专题22直角三角形.docx
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专题22直角三角形
中考专题复习22 直角三角形
考点1.含30°直角三角形的性质
例1如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DE=1,BC=( )
A.
B.2 C.3 D.
+2
【点拨】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
如果∠A=30°,则∠B=60°;BC:
AC:
AB=1:
:
2.也可用解直角三角形方法求解.
根据角平分线的性质即可求得CD的长,然后在直角△BDE中,根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半,即可求得BD的长,则BC即可求得.
【解答】∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE=1,又∵直角△BDE中,∠B=30°,∴BD=2DE=2,∴BC=CD+BD=1+2=3.
故选C.
【对点练习】
1.
2.(2016西宁)如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA于点D,PC=4,则PD= .
3.如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于点D.若AC=6cm,则AD= ____ cm.
4.(2016·四川南充)如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为( )
A.1B.2C.
D.1+
考点2直角三角形斜边中线等于斜边一半
例2
【点拨】
与直角三角形斜边中线性质定理相关的结论:
①△ABC中,如果AD=BD=CD,那么∠ABC=90°;
②△ABC中,∠ABC=90°,如果AD=BD,那么AD=CD.
【对点练习】
1.(2016·湖州市)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径作弧,相交于点E,F,过点E,F作直线EF,交AB于点D,连结CD,则CD的长是 .
2.(2016·随州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=
BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN= .
3.
4.(2015届山东省青岛市李沧区中考一模)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是.
考点3勾股定理
例3
【点拨】
【对点练习】
1.
2.
例4(2016十堰)如图,将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠,使点C刚好落在线段AD上,且折痕分别与边BC,AD相交,设折叠后点C,D的对应点分别为点G,H,折痕分别与边BC,AD相交于点E,F.若AB=3,BC=9,求线段CE的取值范围.
【点拨】用勾股定理列方程是解决折叠问题最有效方法.
如图1,当F与D重合时,CE取最小值.由折叠的性质得CD=DG,∠CDE=∠GDE=45°,推出四边形CEGD是正方形,根据正方形的性质即可得到CE=CD=AB=3;如图2,当G与A重合时,CE取最大值,由折叠的性质得AE=CE,根据勾股定理即可得到结论.
图1图2
解:
如图1,当F与D重合时,CE取最小值,
由折叠的性质得CD=DG,∠CDE=∠GDE=45°,
∵∠ECD=90°,
∴∠DEC=45°=∠CDE,
∴CE=CD=DG,
∵DG∥CE,
∴四边形CEGD是正方形,
∴CE=CD=AB=3;
如图2,当G与A重合时,CE取最大值,
由折叠的性质得AE=CE,
∵∠B=90°,
∴AE2=AB2+BE2,即CE2=32+(9﹣CE)2,
∴CE=5,
∴线段CE的取值范围3≤CE≤5.
【对点练习】
1.
2.
例5(2014·荆州)如图,已知圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为( )
A.4
dmB.2
dmC.2
dmD.4
dm
【点拨】要求金属丝的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,根据勾股定理计算即可.
【解答】如图,把圆柱的侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.
∵圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,
∴AB=2dm,BC=BC′=2dm,
∴AC2=22+22=4+4=8,∴AC=2
dm,
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4
dm.
故选A.
【点评】本题考查了平面展开图的最短路径问题,圆柱的侧面展开图是一个矩形,此矩形的长等于圆柱底面周长,高等于圆柱的高,本题就是把圆柱的侧面展开成矩形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决.
【对点练习】
1.
2.
3.
4.
1.(2016·陕西)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为( )
A.7B.8C.9D.10
2.(2016·湖北荆门)如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为( )
A.5B.6C.8D.10
3.(2014·十堰)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF的中点,∠ACD=2∠ACB.若DG=3,EC=1,则DE的长为( )
A.2
B.
C.2
D.
4.
5.
6.(2014·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,DE垂直平分AC,垂足为O,AD∥BC,且AB=3,BC=4,则AD的长为________.
7.如图,折叠长方形的一边AD,点D恰好落在BC边上的点F处.已知AB=8cm,BC=10cm,则EC=________cm.
8.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3cm,BC=5cm,则重叠部分△DEF的面积是________cm2.
9.如图,P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBQ重合,若PB=3,则PQ的长为________.
10.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为________.
11.
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=3.点D是BC边上一动点(不与点B,C重合),过点D作DE⊥BC交AB边于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处,当△AEF为直角三角形时,BD的长为________.
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′,A′C′交AB于点E.若AD=BE,则△A′DE的面积是________.
14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1.过点C作CC1⊥AB于C1,过点C1作C1C2⊥AC于C2,过点C2作C2C3⊥AB于C3,…,按此作法进行下去,则ACn=________.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
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