《数学建模》上机指导书数学信科.docx
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《数学建模》上机指导书数学信科
《数学建模》上机指导书
曾繁慧编著
辽宁工程技术大学
理学院
数学模型概论
应用数学学科的一项重要任务是从自然科学、社会科学、工程技术以及现代化管理中提出问题和解决问题.这就要求我们学会如何将实际问题经过分析、简化,转化为一个数学问题,然后用适当的数学方法去解决.在这个过程中,如何将所考察的实际问题转化为一个相应的数学问题,即建立该实际问题的数学模型,是重要的一步.
一、数学模型的概念和分类
1、模型的概念
模型是客观事物的一种简化的表示和体现.模型可分为实物模型(形象)和抽象模型,抽象模型又可分为模拟模型和数学模型.
2、数学模型的概念
以解决某个现实问题为目的,经过分析简化,从中抽象、归结出来的数学问题就是该问题的数学模型,这个过程称为数学建模.
3、数学模型的分类
按照建模所用的数学方法的不同,可分为:
初等模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等.
按照数学模型应用领域的不同,可分为:
人口模型、交通模型、经济预测模型、金融模型、环境模型、生态模型、企业管理模型、城镇规划模型等等.
按照人们对建模机理的了解程度的不同可分为:
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型.
按照模型的表现特性可分为:
确定性模型与随机模型、静态模型与动态模型、离散模型与连续模型.
二、数学建模的方法与步骤
1、数学建模的方法
机理分析法:
根据人们对现实对象的了解和已有的知识、经验等,分析研究对象中各变量(因素)之间的因果关系,找出反映其内部机理的规律的一类方法.
测试分析法:
当人们对研究对象的机理不清楚时,可以把研究对象视为一个“黑箱”系统,对系统的输入输出进行观测,并以这些实测数据为基础进行统计分析来建立模型,这样的一类方法称为测试分析法.
综合分析法:
对于某些实际问题,人们常将上述两种建模方法结合起来使用,例如用机理分析法确定模型结构,再用测试分析法确定其中的参数,这类方法称为综合分析法.
2、数学建模的一般步骤
(1)建模准备:
对实际问题调查研究,收集与研究问题有关的信息、资料,查阅有关的文献资料,明确问题的背景和特征,确定它可能属于哪类模型等.总之,做好建模准备工作,明确所要研究解决的问题和建模要达到的主要目的.
(2)分析与简化:
对所研究的问题和收集的信息资料进行分析,并根据建模的目的抓住主要的因素,忽略次要的因素,即对实际问题作一些必要的简化,用精确的语言作出必要的简化假设.这一步需经过多次反复才能完成.
(3)模型构成:
在前述工作的基础上,根据所作的假设,分析研究对象的因果关系,用数学语言加以刻划,就可得到所研究问题的数学描述,即构成所研究问题的数学模型.
(4)模型求解:
选择合适的数学方法求解经上述步骤得到的模型.一般地,模型的解析解很难求得,常常应用数值方法得到它的数值解.当现有的数学方法不能很好解决所归结的数学问题时,就需要针对数学模型的特点,对现有的方法进行改进或提出新的方法以适应需要.
(5)模型的评价与改进:
数学模型总是在不断地分析、检验、评价中,不断地进行改进和完善的.评价一个数学模型优劣的标准是:
模型是否便于求解;模型及其解能否反映现实问题,满足解决实际问题的需要.
(6)模型应用:
把经过多次反复改进的模型及其解应用于实际系统,看能否达到预期的目的.
Matlab平台简介
Matlab名字由MATrix和LABoratory两词的前三个字母组合而成.那是20世纪七十年代后期的事:
时任美国新墨西哥大学计算机科学系主任的CleveMoler教授出于减轻学生编程负担的动机,为学生设计了一组调用LINPACK和EISPACK库程序的“通俗易用”的接口,此即用FORTRAN编写的萌芽状态的Matlab.经几年的校际流传,在Little的推动下,由Little、Moler、SteveBangert合作,于1984年成立了MathWorks公司,并把Matlab正式推向市场.从这时起,MATLAB的内核采用C语言编写,而且除原有的数值计算能力外,还新增了数据图视功能.Matlab以商品形式出现后,仅短短几年,就以其良好的开放性和运行的可靠性,使原先控制领域里的封闭式软件包(如英国的UMIST,瑞典的LUND和SIMNON,德国的KEDDC)纷纷淘汰,而改以Matlab为平台加以重建.在时间进入20世纪九十年代的时候,Matlab已经成为国际控制界公认的标准计算软件.到九十年代初期,在国际上30几个数学类科技应用软件中,Matlab在数值计算方面独占鳌头,而Mathematica和Maple则分居符号计算软件的前两名.Mathcad因其提供计算、图形、文字处理的统一环境而深受中学生欢迎.
在欧美大学里,诸如应用代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、模拟与数字通信、时间序列分析、动态系统仿真等课程的教科书都把Matlab作为内容.Matlab是攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本工具.在国际学术界,Matlab已经被确认为准确、可靠的科学计算标准软件.在许多国际一流学术刊物上,(尤其是信息科学刊物),都可以看到Matlab的应用.在设计研究单位和工业部门,Matlab被认作进行高效研究、开发的首选软件工具.如美国NationalInstruments公司信号测量、分析软件LabVIEW,Cadence公司信号和通信分析设计软件SPW等,或者直接建筑在Matlab之上,或者以Matlab为主要支撑.又如HP公司的VXI硬件,TM公司的DSP,Gage公司的各种硬卡、仪器等都接受Matlab的支持.
Matlab的一些功能如下:
Matlab拥有世界一流水平的数值计算函数库.Matlab自问世起,就抱定一个宗旨:
其所有数值计算算法都必须是国际公认的、最先进的、可靠算法;其程序由世界一流专家编制,并经高度优化;而执行算法的指令形式则必须简单、易读易用.Matlab正是仰赖这些高质量的数值计算函数赢得了声誉.Matlab数值计算函数库的另一个特点是其内容的基础性和通用性.它正由于这一特点,而适应了诸如自动控制、信号处理、动力工程、电力系统等应用学科的需要,并进而开发出一系列应用工具包.
Matlab的图形可视能力在所有数学软件中是首屈一指的.Matlab的图形系统有高层和低层两个部分组成.高层指令友善、简便;低层指令细腻、丰富、灵活.一般说来,不管二元函数多么复杂,它的三维图形,仅需10条左右指令,就能得到富于感染力的表现.数据和函数的图形可视手段包括:
线的勾画、色图使用、浓谈处理、视角选择、透视和裁剪.Matlab有比较完备的图形标识指令,可标注:
图名、轴名、解释文字和绘画图例.
Matlab的图形用户界面(GUI)以其友好性和直观易懂性在软件编程上被广泛使用.开发一个GUI程序的过程主要有:
布局好图形用户界面对象和给这个图形用户界面编写代码.具体的开发步骤:
GUI界面的设计和布局、GUI的编程、菜单的设计和布局以及菜单的编程.
Matlab的控制仿真功能SIMULINK.这是一个交互式操作的动态系统建模、仿真、分析集成环境.它的出现使人们有可能考虑许多以前不得不做简化假设的非线性因素、随机因素,从而大大提高了人们对非线性、随机动态系统的认知能力.Matlab开发了与外部进行直接数据交换的组件,打通了Matlab进行实时数据分析、处理和硬件开发的道路.
Matlab的符号计算工具箱.1993年MathWorks公司从加拿大滑铁卢大学购得Maple的使用权,以Maple为“引擎”开发了SymbolicMathToolbox1.0.MathWorks公司此举加快结束了国际上数值计算、符号计算孰优孰劣的长期争论,促成了两种计算的互补发展新时代.
Matlab的Notebook功能.MathWorks公司瞄准应用范围最广的Word,运用DDE和OLE,实现了Matlab与Word的无缝连接,从而为专业科技工作者创造了融科学计算、图形可视、文字处理于一体的高水准环境.
影像处理也是Matlab最主要的特色与功能之一.影像是指经过摄影而获得的像.影像处理的科学定义是:
使用计算机将数字影像信息进行数字化,并进一步予以分析、加强、编码、解译、分割、辨识、复原、强化、缩放、着色等及与之相关的技术.事实上Matlab几乎可以设计与处理所有的影像处理方面的问题.它不但可以生成各种各样的影像,而且处理起来具有更高的理论层次水平.比如对一幅影像它可以取出该影像的外缘,而舍弃其它部分不要,它还可以对该影像进行傅立叶分析与处理把影像处理在频域内进行.
数字信号的处理.Matlab对数字信号进行基本处理,包括进行快速傅立叶变换、求信号的功率谱和滤波等,从被处理的信号中获得我们想要的信息.
Matlab的神经网络功能.神经网络这门学科是受了人脑这部高度智能、发达的“机器”的启发,而逐渐发展起来的一门前沿技术科学.神经网络的优势在于它的学习性和自动调整性,所以非常适合于处理非线性的问题.它被广泛应用于各行各业上,例如语音识别、实时语言翻译、目标的跟踪和识别、工业方面的过程控制等等.神经网络无论是工业应用还是科学研究都是一个有力的工具,有着巨大的潜力.它的应用主要是偏重于特征的提取、过程的控制和状态的预测.
实验1离散数据拟合模型
一、实验名称:
离散数据拟合模型.
二、实验目的:
掌握离散数据拟合模型的建模方法,并会利用Matlab作数据拟合、数值计算与误差分析.
三、实验题目:
1928年,美国经济学家C.Cobb和P.Douglas在他们关于1899年至1922年美国经济增长的研究报告中提出了生产函数模型
.他们使用美国政府的经济数据(见表),以1899年为基准,1899年的Q(产值),K(投资),L(劳动力)都设为100,其他年份的数据表示成1899年数据的百分数,用最小二乘法拟合出生产函数模型中的待定参数c和α.
年份
1899
1900
1901
1902
1903
1904
1905
1906
1907
1908
1909
1910
Q
100
101
112
122
124
122
143
152
151
126
155
159
K
100
107
114
122
131
138
149
163
176
185
198
208
L
100
105
110
117
122
121
125
134
140
123
143
147
年份
1911
1912
1913
1914
1915
1916
1917
1918
1919
1920
1921
1922
Q
153
177
184
169
189
225
227
223
218
231
179
240
K
216
226
236
244
266
298
335
366
387
407
417
431
L
148
155
156
152
156
183
198
201
196
194
146
161
四、实验要求:
1、请用Matlab统计工具箱的函数nlinfit计算生产函数的数据拟合问题,要求写出程序,给出拟合参数和误差平方和的计算结果,并展示拟合效果图;
y=@(c,w,t)c.*K^w.*l^(1-w);
t=1899:
1922;
q=[100101112122124122143152151126155159153177184169189225227223218231179240];
k=[100107114122131138149163176185198208216226236244266298335366387407417431];
>>l=[100105110117122121125134140123143147148155156152156183198201196194146161];
2、通过变量替换,可以将属于非线性模型的生产函数转化成线性模型,并用Matlab函数polyfit进行计算,请说明转化成线性模型的详细过程,然后写出程序,给出拟合参数和误差平方和的计算结果,并展示拟合效果图.
3、请分析生产函数模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别?
原因是什么?
五、实验内容:
实验2非线性拟合模型
一、实验名称:
离散数据的非线性拟合模型.
二、实验目的:
掌握离散数据非线性拟合模型的建模方法,并会利用Matlab作非线性拟合、数值计算与误差分析.
三、实验题目:
已知美国人口统计数据如表,完成下列数据的拟合问题:
年份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
人口/百万人
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
38.6
50.2
62.9
年份
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
人口/百万人
76.0
92.0
106.5
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
251.4
281.4
四、实验要求:
1、如果用指数增长模型
模拟美国人口1790年至2000年的变化过程,请用Matlab统计工具箱的函数nlinfit计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题:
(1)取定x0=3.9,t0=1790,拟合待定参数r;
(2)取定t0=1790,拟合待定参数x0和r;
(3)拟合待定参数t0,x0和r.要求写出程序,给出拟合参数和误差平方和的计算结果,并展示误差平方和最小的拟合效果图.
2、通过变量替换,可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型,并用Matlab函数polyfit进行计算,请说明转化成线性模型的详细过程,然后写出程序,给出拟合参数和误差平方和的计算结果,并展示拟合效果图.
3、请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别?
原因是什么?
4、如果用阻滞增长模型
模拟美国人口1790年至2000年的变化过程,请用Matlab统计工具箱的函数nlinfit计算阻滞增长的以下三个数据拟合问题:
(1)取定x0=3.9,t0=1790,拟合待定参数r和N;
(2)取定t0=1790,拟合待定参数x0,r和N;
(3)拟合待定参数t0,x0,r和N.要求写出程序,给出拟合参数和误差平方和的计算结果,并展示误差平方和最小的拟合效果图.
五、实验内容:
实验3汽车刹车距离模型
一、实验名称:
汽车刹车距离模型.
二、实验目的:
掌握机理分析建模、测试分析建模方法,会利用Matlab数据拟合以及模型分析.
三、实验题目:
司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车,从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距离称为刹车距离,车速越快,刹车距离越长.
四、实验要求:
1、刹车距离与车速之间数量关系:
刹车距离=反应距离+制动距离,即d=d1+d2.利用书中数据拟合模型
;画图分析模型的拟合效果.
2、在道路行驶的汽车保持足够安全的前后车距非常重要,“一车长度准则”:
车速每增加10mph,前后车距应增加一个车身的长度.利用刹车距离模型,对这个准则建模并画图分析其安全性.
3、“两秒准则”:
后车司机从前车经过某一标志开始,默数2秒之后到达同一标志,而不管车速如何.利用刹车距离模型,对这个准则建模并画图分析其安全性.进而分析“三秒准则”、“四秒准则”等,你有没有更好的建议?
五、实验内容:
实验4差分方程模型
一、实验名称:
差分方程模型.
二、实验目的:
掌握差分方程模型的建模方法,理解平衡点,会作稳定性分析.
三、实验题目:
某地区有一种山猫,在较好、中等及较差的自然环境下,年平均增长率分别为1.68%,0.55%和-4.5%.
四、实验要求:
该地区在初始时刻有100只山猫,按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势:
1、描述山猫在较好、中等及较差三种自然环境下25年的变化过程,计算结果要列表并画图;说明每种自然环境下山猫数量是否趋于稳定?
2、如果每年捕获3只,画图描述山猫数量的变化过程,并说明山猫会灭绝吗?
如果每年捕获1只,画图描述山猫数量的变化过程,并说明山猫会灭绝吗?
3、在较差的自然环境下,如果要使山猫数量稳定在60只左右,每年要人工繁殖多少只?
画图描述山猫数量的变化过程.
五、实验内容:
实验5酵母培养物的离散阻滞增长模型
一、实验名称:
酵母培养物的离散阻滞增长模型.
二、实验目的:
掌握酵母培养物的阻滞增长差分方程模型的分析与建模方法,并会利用Matlab作数值计算与误差分析.
三、实验题目:
已知从测量酵母培养物增长的实验收集的数据如表:
时刻/h
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
生物量/g
9.6
18.3
29.0
47.2
71.1
119.1
174.6
257.3
350.7
441.0
时刻/h
10
11
12
13
14
15
16
17
18
生物量/g
513.3
559.7
594.8
629.4
640.8
651.1
655.9
659.6
661.8
四、实验要求:
1、作图分析酵母培养物的增长数据、增长率、与相对增长率.
2、建立酵母培养物的增长模型.
3、利用线性拟合估计模型参数,并进行模型检验,展示模型拟合与预测效果图.
4、利用非线性拟合估计模型参数,并进行模型检验,展示模型拟合与预测效果图.
5、请分析两个模型的区别,作出模型的评价.
五、实验内容:
实验6人口增长差分方程模型
一、实验名称:
人口增长差分方程模型.
二、实验目的:
通过离散的阻滞增长模型理解并掌握差分方程建模及分析方法,并会利用Matlab作数值计算与误差分析.
三、实验题目:
已知美国人口统计数据如表:
年份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
人口/百万人
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
38.6
50.2
62.9
年份
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
人口/百万人
76.0
92.0
106.5
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
251.4
281.4
四、实验要求:
1、若美国人口的年增长率随人口数量变化为线性递减函数,建立人口增长模型,预报2010年和2020年的美国人口,并进行模型检验,展示模型拟合与预测效果图.
2、若美国人口的年增长率随人口数量变化为指数衰减函数,建立人口增长模型,预报2010年和2020年的美国人口,并进行模型检验,展示模型拟合与预测效果图.
3、请分析两个模型的结果有何区别,作出模型的评价.
五、实验内容:
实验7单个种群的自然增长常微分方程
一、实验名称:
单个种群的自然增长常微分方程.
二、实验目的:
掌握单个种群的自然增长常微分方程模型的建模方法,并会利用Matlab作数值计算与误差分析.
三、实验题目:
已知美国人口统计数据如表:
年份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
人口/百万人
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
38.6
50.2
62.9
年份
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
人口/百万人
76.0
92.0
106.5
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
251.4
281.4
四、实验要求:
1、分析美国人口的年增长率,建立人口长期预报增长模型,预报2010年和2020年的美国人口,并进行模型检验,展示模型拟合与预测效果图.
2、分析美国人口的年增长率,建立人口短期预报增长模型,预报2010年和2020年的美国人口,并进行模型检验,展示模型拟合与预测效果图.
3、请分析两个模型的结果有何区别,作出模型的评价.
五、实验内容:
实验8单个种群的阻滞增长常微分方程
一、实验名称:
单个种群的阻滞增长常微分方程.
二、实验目的:
掌握单个种群的阻滞增长常微分方程模型的建模方法,并会利用Matlab作数值计算与误差分析.
三、实验题目:
已知美国人口统计数据如表:
年份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
人口/百万人
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
38.6
50.2
62.9
年份
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
人口/百万人
76.0
92.0
106.5
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
251.4
281.4
四、实验要求:
1、分析美国人口的年增长率,建立人口长期预报增长模型,预报2010年和2020年的美国人口,并进行模型检验,展示模型拟合与预测效果图.
2、分析美国人口的年增长率,建立人口短期预报增长模型,预报2010年和2020年的美国人口,并进行模型检验,展示模型拟合与预测效果图.
3、请分析两个模型的结果有何区别,作出模型的评价.
五、实验内容:
实验9酵母培养物增长的常微分方程模型
一、实验名称:
酵母培养物增长的常微分方程模型.
二、实验目的:
掌握酵母培养物的阻滞增长常微分方程模型的建模方法,并会利用Matlab作数值计算与误差分析.
三、实验题目:
已知从测量酵母培养物增长的实验收集的数据如表:
时刻/h
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
生物量/g
9.6
18.3
29.0
47.2
71.1
119.1
174.6
257.3
350.7
441.0
时刻/h
10
11
12
13
14
15
16
17
18
生物量/g
513.3
559.7
594.8
629.4
640.8
651.1
655.9
659.6
661.8
四、实验要求:
1、作图分析酵母培养物的增长数据、增长率、与相对增长率.
2、建立酵母培养物的阻滞增长常微分方程模型.
3、利用Matlab数值计算常微分
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