲线。
六、达标检测
1,已知方程x2+y2+kx+(1-k)y+
=0表示圆,则k的取值范围()
Ak>3B
C-2
2,方程
表示的曲线是()
A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半圆
3,动圆
的圆心的轨迹方程是 .
4,如果实数
满足等式
,那么
的最大值是________。
5,求下列各题的圆心坐标、半径长
(1)x2+y2-6x=0
(2)x2+y2+2by=0
(3)x2+y2-2
x-2
y+3
2=0
6,下列各方程各表示什么图形?
(1)x2+y2=0
(2)x2+y2-2x+4y-6=0
(3)x2+y2+2
x-b2=0
7,已知圆C:
x²+y²-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1)求直线AB的方程
七、小结与反思掌握圆的一般方程的形式,理解其特点,能确定出圆心坐标和半径。
【励志良言】知识改变命运,勤奋造就人生!
4.2.1直线与圆的位置关系
一、学习目标:
1、知识与技能:
(1)理解直线与圆的位置的种类;
(2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离;(3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
2、过程与方法:
通过学习直线与圆的位置关系,掌握解决问题的方法――代数法、几何法。
3、情感态度与价值观:
让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养学生数形结合的思想.
二、学习重、难点:
重点:
直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
难点:
用坐标法判断直线与圆的位置关系.
三、学法指导及要求
1、认真研读教材126---128页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,研究最佳答案准备展示,不会的先绕过,做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆。
(尤其是直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法必需牢记)
3、A:
自主学习;B:
合作探究;C:
能力提升
4、小班、重点班完成全部,平行班完成A.B类题。
平行班的A级学生完成80%以上B级完成70%~80%C级力争完成60%以上。
四、知识链接
1、点和圆的位置关系有几种?
设点P(x0,y0),圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到P(x0,y0)的距离为d,则
点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2<r2d 点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2d=r, 点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2>r2d>r. 问题: 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报: 台风中心位于轮船正西70KM处,受影响的范围是半径为30KM的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40KM处,如果轮船不改变航线,那么这艘轮船是否会受到台风的影响? 五、学习过程 A问题1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类? A问题2.直线与圆的位置关系有哪几种呢? A问题3.在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢? B问题4.你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗? 六、达标检测 A1.1、从点P(x.3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线,则切线长度的最小值是() A.4B.C.5D.5.5 A2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点,则过点M最长的弦所在的直线方程是() A.x+y-3=0B.2x-y-6=0C.x-y-3=0D.2x+y-6=0 B3、直线l: 与圆x2+y2=1的关系是() A.相交B.相切C.相离D.不能确定 B4、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点,则以P为中点的弦所在的直线方程是_______ B5.已知直线y=x+1与圆 相交于A,B两点,求弦长|AB|的值 七、小结与反思 【教师寄语】长风破浪会有时,直挂云帆济沧海! 4.2.2圆与圆的位置关系 一、学习目标: 知识与技能: (1)理解圆与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长;(3)会用连心线长判断两圆的位置关系. 过程与方法: 用类比的思想研究圆与圆的位置关系,进一步将这些直观的事实转化为数学语言。 情感态度与价值观: 通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养数形结合的思想. 二、学习重点、难点: 用坐标法判断圆与圆的位置关系. 三、学法指导及要求: 1、认真研读教材129---130页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,研究最佳答案准备展示,不会的先绕过,做好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆。 (尤其是: 圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法必需牢记)3、A: 自主学习;B: 合作探究;C: 能力提升4、小班、重点班完成全部,平行班完成A.B类题。 平行班的A级学生完成80%以上B级完成70%~80%C级力争完成60%以上。 四、知识链接 1.直线与圆的位置关系: 相离、相交、相切 2.判断直线与圆的位置关系有哪些方法? (1)根据圆心到直线的距离; (2)根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数; 3.圆与圆的位置关系有哪几种? (作图说明) 如何根据圆的方程判断圆与圆的位置关系,我们将进一步探究. 五、学习过程 A问题1: 圆与圆的位置关系 两个大小不等的圆,其位置关系有内含、内切、相交、外切、外离等五种,在平面几何中,这些位置关系是如何判定的? B问题2: 判断圆和圆的位置关系的方法 (1)几何法 (2)代数法 B问题3: 已知两圆C1: x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0,用上述方法判断两个圆位置关系的操作步骤如何? B例1、已知圆C1: x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2: x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2的位置关系. 六、达标测试 A1、判断下列两圆的位置关系: (1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16 (2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0 B2、x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0相交,求实数m的范围 A3、已知以(-4,3)为圆心的圆与x2+y2=1相切,求圆C的方程. C4、求过点A(0,6)且与圆x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程。 C5、求与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线共有条。 七、小结与反思 【励志金语】不经一番风霜苦,哪得梅花放清香! 4.2.3直线与圆的方程的应用 一、学习目标: 知识与技能: (1)理解直线与圆的位置关系的几何性质; (2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题. 过程与方法: 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步: 建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步: 通过代数运算,解决代数问题;第三步: 将代数运算结果“翻译”成几何结论. 情感态度与价值观: 让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力. 二、学习重点、难点: 学习重点: 直线与圆的方程的应用. 学习难点: 直线与圆的方程的应用时,坐标系的建立、方程的确定。 三、学法指导及要求: 1、认真研读教材130---132页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一道习题,不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,便于复习记忆.3、A: 自主学习;B: 合作探究;C: 能力提升4、小班、重点班完成全部,平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80%以上B完成70%~80%C力争完成60%以上. 四、知识链接: 1,回忆各种直线方程的形式,说清其特点及不足。 2,圆的标准方程是: (x-a)2+(y-b)2=r2圆心(a,b);半径: r. 3,你能说出直线与圆的位置关系吗? 五、学习过程 问题的导入: 问题1: 你能举几个关于直线与圆的方程的应用的例子吗? 直线与圆的方程的应用是非常广泛的,下面我们看几个例子 典型例题 1.标准方程问题: 例1: 圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点到x-y+2=0的最远距离最近的距离。 2.轨迹问题: 例2: 过点A(4,0)作直线L交圆O: x2+y2=4于B,C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程 3.弦长问题: 例3: 直线L经过点(5,5),且和圆x2+y2=25相交,截得的弦长为 求直线L的方程。 4.对称问题: 例4: 求圆 关于点 对称的圆的方程. 5.实际应用问题 例5: 下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20cm,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01m). 6.用代数法证明几何问题 例6.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半. 六、达标检测 A1,求直线 : 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=9所截得的弦长 B2,圆(x-1)2+(y-1)2=4关于直线L: x-2y-2=0对称的圆的方程 B3,赵州桥的跨度是37.4m,圆拱高约7.2m,求拱圆的方程 B4,某圆拱桥的水面跨度20m,拱高4m。 现有一船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过? C4,等边△ABC中,D,E分别在边BC,AC上,且∣BD∣= ∣BC∣,∣CE∣= ∣CA∣,AD,BE相交于点P,求证: AP⊥CP 七、小结与反思 利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题;用坐标法解决平面几何问题. 【励志金语】我的未来我把握,我的人生我设计! 圆的习题课 一、学习目标: 1、知识与技能: 使学生掌握圆的各种方程的特点,能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程,能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,熟悉直线与圆,圆与圆的关系并能应用。 2、过程与方法: 能根据不同的条件,利用待定系数法、定义法求圆的标准方程,用转化法求轨迹。 3、情感态度与价值观: 能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题,培养学生的应用意识。 二、学习重点、难点: 学习重点: 圆的各种方程、直线与圆,圆与圆的关系及应用。 学习难点: 圆的方程的应用。 三、使用说明及学法指导: 认真复习总结、积累圆的各种方程、直线与圆,圆与圆的关系等重要知识点,数形结合、分类讨论,待定系数法等思想方法。 要通过解题积累经验,总结方法,融会贯通。 四、知识链接: 1、圆的标准方程: 2、圆的一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F=0 3、点和圆的位置关系: 设圆C∶ ,点M到圆心的距离为d,则有: (1)d>r 点M在圆外; (2)d=r 点M在圆上;(3)d<r 点M在圆内. 4、直线和圆的位置关系: 如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则有 (1)直线l与⊙O相交<=>d (2)直线l与⊙O相切<=>d=r(3)直线l与⊙O相离<=>d>r。 五、学习过程 典型题精炼: 1.如何判断点与圆的位置关系? 例题1: 已知点P(-2,4)和圆C 试判断点P和圆C的位置关系. 练习: 点P(-4,3)和圆 的位置关系是() A.P在圆内B.P在圆外C.P在圆上D.以上都不对 2.如何判断直线与圆的位置关系? 例题2: 当a(a>0)取何值时,直线x+y-2a+1=0与圆x2+y2-2ax+2y+a2-a+1=0相切,相离,相交? 练习: 圆和3x-4y=9的位置关系是() A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心 3、直线与圆的交点弦长: 例题3: 已知圆的方程是x2+y2=2,它截直线y=x+1所得的弦长是 4、如何判断圆与圆的位置关系? 例题4: 圆C1: x2+y2-6y=0和圆C2: x2+y2-8x+12=0的位置关系如何? 5、求圆的方程的常用方法: 例5: (1).一个圆经过点P(2,-1),和直线x-y=1相切,并且圆心在直线y=-2x上,求这个圆的方程. (2).已知两点A(4,9)和B(6,3)两点,求以AB为直径的圆的方程. 练习: (1).圆C的圆心为(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为2 求圆C的方程. 6、求圆的切线的常见形式: 例6: (1).求过点P(-3,2),与圆x2+y2=13相切的直线方程. (2).求过点P(-5,9),与圆(x+1)2+(y-2)2=13相切的直线方程. (3).设圆的方程x2+y2=13,它与斜率为 的直线l相切,求直线l的方程. 7、求最值问题: 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值; (2)求y-x的最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值. 【课后反思】 【教师寄语】宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来。
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