九年级圆与相似三角函数结合二.docx
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九年级圆与相似三角函数结合二
圆与相似.三角函数结合
(二)
1、已知:
P为00外一点,PA、分别切00于A.B两点,点C为0(?
±一点。
(1)如图1,若AC为直径,求证:
0P//BC;
12
(2)如图2,若sinZP=—,求tanZC的值。
知识点一圆与直角三角形斜边中线
【知识梳理】
如图:
R仏ABC中,Zz4BC=9O°,以AB为直径作0O交AC于D,基本结论有:
(1)DE切OOOE是BC的中点:
(2)若DE切00,贝IJ:
①DE=BE=CE;②D、0.B、E四点共圆=>ZCED=2ZA:
RBDBA
图形特殊化:
在
(1)的条件下
如图2:
DE//AB<^>AABC.△CDE是等腰直角三角形:
如图3:
若DE的延长线交AB的延长线于点F,若AB=BF,贝I」:
①DE:
EF=1:
3:
②BE:
R=l:
迈
【例题精讲】
例1、如图,AB是00的直径,点C为圆上一点,且ZBAC=30°,M是线段OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且ZECF=ZE。
(1)求证:
CF是00的切线;
(2)设0O的半径为1,且AC=CE,求EC和MO的长。
【课堂练习】
如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,N是线段BC上一点(不与B.C重合),过N作AB的垂线交AB于M,交AC的延长线于E,过C点作半圆0的切线交EM于F。
(1)求证:
△ACO^ANCF:
(2)若NC:
CF=3:
2,求sinB的值。
0MB
例2.如图,A是以BC为直径的OO±一点,AD丄BC于点D.过点B作G>0的切线,与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF•与CB的延长线相交于点P。
(1)求证:
BF=EF;
(2)求证:
PA是OO的切线;
(3)若FG=BF,且OO的半径长为3血,求BD和FG的长度。
【课堂练习】
如图D为RtAABC斜边AB上一点,以CD为直径的圆分別交△ABC三边于E,F,G三点,连接FE,
FGo
(1)求证:
ZEFG=ZB;
(2)若AC=2BC=4的.D为AE的中点,求FG的长。
知识点二圆与等腰三角形结合
【知识梳理】
如图,AABC中,AB=AC,以AB为直径作00,交BC于点D,交AC于点F,基本结论有:
(1)DE丄ACODE切00;
(2)在DE丄AC或DE切下,有:
①ADFC是等腰三角形:
②EF=EC:
③D是弧BF的中点。
【例题精讲】
例1.如图,AABC中,AB=AC.以AB为直径的0O分别交AC、BC于点D、F,连接BD交OF于点
Eu
(1)求证:
OF丄BD:
(2)若AB=?
DF=—,求AD的长。
22
【课堂练习】
如图,AABC中,AB=AC,以AC为直径的00与AB相交于点E,点F是BE的中点。
<1)求证:
DF是00的切线;
(2)若AE=14,BC=12,求BF的长。
例2.如图,2\ABC内接于0O,AB=AC,D任劣弧AC上,ZABD=45%
(1)如图1,BD交AC于E,连CD,若AB=BD,求证:
CD=V2DE
(2)如图2,连接AD、CD,已知tanZCAD=l,求sinZBDC。
图1
图2
【课堂练习】
在QO中,AB为直径,PC为弦,且PA=PC“
(1)如图1,求证:
OP/7BC:
(2)如图2,DE切0O于点C,DE〃AB・求tanZA的值。
知识点三圆与直角梯形结合
【知识梳理】
以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于E,基本结论有:
图1
②ZCOD二ZAEB90。
:
(1)如图1:
①AD・BC=CD:
③0D平分ZADC(或0C平分ZBCD);
(注:
在
①、②、③及④“CD是00的切线”四个论断中,知一推三)
®ad =r: : 4 (2)如图2,连AE.CO,则有: C0/7AE,C0*AE=2R=(与基本图形2重合) (3)如图3,若EF丄AB于F,交AC于G,贝ij: EG二FG・ 【例题精讲】 例1-直角梯形ABCD中,ZBCD=90%AB=AD+BC.AB为直径的圆交BC于E,连OC、BD交于F・ (1)求证: CD为00的切线 (2)若 BE3 BF ~DF 的值 【课堂练习】 1.如图.RtAABC中,ZC=90°,BD平分ZABC>以AB上一点0为圆心过B、D两点作00,00交AB于点一点E,EF丄AC于点F. (1)求证: O0与AC相切; (2)若EF二3,BO1,求tanZA的值. 2、如图,AB是00的直径,BC丄AB,过点C作00的切线CE,点D是CE延长线上一点,连结AD,且AD+BC二CD. (1)求证: AD是©0的切线; (2)设0E交AC于F,若0F二3,EF二2,求线段BC的长. 1、如图,等腰直角△ABC内接于0O,D为OO上一点,连接AD.BD、CD. (1)如图1,点D在半圆BC±时,求证: BD+CD=V2AD; (2)如图2,点D在劣弧AB上时,直接写出BD.CD、AD间的数量关系 2、如图.AB是00的直径,C、P是弧AB上两点,AB=13・AC=5° (1)如图 (1),若点P是<AB的中点,求PB的长; DFS (2)如图 (2),过点P作PD丄BC于点E,交AB于点D,若——=-,求PC的长。 图⑴图⑵ K如图•在平行四边形ABCD中,AB丄AC,以点A为圆心,AB为半径的圆交BC于点E。 (1)求证: DE为OA的切线; (2)如果BE=4,CE=2,求DE的值。 2、如图,已知以RtAABC的斜边AB为直径作AABC的外接圆OO,ZABC的平分线BE交AC于D,交0O于E,过E作EF〃AC交BA的延长线于F。 (1)求证: EF是€)0切线: (1)若EF=8,tanZAEF丄求CD的长。 2 3、如图,在AABC中,ZABC=90°,以AB的中点O为圆心,0A为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE。 (1)判断DE与00的位置关系,并说明理由;
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