《勾股定理》培优训练.docx
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《勾股定理》培优训练
《勾股定理》培优训练一
1.如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.
(1)求证:
BF=2AE;
(2)若CD=
,求AD的长.
2.如图,△ABC是边长为3的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到△DCE,连接BD,交AC于F.
(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;
(2)求线段BD的长.
3.联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念.
定义:
到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.
举例:
如图1,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.
应用:
如图2,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=
AB,求∠APB的度数.
探究:
已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长.
(1)连接PA、PB,根据准外心的定义,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系,然后判断出只有情况③是合适的,再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°,然后即可求出∠APB的度数;
(2)先根据勾股定理求出AC的长度,根据准外心的定义,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB三种情况,根据三角形的性质计算即可得解.
4.已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB交AB于点E,且CD=AC,DF∥BC,分别与AB、AC交于点G.
(1)求证:
GE=GF;
(2)若BD=1,求DF的长.
5.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC=CD=10,AB=21,AD=9.求AC的长.
6.已知等边△OAB的边长为a,以AB边上的高OA1为边,按逆时针方向作等边△OA1B1,A1B1与OB相交于点A2.
(1)求线段OA2的长;
(2)若再以OA2为边,按逆时针方向作等边△OA2B2,A2B2与OB1相交于点A3,按此作法进行下去,得到△OA3B3,△OA4B4,…△OAnBn(如图).求△OA6B6的周长.
7.△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°,如图1,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.
8.细心观察下图,认真分析各式,然后解答问题.
(
)2+1=2,S1=
;(
)2+1=3,S2=
;(
)2+1=4,S3=
(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;
(2)推算出OA10的长;
(3)求出S12+S22+S22+…+S102的值.
9.Rt△OAB的斜边AO在x轴的正半轴上,直角顶点B在第四象限内,S△OAB=20,OB:
AB=1:
2,求A、B两点的坐标.
10.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.
(1)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图①,求证:
MN2=AM2+BN2;请你完成证明过程:
(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
11.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到△DCE,连结BD,交AC于F.
(1)猜想BD与DE的位置关系,并证明你的结论;
(2)求△BDE的面积S.
12.已知∠ABC=90°,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连接QE并延长交BP于点F.
(1)如图1,若AB=2
,点A、E、P恰好在一条直线上时,求此时EF的长(直接写出结果);
(2)如图2,当点P为射线BC上任意一点时,猜想EF与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产生新的线段),并加以证明;(3)若AB=2
,设BP=4,求QF的长.
13.四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B和∠D都是直角.
(1)求证:
BC=CD.
(2)若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”,其余条件不变,猜想:
BC边和邻边CD的长度是否一定相等?
请证明你的结论.
(3)探究:
在
(2)的情况下,如果再限制∠BAD=60°,那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么确定的数量关系?
需说明理由.
14.在△ABC中,∠A=2∠B,且∠A=60°.求证:
a2=b(b+c)
15.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=AB=4,BC=7,点E在BC边上,将△CDE沿DE折叠,点C恰好落在AB边上的点C'处.
(1)求∠C'DE的度数;
(2)求△C'DE的面积.
16.在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,∠ADC=60°,AB=2,BC=11,求:
(1)CD的长.
(2)四边形ABCD的面积.
17.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边BC上.
(1)如图1,如果AM=AN,求证:
BM=CN;
(2)如图2,如果M、N是边BC上任意两点,并满足∠MAN=45°,那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立?
如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
18.已知在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点在边BC上,BF⊥AC分别交射线DA、射线CA于点E、F,若BD=4,∠BAD=45°.
(1)如图:
若∠BAC是锐角,则点F在边AC上,①求证:
△BDE≌△ADC;②若DC=3,求AE的长;
(2)若∠BAC是钝角,AE=1,求AC的长.
19.如图,△ABC是一个边长为1的等边三角形,BB1是△ABC的高,B1B2是△ABB1的高,B2B3是△AB1B2的高,B3B4是△AB2B3的高,…Bn-1Bn是△ABn-2Bn-1的高
(1)求BB1的长;
(2)填空:
B1B2的长为,B2B3的长为;
(3)根据
(1)、
(2)的计算结果,猜想写出Bn-1Bn的值(用含n的代数式表示,n为正整数).
20.如图,△ABD、△CBD都是等边三角形,DE、BF分别是△ABD的两条高,DE、BF交于点G.
(1)求∠BGD的度数;
(2)连接CG,①求证:
BG+DG=CG;②求
的值.
21.
(1)如图1,在△ABC中,BC=3,AC=4,AB=5.D为AB边上一点,且△ACD与△BCD的周长相等,则AD=.
(2)如图2,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB2=BC2+AC2.E为BC边上一点,且△ABE与△ACE的周长相等;F为AC边上一点,且△ABF与△BCF的周长相等,求CE•CF(用含a,b的式子表示).
22.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF、DC分别交于点G、H,∠ABE=∠CBE.
(1)求证:
BH=AC;
(2)求证:
BG2-GE2=EA2.
23.如图,等边△ABC和等边△DEC,CE和AC重合,CE=
AB.
(1)求证:
AD=BE;
(2)若CE绕点C顺时针旋转30°,连BD交AC于点G,取AB的中点F边FG.求证:
BE=2FG.
24.在讨论问题:
“如图1,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD,请问:
BD、AB、BC三边满足什么关系”时,某同学在图中作△ACE≌△DCB,连接BE得图2,然后指出三边的关系为BD2=AB2+BC2.他的判断是否正确?
请说明理由.
26.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,DE、DF分别交AC于E,交BC于F,且DE⊥DF.
(1)如果CA=CB,求证:
AE2+BF2=EF2;
(2)如图2,如果CA<CB,
(1)中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
27.已知:
△ABC中,AB<BC,AC的中点为M,MN⊥AC交∠ABC的角平分线于N.
(1)如图1,若∠ABC=60°,求证:
BA+BC=
BN;
(2)如图2,若∠ABC=120°,则BA、BC、BN之间满足什么关系式,并对你得出的结论给予证明.
(1)连接AN、CN,过点N作NE⊥AB于点E,NF⊥BC于点F,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AN=NC,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NF,然后利用“HL”证明Rt△ANE和Rt△CNF全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=CF,然后求出BA+BC=2BF,在Rt△BNF中,利用∠NBF的余弦值列式整理即可得证;
(2)连接AN、CN,在BC上截取BE=AB,然后利用“边角边”证明△ABN和△ABE全等,根据全等三角形对应边相等可得NA=NE,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得NA=NC,从而得到NE=NC,过点N作NF⊥BC于点F,根据等腰三角形三线合一的性质可得EF=
EC,然后表示出BF,在Rt△BFN中,利用∠NBF的余弦值列式整理即可得解.
28.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,BC=2
,点D在BC所在的直线上运动,作∠ADE=45°(A,D,E按逆时针方向).如图1,若点D在线段BC上运动,DE交AC于E.
(1)求证:
∠1=∠2.
(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
※(3)如图2,若点D在BC的延长线上运动,DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E′,是否存在点D,使△ADE′是等腰三角形?
若存在,写出所有点D的位置;若不存在,请简要说明理由.
(1)求出∠B=45°,根据三角形外角性质得出∠1+∠B=∠ADC=45°+∠2,求出即可.
(2)分为三种情况,①DE=AE,②AD=AE,③AD=DE,根据等腰三角形性质(等腰三角形两边相等),三角形全等推出即可.(3)存在,条件是CD=AC,求出∠DE′A=∠CAD=22.5°,根据CD=CA可得∠CAD=∠ADC,∠ADE=45°可根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠CAD;再根据∠CAD+∠E′=∠ADE可得∠CAD=∠E′.存在,当D在BC延长线上,且CD=CA时,△ADE′是等腰三角形,理由是:
∵∠ACB=45°,∴∠ADB<45°,∴∠EDB<90°,∴∠BDE′永远是钝角,∴∠ADE′是钝角,即∠ADE′只能为等腰△ADE′的顶角,∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′,又∵CD=CA,∴∠CAD=∠CDA=22.5°,∴∠EDC=67.5°,∴∠DE′C=∠EDC-∠DCE′=22.5°,∴∠CAD=∠CE′D,∴DA=DE′,∴△ADE′是等腰三角形.
29.如图,△ABC是等边三角形,过点C作CD⊥CB交∠CBA的外角平分线于点D,连接AD,过点C作∠BCE=∠BAD,交AB的延长线于点E.
(1)求证:
BD=BE;
(2)若CD=4,求AD的长.
30.已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如图1,若AB=AE,∠DAC=∠EAB=60°,则∠BFC=;
(2)如图2,若∠ABC=30°,△ACD是等边三角形,BC=4,AB=3.求BD的长;
(3)如图3,若∠ACD为锐角,作AH⊥BC于H,当BD2=4AH2+BC2时,判定∠DAC与∠ABC的数量关系,并证明你的结论.
(3)∠DAC=2∠ABC成立,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC.并取BE的中点K,连接AK,仿照
(2)利用旋转法证明△EAC≌△BAD,利用内角和定理证明结论.∠DAC=2∠ABC成立,以下证明:
过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC.并取BE的中点K,连接AK.∵AH⊥BC于H,∴∠AHC=90°.∵BE∥AH,∴∠EBC=90°.∵∠EBC=90°,BE=2AH,∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2.∵BD2=4AH2+BC2,∴EC=BD.∵K为BE的中点,BE=2AH,∴BK=AH.∵BK∥AH,∴四边形AKBH为平行四边形.又∵∠EBC=90°,∴四边形AKBH为矩形.∴∠AKB=90°.∴AK是BE的垂直平分线.∴AB=AE.∵AB=AE,EC=BD,AC=AD,
∴△EAC≌△BAD.∴∠EAC=∠BAD.∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD.即∠EAB=∠DAC.∵∠EBC=90°,∠ABC为锐角,∴∠ABC=90°-∠EBA.∵AB=AE,∴∠EBA=∠BEA.∴∠EAB=180°-2∠EBA.∴∠EAB=2∠ABC.∴∠DAC=2∠ABC.
31.某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出:
“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题.首先定义了一个新的概念:
如图
(1)△ABC中,M是BC的中点,P是射线MA上的点,设
=k,若∠BPC=90°,则称k为勾股比.
(1)如图
(1),过B、C分别作中线AM的垂线,垂足为E、D.求证:
CD=BE.
(2)①如图
(2),当=1,且AB=AC时,AB2+AC2=BC2(填一个恰当的数).
②如图
(1),当k=1,△ABC为锐角三角形,且AB≠AC时,①中的结论还成立吗?
若成立,请写出证明过程;若不成立,也请说明理由;
③对任意锐角或钝角三角形,如图
(1)、(3),请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可).
32.在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,点E在DC的延长线上,AE交BC边于点F,且AE=AB.
(1)如图1,求证:
∠B=∠E:
(2)如图2,在
(1)的条件下,在BC上取一点M,使BM=CE,连接AM,过M作MH⊥AE于H,连接CH,若∠BAE=∠EHC=60°,CF=2,求线段AH的长.
33.如图,在直角坐标系中,点B坐标为(-4,0),点C与点B关于原点O对称,点A为y轴上一动点,其坐标为(0,k),BE,CD分别为△ABC中AC,AB边上的高,垂足分别为E,D.
(1)当k=-3时,求AB的长;
(2)试说明△DOE是等腰三角形;(3)k取何值时,△DOE是等边三角形?
(直接写出k的值即可)
34.如图,已知△ABC中,BC=AC=8厘米,∠C=90°,如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动,同时,点Q在线段BC上由C点向B点运动,运动速度与点P的运动速度相等,点M是AB的中点.
(1)在点P和点Q运动过程中,△APM与△CQM是否保持全等,请说明理由;
(2)在点P和点Q运动过程中,四边形PMQC的面积是否变化?
若变化说明理由;若不变,求出这个四边形的面积;
(3)线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系,写出这个关系,并加以证明.
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