机械振动大作业简支梁的各情况分析.docx
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机械振动大作业简支梁的各情况分析
机械振动大作业
姓名:
徐强
学号:
SX1302106
专业:
航空宇航推进理论与工程
能源与动力学院
2013年12月
简支梁的振动特性分析
题目:
针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型,计算其固有频率、固有振型。
单、双、三自由度模型要求理论解;十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、
矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频;连续体要求推导理论解,并通过有限元软件进行数值计算。
解答:
一、单自由度简支梁的振动特性
如图1,正方形截面(取5mM5mm的简支梁,跨长为l=1m,质量m沿杆长均匀分布,将其简化为单自由度模型,忽略阻尼,则运动微分方程为mXkx0,固有频率3n=f吕,其中k为等效刚度,meq为等效质量。
因此,求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有
频率
引起的变形为y(x)-旦(3I24x2)(0x-),ymax-旦为最大挠48EI248EI
度,则:
keq=F=^^
梁本身的最大动能为:
max=2Xy(X)2dX=2(15m)ymax
20I235
如果用meq表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小,它的最
大动能可表示为:
所以质量为m的简支梁,等效到中间位置的全部质量为:
17
35
故单自由度简支梁横向振动的固有频率为:
—等效质量m一一
图1简支梁的单自由度模型
双自由度简支梁的振动特性
如图2,将简支梁简化为双自由度模型,仍假设在简支梁中间位置作用载荷,根据对称性,等效质量相等,因此只要求出在1/3处的等效质量即可。
在1/6至1/2之间积分,利用最大动能进行质量等效,略
去小量得:
8
meq
m
25
所以,质量矩阵为:
8m10
m
2501
双自由度简支梁的柔度矩阵:
在b=2l/3处作用单位力'挠曲线方程为:
y(x)一盘12x2b2)则1/3
处的变形为:
a127
I3
,同理可求:
a217,ana228,其中1。
486EI
所以,柔度矩阵为:
87a
78
动力矩阵:
D8m87
2578
令特征行列式为零,得到频率方程为:
解上述方程的根为:
第一、二阶主振型分别为:
n=_
12
图2简支梁的双自由度模型
三、三自由度简支梁的振动特性
如图3,将简支梁简化为三自由度模型,按照双自由度类似的等效思
1
0
0
m
m—
0
1
0
4
0
0
1
由机械振动中文教材例6.6可知,系统的柔度矩阵为
9
11
7
.3
a
11
16
11
其中,
l3
。
768EI
7
11
9
动力矩阵:
9
11
7
D—11
16
11
7119
令特征行列式为零,得到频率方程为:
其中,A,将上式整理得:
19a
11a
7a
11a
116a
11a
7a
11a
19a
0其中,a
2m
o
4
利用Matlab软件,求解上述方程的根为:
由式(J
(i)
D)X
0,i1,2,3
(i)
X1(i)
其中X
(i)
X2>
分别将1、2、
3代入上式,
得
(i)
X3
第一、一、
二阶主
振型分别为:
(1)
1
(2)1
(3)
1
XX1⑴
2,
Xx12)0,
XX1⑴
-'2
1
-1
1
图3简支梁的三自由度模型
四、十自由度简支梁的数值方法
将简支梁简化为十自由度模型(如图4)。
1
图4简支梁的十自由度模型
通过在一点施加单位力,计算其余点的挠度,可得柔度矩阵:
3
a
y,其中-
y为挠度变形矩阵,如表
6EI
1。
0.0137
0.0240
0.0306
0.0339
0.0344
0.0324
0.0284
0.0227
0.0158
0.0081
0.0240
0.0443
0.0579
0.0650
0.0664
0.0628
0.0552
0.0443
0.0309
0.0158
0.0306
0.0579
0.0787
0.0904
0.0934
0.0891
0.0787
0.0633
0.0443
0.0227
0.0339
0.0650
0.0904
0.1071
0.1131
0.1093
0.0973
0.0787
0.0552
0.0284
0.0344
0.0664
0.0934
0.1131
0.1229
0.1212
0.1093
0.0891
0.0628
0.0324
0.0324
0.0628
0.0891
0.1093
0.1212
0.1229
0.1131
0.0934
0.0664
0.0344
0.0284
0.0552
0.0787
0.0973
0.1093
0.1131
0.1071
0.0904
0.0650
0.0339
0.0227
0.0443
0.0633
0.0787
0.0891
0.0934
0.0904
0.0787
0.0579
0.0306
0.0158
0.0309
0.0443
0.0552
0.0628
0.0664
0.0650
0.0579
0.0443
0.0240
0.0081
0.0158
0.0227
0.0284
0.0324
0.0344
0.0339
0.0306
0.0240
0.0137
表1十自由度挠度变形矩阵
y
十自由度简支梁为十个集中质量的振动模型,每个质量都近似等于1m,因此,质量矩阵为:
11
10
1000
m0100
m
11000
0001
动力矩阵为:
m
Dy
11
F面,用如下几种方法计算十自由度简支梁的固有频率与振型。
1、邓克莱法
利用邓克莱法求基频(比准确值小)
1
-2a11lTl1玄22口2annmn
1
因此’将柔度矩阵主对角线上各元素相加并乘以和,可求得:
1mi;第
2、瑞利法
(1)瑞利第一商
柔度矩阵求逆得刚度矩阵:
313
其中,z矩阵见表2。
103103
kyz,
2.0433
-1.9003
0.7778
-0.2649
0.1647
0.0356
-0.2817
0.2834
-0.0446
-0.0926
1.9003
2.9228
-2.4675
1.4375
-0.6862
0.0299
0.5193
-0.6226
0.3193
-0.0446
0.7778
-2.4675
3.8387
-3.3468
1.6331
-0.1417
-0.6684
0.8588
-0.6226
0.2834
0.2649
1.4375
-3.3468
4.2339
-2.9123
0.778
0.4309
-0.6684
0.5193
-0.2817
0.1647
-0.6862
1.6331
-2.9123
3.4193
-2.2932
0.778
-0.1417
0.0299
0.0356
0.0356
0.0299
-0.1417
0.778
-2.2932
3.4193
-2.9123
1.6331
-0.6862
0.1647
0.2817
0.5193
-0.6684
0.4309
0.778
-2.9123
4.2339
-3.3468
1.4375
-0.2649
0.2834
-0.6226
0.8588
-0.6684
-0.1417
1.6331
-3.3468
3.8387
-2.4675
0.7778
0.0446
0.3193
-0.6226
0.5193
0.0299
-0.6862
1.4375
-2.4675
2.9228
-1.9003
0.0926
-0.0446
0.2834
-0.2817
0.0356
0.1647
-0.2649
0.7778
-1.9003
2.0433
表2矩阵Z各元素
假设力作用在简支梁中间位置而得到各点的静变形,可以表示
为:
A
11.9332.7333.3313.6633.6633.3312.7331.9331
其中,
l3
o
48EI
.,-一一一,-一,一一,T
因此,可以假设振型:
(2)瑞利第二商
瑞利法中,M代表质量矩阵,K代表刚度矩阵,代表柔度矩阵,A为模态向量。
3、李兹法
1T
1T
将十自由度简支梁缩减为三自由度,假设振型为:
111.92.73.33.73.73.32.71.9
2-1-1.8-2.5-1-0.20.212.51.8
-1-2-10121-1-2-1
则可求出:
广72.96
0
-0.6]
M
t-m
M—
0
23.06
1.2
11
「0.6
1.2
18丿
C0.1279
0
0.1354
T103
K
TK
0
4.3927
-1.2322
〔0.1354
-1.2322
4.2842
由式(K-2M)A0,得:
a10.0017,a20.1415,a?
0.2959
以及:
所以系统的前三阶主振型的近似为:
A⑴A⑴-1.04X11.902.643.173.513.473.122.591.870.98
a
(2)
A
(2)-1.39x11.891.820.53
-0.37
-1.05
-1.04
0.97
0.13
0.12T
a(3)
A(3)-0.28X12.402.02-
211
3.57
5.79
1.197.81
9.48
4.93T
4、矩阵迭代法
单位力作用在简支梁中间位置得到各点的挠度变形,将首项化
一,得:
11.9332.7333.3313.6633.6633.3312.7331.9331丁
其中,
48EI
l3
因此可假设振型:
11.9332.7333.3313.6633.6633.3312.7331.9331
利用矩阵迭代求第一阶固有频率和主振型:
D*甞6966133811'87072'252324503245032'25231'87071'33810.6966T
0.0633m11.92092.68553.23333.51753.51753.23332.68551.92091T
A11.92092.68553.23333.51753.51753.23332.68551.92091T
DA1
m^0.6778
11
1.3018
1.8196
2.1905
2.38282.38282.19051.8196
1.3018
0.6778T
0.0616m1
1.9206
2.6846
3.23183.51553.51553.23182.68461.9206
1T
A
11.9206
2.6846
3.2318
3.5155
3.51553.23182.68461.9206
1T
DA2
m^0.6775
11
1.3013
1.8189
2.1895
2.38182.38182.18951.8189
1.3013
0.6775T
0.0616m1
1.9207
2.6847
3.23183.51553.51553.23182.68471.9207
T
1
A11.9207
2.6847
3.2318
3.5155
3.51553.23182.68471.92071
T
由上,仅3次矩阵迭代后,A3与A2基本相等,因此可以认为系统
的第一阶主振型为:
A⑴11.92072.68473.23183.51553.51553.23182.68471.92071T第
一阶固有频率为:
5、雅可比法
根据雅可比法原理,依次找出上三角非对角线上(考虑对称性)
则:
T
d(45)r?
d?
r
0.0005
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0027
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0003
0
0
0
0
0
0
000.001100.0002
由此得到系统的固有频率:
■16.24[259.4311309.52/4074.07[10000\m\mVm\m\m:
2200006666.67(55000110000(110000
m\m\m\m\m
对应各特征值的特征向量即为振型,即R的列向量为各阶振型
6、子空间迭代法
取假设振型:
1
-1
-1
-1
1.9
-1.8
-2
-2
2.7
-2.5
1
0
3.3
-1
0
1
3.7
-0.2
1
2
3.7
0.2
2
-0.5
3.3
1
1
-1
2.7
2.5
-1
-1.5
1.9
1.8
-2
0.5
1
1
-1
1.5
由动力矩阵迭代得到:
0.2842
0.5460
0.7633
0.9191
1
1
0.9191
0.7633
0.5460
0.2842
-0.5517
-09213
-1
-0.7548
-02802
0.2802
0.7548
1
0.9213
0.5517
0.2219
0.4593
0.7027
0.8979
1
0.9798
0.8341
0.6064
0.3696
0.1679
0.4536
07397
Q8041
0.7835
0.8209
0.9317
1
0.8943
0.6108
0.2822
I
求得Mi和Ki分别为:
Mi
5.6129
0
5.1344
5.6327
0
5.5995
0.2625
0.0721
11
5.1344
0.2625
4.7483
5.0899
5.6327
0.0721
5.0899
5.8041
iTMi
0.0083
0
0.0076
0.0083
„T103
0
0.1324
0.0063
0.0007
KiiKi
0.0076
0.0063
0.0119
0.001
0.0083
0.0007
0.001
0.041
再由李兹法得特征值问题为:
(Ki-2Mi
解出:
所以:
0.285
0.0527
-0.0249
-0.5397
0.5477
0.0679
-0.0244
-0.9033
0.7661
0.0332
0.0048
-0.985
0.9229
-0.0198
0.0311
-0.7463
1.0042
-0.0589
0.0222
-0.2785
1.0042
-0.0607
-0.0147
0.279
0.9229
-0.0196
-0.0367
0.7477
0.7661
0.037
-0.0146
0.9855
0.5477
0.0665
0.0277
0.901
0.285
0.0495
0.0368
0.5365
0.283808
0.776141
-0.67663
-0.54764
0.545409
1
-0.66304
-0.91659
0.762896
0.488954
0.130435
-0.99949
0.91904
-0.29161
0.845109
-0.75728
1
-0.86745
0.603261
-0.2826
1
-0.89396
-0.39946
0.283105
0.91904
-0.28866
-0.99728
0.758701
0.762896
0.544919
-0.39674
1
0.5454090.9793810.7527170.914257
重复上述过程进行第二次迭代。
由:
解出:
归一化后得:
0.284448
0.755814
-0.80769
-0.54976
0.5463
0.988372
-0.65385
-0.91943
0.763698
0.55814
0.307692
-1
0.919362
-0.23256
0.961538
-0.76303
1
-0.81395
0.576923
-0.28436
n
1
-0.81395
-0.38462
0.28673
0.919362
-0.22093
-0.92308
0.763033
0.763698
0.569767
-0.26923
1
0.5463
1
0.846154
0.919431
0.284448
0.744186
1
0.549763
则有:
5.6156
0.3295
0.4168
0.0024
T…
m
0.3295
5.166
0.1758
0.0229
Mn
nM
n
11
0.4168
0.1758
5.2204
0.0837
0.0024
0.0229
0.0837
5.6227
0.0083
0.0009
0.0006
0
T
103
0.0009
0.6107
0.0157
0.0004
心
nK
n
0.0006
0.0157
1.9186
0.0023
0
0.0004
0.0023
0.1328
由:
(Kn-
2Mn)An0
a10.00147,a20.0236,a?
0.1186,0.375
其中
a1
2
1
a
a2
m
2
相应的主振型为:
11
103
2
a3
3
1
-0.0004
0.0581
0.0722
"⑴
-
0.0006
(2)0.0003(3)
0.9983
A(4)0.031
An
A
A
A”
0
-0.0002
0.0017
-0.9968
0
1
0.0043
0.0145
0.284
-0.739
0.8411
-0.5495
0.5457
-0.9578
0.7085
-0.9193
0.7633
-0.5176
-0.2488
-1.0002
0.9195
0.2806
-0.9104
-0.7637
1.0005
0.8685
-0.5323
-0.2851
nAn
1.0005
0.8726
0.4345
0.2862
0.9195
0.2789
0.9907
0.7628
0.7633
-0.5197
0.3556
0.9999
0.5457
-0.9641
-0.7597
0.9193
0.284
-0.7258
-0.9453
0.5496
各列分别归一化后,得:
0.283858
0.766518
0.848996
0.54939
0.545427
0.993465
0.715151
0.919116
0.762919
0.536874
-0.25114
1
0.91904
-0.29105
-0.91895
0.763547
1
-0.90084
-0.5373
0.285043
1
-0.90509
0.438579
-0.28614
0.91904
-0.28929
1
-0.76265
0.762919
0.539052
0.358938
-0.9997
0.545427
1
-0.76683
-0.91912
0.283858
0.752826
-0.95417
-0.54949
进行第三次迭代:
MAn
m
11
0.1926
0.0065
0.0024
0.0233
0.37
0.0086
0.002
0.0389
0.5171
0.0049
-0.0008
0.0424
0.6225
-0.002
-0.0026
0.0323
0.6772
-0.0072
-0.0014
0.0121
0.6772
-0.0072
0.0013
-0.0121
0.6225
-0.002
0.0026
-0.0323
0.51
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