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数形结合论文翻译文章
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勾股定理不是
,或者一个古老的数学定理的证明
勾股定理是一个古老的数学定理,它一直占据着重要位置,即使现在它仍然是灵感的源泉。
在本文中我们尝试给出一个有前途的新的证明方法,我们的结果会更加直观。
关键词:
勾股定理几何变换欧几里得几何学
最古老的数学定理之一—勾股定理指出:
直角三角形斜边(直角所对的边)所画正方形的面积等于另外两条边(直角边)所画正方形的面积的和。
就是
。
如果我们分别用a,b,c表示三角形三遍的长度。
卢米斯收集了数百种勾股定理的证明,并将其分类。
马奥尔追溯了勾股定理的演变以及它对数学和我们的文化的影响。
网络上包含了约93种勾股定理的证明。
我们的目标是通过一种新方法给出证明,准确的说是定理的另一类型。
定理1:
如果在简单的直角三角形中勾股定理成立,那么在任意直角三角形中都成立。
当然我们必须给出证明说明我们的假设是正确的。
这就涉及到几何变换的属性,我们将用到:
在给定的方向上收缩或拉伸欧几里得平面(见图1)。
图1.转换
让我们假设T是这样一个收缩/拉伸系数为a的转变。
我们可以认为这种转化为在三维空间内平面之间的平行投影的效果,如图2所示。
图2.拉伸和收缩
转换T明显具有的性质:
·转换T通过系数a收缩/拉伸一个平面图形的面积,如果P是一个平面图形,那么
·它与不相交的图形的面积的可加性是兼容的,如果P,Q是两个不相交的图形,那么
·它保留了以下森斯的填充率:
让P是面积为A的正多边形,并修复他的边缘L。
让我们假设T把它转换为面积为aA的多边形Q=T(P),并假设图形L转换为K。
然后将填充率定义为
与多边形边的长度和收缩/拉伸方向无关(见图3)。
图3.不变性
现在让我们考虑一个直角三角形的两条直角边的长度为a和b。
由勾股定理断言该性质是均匀的对于三角形边的长度,因此我们可以选择我们喜欢的计量单位。
现在让我们来考虑图4的设置,也就是规则的正方形的平面排列。
我们将选择测量单位为蓝色的正方形(1区)的长度。
是有原因的,将是明确的很快。
图4.特殊情况
很明显的两个较小的正方形的面积之和恰好是第三个正方形的面积,因此勾股定理在这种特殊情况下成立。
现在让我们应用下面的转换。
·按系数a水平收缩,见图5。
图5.水平收缩
·在水平切高x,将高度为1-x的区域的等价形式添加到另一边,根据图6,我们得到
这里y不是一个参数,是x的函数。
图6.割补
·按系数b垂直拉伸,见图7。
图7.垂直拉伸
·面积的合适不变的,所以
对于任意x都成立。
·通过两次变换,大正方形的面积变为
·我们可以假设选择a,b到第三条边长度为s的三角形中,所以
·因此,s一边的正方形的填充率为
·现在同样的填充率对两个小的正方形是有效的,分别在a,b边,因此我们可以计算x。
首先我们设置x,使得所得到的矩形是相似的。
我们有x的条件:
·这个等式给出
现在以a和b为边的矩形是相似的。
其边长的公比是
,
这是共同的填充率(小于1)的两个较小的正方形的面积总和改变,第三个正方形面积也改变。
·经由收缩系数a和拉伸系数b,所有的面积都被系数a,b改变,正如我们看到的,所以有
因此
这一方程简单的意味着勾股定理在任意直角三角形中都有效。
If1+1=2thenthePythagoreantheoremholds,oronemoreproofoftheoldesttheoremofmathematics
ABSTRACT
ThePythagoreantheoremisoneoftheoldesttheoremsofmathematics.Itgainedduringthetimeacentralpositionandeventodayitcontinuestobeasourceofinspiration.Inthisnotewetrytogiveaproofwhichisbasedonahopefullynewapproach.Ourtreatmentwillbeasintuitiveasitcanbe.
Keywords:
Pythagoreantheorem,geometrictransformation,Euclideangeometry
Oneoftheoldesttheoremsofmathematics–thePythagoreantheorem–statesthattheareaofthesquaredrawnonthehypotenuse(thesideoppositetherightangle)ofarightangledtriangle,isequaltothesumoftheareasofthesquaresconstructedontheothertwosides,(thecatheti).Thatis,
,ifwedenotethelengthofthesidesofthetrianglebya,b,crespectively.
Loomiscollectedseveralhundredsofdifferentproofsofthistheorem,andclassifiedthemincategories.MaortracestheevolutionofthePythagoreantheoremanditsimpactonmathematicsandonourcultureingeneral.Theinternetpagecontainsacollectionof93approachestoprovingthetheorem.
Ouraimistogiveaproofbyanewapproach,morepreciselyatheoremofthenexttype.
Theorem1.IfthePythagoreantheoremholdsinonesinglerightangledtriangle,thenitholdsinanyrightangledtriangle!
Ofcoursewemuststarttheproofbygivingsomefactsweassumetobetrue.Thesewillberelatedtothepropertiesofageometrictransformationwhichwewilluse:
theshrinkingorstretchingtheEuclideanplanebyafactorinagivendirection(seefigure1).
Figure1.Thetransformation
LetusassumeTissuchatransformationhavingaastheshrinking/stretchingfactor.Wecanthinkofsuchatransformationasaneffectofparallelprojectionbetweenplanesinthethree-dimensionalspace,likeinfigure2.
Figure2.Strechingandshrinking
ThetransformationTobviouslyhastheproperties:
•Tshrinks/stretchestheareaofaplanefigurebythefactora,thatisifPisaplanefigure,then
Area(T(P))=a·Area(P).
•Itiscompatiblewiththeadditivityofareasofdisjointfigures,thatisifP,Qaretwodisjointfiguresthen
Area(T(P∪Q))=Area(T(P))+Area(T(Q)).
•Itpreservesthefillingratiointhefollowingsens:
letPbearegularpolygonwithareaA,andfixanedgeLofit.LetussupposeTtransformsitinapolygonQ=T(P)withareaaA,andsupposetheimageofLisK.Thenthefillingratiodefinedas
isindependenttothelengthofpolygon’ssideandtheshrinking/stretchingdirection(seefigure3).
Figure3.Theinvariance
Letusconsidernowarightangledtrianglehavingthelengthofthetwocathetiaandb.ThepropertyassertedbythePythagoreantheoremishomogeneousinthelengthofthetriangleedges,sowecanchoosethemeasurementunitaswelike.
Nowletusconsiderthesetupofthefigure4,i.e.aregularsquaretilingoftheplane.Wewillchoosethemeasurementunitasthelengthofabluesquare(ofarea1),forareasonwhichwillbeclearsoon.
Figure4.Thespecialcase
Itisobviousthatthesumoftheareasofthetwosmallersquaresisexactlytheareaofthethirdsquare,sothePythagoreantheoremholdsinthisspecialcase.
Letusnowapplythefollowingtransformations.
•Shrinkhorizontallybythefactora,seefigure5.
Figure5.Shrinkhorizontally
•Cutatthelevelx,andjointhepieceofheight1−xinanareaequivalentformtotheotherside,accordingtofigure6,sowehave
.
Bythisyisnotaparameter,itisafunctionofx.
Figure6.Cutandjoin
•Stretchverticallybythefactorb,seefigure7.
Figure7.Stretchvertically
•Thesumofareasispreserved,so
whichistrueforallx.
•Bythetwotransformationstheareaofthebigsquarechangesto
•Wecanassumea,barechosensotohavethethirdsideofthetrianglethesamelengths,so
•Consequently,thefillingratiocountedforthesquareofsidesis
•Nowthesamefillingratioisvalidforthetwosmallsquares,ofsidesaandbrespectively,sonowwecancomputex.Wefirstsetthevalueofthexsuchthattheresultingrectanglesbesimilar.Wehavetheconditionforx:
•Thisequalitygives
.
Nowtherectanglesofthebaseaandbaresimilar.Thecommonratiooftheirsidelengthis
Andthisisthecommonfillingratio(smallerthan1)bywhichthesumoftheareaofthetwosmallersquaresischangedandalsotheareaofthethirdsquare,too.
•Bytheshrinkingfactoraandstretchingfactorballtheareaarechangedbythefactorabaswehaveseenalready,sowehave
Andconsequently
.
ThislastequationsimplymeansthatthePythagoreantheoremisvalidinanyrightangledtriangle.
外文原文出处:
ScientificBulletinofthePetruMaiorUniversityofTarguMures.2013,Vol.10Issue1.
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