学而思初二数学秋季班第7讲期中复习提高班教师版.docx
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学而思初二数学秋季班第7讲期中复习提高班教师版
期中复习
7
题型一:
轴对称
【例1】
⑴如图,把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD,那么下列说法错误的是( )
A.△EBD是等腰三角形,EB=ED
B.折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C.折叠后得到的图形是轴对称图形
D.△EBA和△EDC一定是全等三角形
【解析】∵ABCD为矩形
∴∠A=∠C=90°,AB=CD
∵∠AEB=∠CED
∴△AEB≌△CED(第四个正确)
∴BE=DE(第一个正确)
∠ABE=∠CDE(第二个不正确)
∵△EBA≌△EDC,△EBD是等腰三角形
∴过E作BD边的中垂线,即是图形的对称轴.(第三个正确)
故选B.
⑵将一个矩形纸片依次按图①、图②的方式对折,然后沿图③中的虚线裁剪,最后将图④的纸再展开铺平,所得到的图案是( )
【解析】A
【例2】如图,A为马厩,B为帐篷,牧马人某天要从马厩牵出马,先到草地边的某一处牧马,再到河边饮水,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线.作出图形并说明理由.
【解析】沿AC-CD-DB路线走是最短的路线如图
(1)所示:
证明:
在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连接FR、BR、RT、ET、AT,
∵A、E关于ON对称,
∴AC=EC,
同理BD=FD,FR=BR,AT=ET,
∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,
AT+TR+BR=ET+TR+FR,
∵ET+TR+FR>EF,
∴AC+CD+DB<AT+TR+BR,
即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线.
题型二:
全等三角形
典题精练
【例3】如图,在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连接AD、AG.
请你确定△ADG的形状,并证明你的结论.
【解析】连接DG,则△ADG是等腰三角形.
∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高,
∴∠AFC=∠AEB=90°
∴∠ACG=∠DBA
又∵BD=CA,AB=GC,
∴△ABD≌△GCA;
∴AG=AD,
∴△ADG是等腰三角形.
【例4】△ABC中,∠CAB=∠CBA=50°,O为△ABC内一点,∠OAB=10°,∠OBC=20°,求∠OCA的度数.
【解析】作CD⊥AB于D,延长BO交CD于P,连接PA,
∵∠CAB=∠CBA=50°,
∴AC=BC,
∴AD=BD,
∵∠CAB=∠CBA=50°,
∴∠ACB=80°,
∵∠ABC=∠ACB=50°,∠OBC=20°,
∴∠CBP=∠OBC=20°=∠CAP,
∠PAO=∠CAB-∠CAP-∠OAB=50°-20°-10°=20°=∠CAP,
∠POA=∠OBA+∠OAB=10°+50°-20°=40°=∠ACD,
∵在△CAP和△OAP中,
∠ACP=∠AOP,∠CAP=∠OAP
∴△CAP≌△OAP,
∴AC=OA,
∴∠ACO=∠AOC,
∴∠OCA=
(180°-∠CAO)
=
[180°-(∠CAB-∠OAB)]=
(180°-40°)=70°.
【例5】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
⑴如图1,连接EC,求证:
△EBC是等边三角形;
⑵点M是线段CD上的一点(不与点C、D重合),以BM为一边,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形,并直接写出MD,DG与AD之间的数量关系;
⑶如图3,点N是线段AD上的一点,以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延长线于点G.试探究ND,DG与AD数量之间的关系,并说明理由.
【解析】⑴在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,BC=
AB.
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠DBA=∠A=30°.
∴DA=DB.
∵DE⊥AB于点E.
∴AE=BE=
AB.
∴BC=BE.
∴△EBC是等边三角形;
⑵结论:
AD=DG+DM.
证明:
如图2所示:
延长ED使得DN=DM,连接MN,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,
∴∠ADE=∠BDE=60°,AD=BD,
又∵DM=DN,
∴△NDM是等边三角形,
∴MN=DM,
在△NGM和△DBM中,
∵∠N=∠MDB,MN=DM,∠NMC=∠DMB
∴△NGM≌△DBM,
∴BD=NG=DG+DM,
∴AD=DG+DM.
⑶结论:
AD=DG-DN.
证明:
延长BD至H,使得DH=DN.
由⑴得DA=DB,∠A=30°.
∵DE⊥AB于点E.
∴∠2=∠3=60°.
∴∠4=∠5=60°.
∴△NDH是等边三角形.
∴NH=ND,∠H=∠6=60°.
∴∠H=∠2.
∵∠BNG=60°,
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7.
即∠DNG=∠HNB.
在△DNG和△HNB中,
∵DN=HN,∠DNG=∠HNB,∠H=∠2
∴△DNG≌△HNB(ASA).
∴DG=HB.
∵HB=HD+DB=ND+AD,
∴DG=ND+AD.
∴AD=DG-ND.
题型三:
因式分解
典题精练
【例6】已知四个实数a、b、c、d,且a≠b,c≠d.满足:
a2+ac=4,b2+bc=4,c2+ac=8,d2+ad=8.
⑴求a+c的值;
⑵分别求a、b、c、d的值.
【解析】⑴由(a2+ac)+(c2+ac)=4+8=12,得(a+c)2=a2+c2+2ac=12,
∴a+c=
⑵由(a2+ac)-(b2+bc)=4-4=0,(c2+ac)-(d2+ad)=8-8=0,
得(a-b)(a+b+c)=0,(c-d)(a+c+d)=0,
∵a≠b,c≠d,
∴a+b+c=0,a+c+d=0,
∴b=d=-(a+c),
又(a2+ac)-(c2+ac)=4-8=-4,得(a-c)(a+c)=-4.
当a+c=
时,a-c=
,解得:
a=
,c=
,b=d=
;
当a+c=
时,a-c=
,解得:
a=
,c=
,b=d=
.
【例7】设a1=32
12,a2=52
32,…,an=
(n为大于0的自然数).
⑴探究an是否为8的倍数,并用文字语言表述你所获得的结论;
⑵若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数”.试找出a1,a2,…,an,…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数,并指出当n满足什么条件时,an为完全平方数(不必说明理由).
【解析】⑴∵an=(2n+1)2-(2n-1)2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n,
又∵n为非零的自然数,
∴an是8的倍数.
这个结论用文字语言表述为:
两个连续奇数的平方差是8的倍数
⑵这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16,64,144,256.
n为一个完全平方数的2倍时,an为完全平方数.
思维拓展训练(选讲)
训练1.阅读理解
如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分;…;将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角.
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.
情形一:
如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;
情形二:
如图3,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.
探究发现
⑴△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角?
(回答“是”或“不是”).
⑵小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系.根据以上内容猜想:
若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为.
应用提升
⑶小丽找到一个三角形,三个角分别为15°、60°、105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.
请你完成,如果一个三角形的最小角是4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
【解析】⑴△ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是△ABC的好角;
理由如下:
小丽展示的情形二中,如图3,
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠,
∴∠B=∠AA1B1;
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合,
∴∠A1B1C=∠C;
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C,
∴∠B=2∠C,∠BAC是△ABC的好角.
故答案是:
是;
⑵∠B=3∠C;
如图所示,在△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠,点B2与点C重合,则∠BAC是△ABC的好角.
证明如下:
∵根据折叠的性质知,∠B=∠AA1B1,∠C=∠A2B2C,∠A1B1C=∠A1A2B2,
∴根据三角形的外角定理知,∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C;
∵根据四边形的外角定理知,∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°,
根据三角形ABC的内角和定理知,∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠B=3∠C;
由小丽展示的情形一知,当∠B=∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
由小丽展示的情形二知,当∠B=2∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
由小丽展示的情形三知,当∠B=3∠C时,∠BAC是△ABC的好角;
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C;
⑶由⑵知设∠A=4°,∵∠C是好角,∴∠B=4n°;
∵∠A是好角,∴∠C=m∠B=4mn°,其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180
∴如果一个三角形的最小角是4°,三角形另外两个角的度数是4、172;8、168;16、160;44、132;88°、88°.
训练2.一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:
如图,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC,于点O,点PD分别在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于点E,
求证:
△BPO≌△PDE.
⑴理清思路,完成解答⑵本题证明的思路可用下列框图表示:
根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程.
⑵特殊位置,证明结论
若PB平分∠ABO,其余条件不变.求证:
AP=CD.
【解析】⑴证明:
∵PB=PD,
∴∠2=∠PBD,
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠C=45°,
∵BO⊥AC,
∴∠1=45°,
∴∠1=∠C=45°,
∵∠3=∠PBC-∠1,∠4=∠2-∠C,
∴∠3=∠4,
∵BO⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BOP=∠PED=90°,
在△BPO和△PDE中
∵∠3=∠4,∠BOP=∠PED,BP=PD
∴△BPO≌△PDE(AAS);
⑵证明:
由⑴可得:
∠3=∠4,
∵BP平分∠ABO,
∴∠ABP=∠3,
∴∠ABP=∠4,
在△ABP和△CPD中
∵∠A=∠C,∠ABP=∠4,PB=PD
∴△ABP≌△CPD(AAS),
∴AP=CD.
训练3.因式分解
⑴
⑵
⑶
⑷
【解析】⑴
⑵
⑶
⑷
训练4.按下面规则扩充新数:
已有a和b两个数,可按规则c=ab+a+b扩充一个新数,而a,b,c三个数中任取两数,按规则又可扩充一个新数,…,每扩充一个新数叫做一次操作.现有数2和3.
⑴求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数;
⑵能否通过上述规则扩充得到新数5183?
并说明理由.
【解析】⑴∵a=2,b=3,
c1=ab+a+b=6+2+3=11,
∴取3和11,
∴c2=3×11+3+11=47,
取11与47,
∴c3=11×47+11+47=575,
∴扩充的最大新数575;
⑵5183可以扩充得到.
∵c=ab+a+b=(a+1)(b+1)-1,
∴c+1=(a+1)(b+1),
取数a、c可得新数
d=(a+1)(c+1)-1=(a+1)(b+1)(a+1)-1,
即d+1=(a+1)2(b+1),
同理可得e=(b+1)(c+1)=(b+1)(a+1)(b+1)-1,
∴e+1=(b+1)2(a+1),
设扩充后的新数为x,
则总可以表示为x+1=(a+1)m•(b+1)n,(式中m、n为整数)
当a=2,b=3时,x+1=3m×4n,
又∵5183+1=5184=34×43,
故5183可以通过上述规则扩充得到.
复习巩固
题型一轴对称巩固练习
【练习1】如图1,两个等边△ABD,△CBD的边长均为1,将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置,得到图2,则阴影部分的周长为2.
【解析】∵两个等边△ABD,△CBD的边长均为1,将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置,
∴A′M=A′N=MN,MO=DM=DO,OD′=D′E=OE,EG=EC=GC,B′G=RG=RB′,
∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2;
故答案为:
2.
题型二全等三角形巩固练习
【练习2】在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,若使点D恰好落在BC上,则线段AP的长是( )
A.4B.5C.6D.8
【解析】∵∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD,∠A=∠POD=60°,
∴∠APO=∠COD.
在△APO和△COD中,
∵∠A=∠C,∠APO=∠COD,OP=OD
∴△APO≌△COD(AAS),
∴AP=CO,
∵CO=AC-AO=6,
∴AP=6.
故选C.
【练习3】如图⑴,BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连接FG,延长AF、AG,与直线BC相交于M、N.
⑴试说明:
FG=
(AB+BC+AC);
⑵①如图⑵,BD、CE分别是△ABC的内角平分线;②如图⑶,BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线.
则在图⑵、图⑶两种情况下,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并对其中的一种情况说明理由.
【解析】⑴证明:
∵AF⊥BD,∠ABF=∠MBF,
∴∠BAF=∠BMF,
∴MB=AB,
∴AF=MF,
同理可说明:
CN=AC,AG=NG
∴FG是△AMN的中位线,
∴FG=
MN=
(MB+BC+CN)=
(AB+BC+AC)
⑵图⑵中,FG=
(AB+AC-BC)
图⑶中,FG=
(AC+BC-AB)
①如图⑵,延长AF、AG,与直线BC相交于M、N,
由⑴中可知,MB=AB,AF=MF,CN=AC,AG=NG,
∴FG=
MN=
(BM+CN-BC)=
(AB+AC-BC),
②如图⑶延长AF、AG,与直线BC相交于M、N,
同样由⑴中可知,MB=AB,AF=MF,CN=AC,AG=NG,
∴FG=
MN=
(CN+BC-BM)=
(AC+BC-AB)
题型三因式分解巩固练习
【练习4】分解因式:
.
1【解析】原式=(x2+y2)2-2x2y2+(x2+2xy+y2)2-2,
=(x2+y2)2-2x2y2+(x2+y2)2+4xy(x2+y2)+4x2y2-2,
=2(x2+y2)2+2x2y2+4xy(x2+y2)-2,
=2[(x2+y2)2+x2y2+2xy(x2+y2)-1],
=2[(x2+xy+y2)2-1],
=2(x2+xy+y2-1)(x2+xy+y2+1).
【练习5】图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
⑴图②中的阴影部分的面积为;
⑵观察图②请你写出三个代数式
、
、mn之间的等量关系是;
⑶若x+y=7,xy=10,则
;
⑷实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.
如图③,它表示了.
⑸试画出一个几何图形,使它的面积能表示
.
【解析】
(1)阴影部分的边长为(m-n),阴影部分的面积为(m-n)2;
(2)(m+n)2-(m-n)2=4mn;
(3)(x-y)2=(x+y)2-4xy=72-40=9;
(4)(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2;
(5)答案不唯一:
例如:
.
第十五种品格:
创新
成功往往就藏在你没注意的地方
有一家电台请来了一位商业奇才做嘉宾主持。
很多人想听听他成功的方法。
他却淡淡一笑,说:
“还是我出道题考考你们吧!
”
“某处发现了金矿,人们一窝蜂地涌了过去,然而一条河挡住了他们的去路。
这时,如果是你,你将怎么办?
”
有人说绕道走,也有人说游过去。
嘉宾只笑不说话,过了很久他才说:
“为什么非要去淘金呢?
不如买船从事运送淘金者的营生。
”
众人愕然。
是啊,那种情形下,即便你将那些淘金者宰得身无分文,他们也心甘情愿呀--因为过去就是金矿!
成功往往就隐藏在别人没有注意的地方,假如你能发现它,抓住它,利用它,那么,你就会有机会获得成功。
敢于创新,变换思维去想问题,会得到意想不到的惊喜。
今天我学到了
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