概率统计练习册习题解答定.docx
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概率统计练习册习题解答定
概率统计练习册习题解答(定)
1.选择题
(1)设
生
习题1-1样本空间与随机事件
A,B,C为三个事件,则A,B,C中至少有一个不发
”这一事件可表示为(D)
(A)ABUACUBC(B)AUBUC(C)ABCUABCUABC(D)
AU
BUC
2)设三个元件的寿命分别为T”T2,T3,并联成一个系,则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作,件系统的寿命超过t”可表示为(D)
BTT2T3tCminTi,T2,T3t
2.
随
(事
用集合的形式表示下列随机试验的样本空间机事件A:
解:
=3,4,5,,18;A=11,12,,18
1)同时掷三枚骰子,记录三枚骰子的点数之和,件A表示点数之和大于10”。
O
解:
=簽2,3,-A=^2,3,4,5
2)对目标进行射击,击中后便停止射击,观察射击的次数;事件A表示射击次数不超过5次
o
3)车工生产精密轴干,其长度的规格限是15±
0.3。
现抽查一轴干测量其长度,事件A表示测
量长度与规格的误差不超过0.1。
O
3.设A,B,C为三个事件,用A,B,C的运算关
系表示下列各事件:
(1)A,B,C都发生:
解:
ABC;
(2)A,B,C都不发生:
解:
abc
(3)A发生,B与C不发生:
解:
a§c(或A-B-C);
(4)A,B,C中至少有一个发生:
解:
AuBuC
(5)A,B,C中不多于两个发生:
解:
刁MUJ
4.
设某工人连续生产了4个零件,人表示他生产的
件:
(1)只有一个是次品;
A(A2A3A4uA】A?
A3A4uAtA2A3A4uA!
A2A3A4
(2)至少有一个次品;A-55uA。
(3)
恰好有两个是次品;
AP42A3A4uA]A2J3A4uAjA2A3J4A2A3
A4uJ]J2J3A4 (4)至多有三个不是次品; A,uA2uA? uA40 习题1-2 机事件的概率及计算 1.填空题 (1)已知AuB,P(A)=0.49P(B)=0.69贝||P(A)=_0.6,P(AB)= 0.4, P(JU^)=_0.6,P(AB)=_0.2,P(AB)=09P(AB)= 0.4o (2)设事件/与B互不相容,P(A)=0A9P(B)=0.3,贝! |P(AB)= 0.39P(A\JB)=0.6o 0.3, 0.3。 (3)盒子中有10个球,其中3个红球,接连不放回抽取五次,第一次抽到红球的概率三次抽到红球的概率 4)一批产品由45件正品、5件次品组成,现从中任取3件产品,其中恰有1件次品的概率为 c;c45 3 C50=0.2526。 6 1C126! 13430.7772。 121728 5)某寝室住有6名学生,至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为 P(AB)P(A)P(B) (4)设10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买 3.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求 (1)5只全是好的的概率; (2)5只中有两只坏的的概率; (3)5只中至多有一只坏的概率 C5 C37 p1~5- 解: (1)5=0.6624 PC37C3C37 (3)C0=0.963 4•向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹,炸中第一个 军火库的概率为0.025,炸中其余两个军火库的概率各为0.1。 只要炸中一个另外两个必然爆炸,求军火库发生爆炸的概率。 解: 设A,B,C分别表示击中第一、二、三个军火库爆炸, D表示军火库爆炸, 易知事件A,B,C互不相容,且P(A)0.。 25,P(B)P(C)O.1 贝yP(D)P(A)P(B)P(C)0.0250.10.10.225 5.两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达。 设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1个小时和2个小时。 求有一艘轮船停靠泊位时需要等待的概率。 解: 设x,y分别为甲、乙船到达时刻,甲停靠时间为1 小时,乙停靠时间为2小时,0x,y24 设A“一艘轮船停靠泊位时需要等待” ,则A发生当 且仅当0yx10xy2 22222323139 P(A)10.1206597 242421152 1. (则 习题1-3条件概率 选择题: 1)设A,B为两个相互对立事件,且P(A)0,P(B)0, )。 (B)P(AB)P(A)(C)P(AB) ( (A)p(b|a)0 P(AB)P(A)P(B) (2)已知P(A) D)。 0.3,P(B)0.5,P(AB)0.15,贝(ABC P(BA)P(B)(B)P(BA)P(B)(C)P(AB)P(A)(D) P(AB)P(A) (3)设P(A)0.8,P(B)0.7,P(AB)0.8,则下列结论正确是(C)。 (A)BA; (B P(AB)P(A)P(B); (C)事件A与事件B相互独立; A与事件B对立。 (D) 4)设0P(A)1,0P(B)1,P(AB)P(A|B)1, (A)事件A与B互不相容; A与B对立; (C)事件A与B不相互独立; A与B相互独立。 5)—种零件的加工由两道工序组成,第一道工序的废品率为p,第二道工序的废品率为q,则该零件加工的成品率为(|c) (A)1pq(B)1pq(C)1pqpq p)(1q) 6)对于任意两个事件A和B,以下结论正确的是 )。 (A)若AB,则A.B一定独立。 则a,b有可能独立。 (i (C)若AB-则A,B一定独立 (B) (D) (D) (B)若AB (D)若AB 则A,B—定不独立。 2.填空题: (1)设事件A,B相互独立且互不相容,则min(P(A),P (B)) 已知P(A) 0.1 已知P(A) 0.5,P(AB)0.6,若A、B互不相容,则P(若A、B相互独立,则P(B) 0.5,P(B)0.6,P(BA)0.8, 0.2 ■ P(AB)= 0 .3 B) 某人独立射击三次,其命中率为 多击中一次的概率为_0.104_. (5)对同一目标进行三次独立射击,第一次、第二 次、第三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7。 则三次射击中恰好有一次击中目标的概率亠0.36__。 在10只晶体管中有7只正品,3只次品。 现不放的抽取两次,每次一只,求下列事件的概率。 (1)只都是正品; (2)至少有一只次品;(3)一只是正,一只是次品;(4)第二只是次品;(5)第二次才次品。 0.8,则三次中 3. 回两品是 解: 设Ai表示第i次取出次品,则 P(AA2) P(A1A2)1P(AA2)1 767 10915 768 10915 (3) P(A1A2A1A2) P(A2)P(AiA2 AiA2) 32733 10910910 (5) P(AiA2)737 10930 4•已知甲乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品,从甲箱任取3件放入乙箱,然后再从乙箱中任取一件产品,求该产品为次品的概率。 解设a“从乙箱中取出的是次品”,B“从甲箱中取出的三件中恰有i个次品”「。 ,1,2.3 由全概率公式 P(A)P(B0)P(A|B。 )P(B)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P^RABs) c;0c;c31c3c;23 C3333 66c§6c66c66 5.已知一批产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率是0.02,一个次品被误认为是合格品的概率是0.05,求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率• 解设A“任取一产品,经检查是合格品”, B“任取一产品确是合格品”, 贝ABABA I…一… P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B) P(B|A)P(B)P(A|B)0.960.98 所求概率为P(A)0・9428 6•玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,售货员随意取一箱,顾客开箱随意地察看四只,若无残次品,则买下该箱,否则退回.试求: (1)顾客买下该箱的概率; (2)在顾客买下的一箱中,确无残次品的概率. 解设A“顾客买下该箱”严“箱中恰有i件残次品”, i0,1,2 (1) P(A)P(Bo)P(A|B。 )P(Bi)P(A|Bi)P(B2)P(A|B2) 0.80.1C490.1C480.94 C20C20• P(B0|A)P(AB0)°80.85 (2) P(A)0.94 ■ 7•为防止意外,在矿内同时安装了两种报警系统与B,每种报警系统都使用时,对系统A其有效的概率是0.92,对系统B其有效的概率为0.93,在A效的条件下,B有效的概率为0.85.求: (1)发生意时,这两种报警系统至少有一个有效的概率; (2) 解: 设A“报警系统A有效”B“报警系统B有效” 失灵的条件下,A有效的概率。 B 贝H (1)P(AB)1P(AB)1P(A)P(BA)10.080.150.988 (2)因为: P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.920.930.9880.862 P(AB)鬻拧pPBAB)需0.829 &一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80/81,求该射手的命中率.解设该射手的命中率为p,由题意 804411 1(1P)4(1P)41P 81813 2 所以P3 习题2-1随机变量及其分布函数 1, 1 F (1)limF(x)lim(axb)ba 1 P(X1)F (1)F(10)1iim(axb)1ab 2x1 由上两式知a8'b8 P(2X1)F(10)F (2)lim(axb)ab1 (2)x12 习题2-2离散型随机变量 c3c: 2c3c: 2c3c: 28c31 解: P(X2)—3L—3;P(X3)一34—27: P(X4)3427 C3C42 34 B(5,0.1) (3)某射手对一目标进行射击,直至击中为止,如果次射击命中率都是p,以X 表示射击的次数,则X的分布律为 2 J 3 2 8 26 3 27 27 2 8 1 — 3 27 27 F(x) 2x3, 3x4, 1,x4. 3.设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问 (1)在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多 少? (2)在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少? 解: 设一周内发生交通事故的次数为X,则x~P0.3 0.3203 PX2——e0.0333 (1)2! 。 I03°I P(X1)1P(X0)1—e031e0.30.259⑵0! 。 4.某人购买某种彩票,若已知中奖的概率为0.001,现购买2000张彩票,试求: (1)此人中奖的概率; (2)至少有3张彩票中奖的概率(用泊松分布近似计算)。 解: 设中奖的彩票数为X,则X: 臥2000,。 001). (1) P(X1)1P(X0)1(0.999)20000.8648 (2)由于20000.0012,故 202122 1()e215e20.3233 0! 1! 2! 习题2-3连续型随机变量 1.设连续型随机变量X的密度函数为ax2,0x1, f(x)2x,1x2, 0,其他. 试求: (1)常数a的值; (2)随机变量X的分布函数;(3)吩X2)。 当0x1时, x3s13 F(x)-tdt一x 022・ 132x12 F(x)tdt(2t)dt2xx1 0212• 2.设连续型随机变量x的分布函数为 A(1ex),x0 X0,x0, 试求: (1)系数A; (2)x的密度函数;(3)p(1x3)。 解: (1) 由F( )1知,1 x limF(x)limA(1e)A xxo f(x) l,、e x x0; F(x) (2) 0, x0. (3) P(1 X3)F(3) F (1)1e31e1e1e3 x7o 3.设K在(0,5)内服从均匀分布,求方程4x24KxK2有实根的概率 解: 所求的概率为: P(16K216K20)PK2或K1 PK2PK15丄dx0- 255 4-某种型号的电子管寿命X(以小时计)具有以下概率密度 x1000 其他 1000 f(x)〒, 0, 00 现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立),任取5只,问其中至少有2只寿命大于15小时的概率是多少? P(X 1500) 1000 2 解: Qdx 1500x2 3 o 54 1C50于C5令于135 从而所求概率为 O 5.设连续型随机变量X~N(3,), (1)求 2; (2)确定常数C使 PXCPXC。 解: (1) 0.512.50.6977 1 (2)由于PXcPXc,从而,PXc2。 。 所以, 6.设连续型随机变量X: E(),证明: 对一切实数s P(Xst|Xt)P(Xs)。 证明: 由于X: E(),从而其分布函数为 故,对一切实数s0,t0, (st) 1P(Xst)1F(st)e 1P(Xt)1F(t)et s e1F(s)P(Xs)。 习题2-4二维随机变量及其分布 1. 一箱子装有100件产品,其中一、二、三等品分别为80件,10件,10件。 现从中随机抽取一件, 试求(X-X2)的联合分布列。 P X1 1, X2 1 0;解: P X1 1, X2 0 PX11 80 0.8; 100 10 P X1 0, X2 1 PX21 0.1; 100 P X1 0, X2 0 100.1。 100 试求(X,Y)的联合分布列。 3.完成下列表格 X y2 y3 Pi. X1 01 01 02 04 X2 0.2 0.2 0.2 0.6 Pj 0.3 0.3 0.4 1 4•设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为: 2 f(x,y)x 0 求: (1) cxy,0x1,0y2其他, 常数c; (2)P{XY1};(3)X和丫的边缘密 和Y的边缘密度函数 解: (1)由(X,Y)服从G上的均匀分布知,(X,Y)的联合密度为: 1 £1,0x2,0y1; fx,y2 0,其他。 (2)PYX2002dydx3。 111 Xx—dy— 022。 再求Y的边缘密度函数: fyy fx,ydx 当y0或y1时fyy0・当0y1时 21 yyo2dx1 2。 习题2-5条件分布及随机变量的独立性 1•设二维离散型随机变量(X,Y)只取(0,0),(1,1),(1,2) (2,0)四对值,相应概率依次为右6'1,12 2,试判断随机 变量X与Y是否相互独立。 P(X0)丄,PY0——- 解: 由于1212122 所以,X与Y不独立 2. 3. 设随机变量X与Y相互独立,试完成下表: * y1 y2 y3 Pi. X1 1/24 1/8 1/12 1/4 X2 1/8 3/8 1/4 3/4 p.j 1/6 1/2 1/3 1 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为 1,0x1,0y2x, f(x,y)0,其他. 试判定X与Y是否相互独立。 解.fx(x)f(x,y)dy 解^ 2x当x0或x1时,fx(X)0;当0x1时,fx(x)01dy2x. fY(y)f(x,y)dx ■ 当y0或y2时,fY(y)0;当0y1时,fY(y)yJdx12 由于当(x,y){0x1,0y2x}时,f(x,y)fx(x)fY(y) 且区域{0xhoy2x}的面积不为0,所以,X与Y不相互独立• 4.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为 由X与Y独立知,(X,Y)的一个联合密度为: 0x1,y0; 其他. 1y —e2f(x,y)fx(x)gfY(y)2 0, 方程有实跟的概率为: 1x21_21兰 P(4X24Y0)P(X2Y0)o(o2°切血1oe2dx _1101^2 1_e2dxe2dx) 1( (1)(0))10.4827厂。 1x0, 3・设连续型随机变量X的密度函数为f(x)£,0x2, 0,其他. 试求YX2的密度函数fY(y)。 解: 先求Y的分布函数FyW),在对其求导数. FY(y)P(Yy)P(X2y) ■ 当y0时,FY(y)0,故fY(y)0;当y0时, FY(y)P(、yXy)f(x)dx 1舟 fY(y)Fy(y)-y 8・ 且X,Y的概率分 当&1且T? 2,即4y时,FY(y)1,故fy(y)0 P (2)P(XY2)P(X0,Y2)P(X1,Y1) 5•设随机变量X: U(0,1),Y: E (1)且X与丫相互独立,试求ZX丫的密度函数。 解: 由X: U(0^,Y: Exp (1)知,X与Y的密度函数分别为 又由X与Y相互独立知(X,Y)的一个联合密度函数为 ey,0x1,y0, f(x,y)0,其他. 设zX丫的密度函数为fz(z).由于X与丫相互独立,从而 fz(z)fx(x)fY(zx)dx 0x1, 由fX(x),fY(zx)不等于零的区域知Zx0-所以,当z0时,fz(z)0; 当0z1时,fz⑵1ez;当z1时 (2)设随机变量X: P (2),Y: 数学期望 N(10,2,1,1,0),贝VE(2XYY 5) 3Y3,贝VE(Z) ⑵E(X U(0,6),若Z2X 1); 设X表示空 盒子的个数,求E(X)。 P(X 2) C: (C;C C: ) 44 P(X3) C: 44 256 4! 24 44256 84 256 P(X cCcfg! —44— 144 256 故E(X)12562256325625664。 4.设连续型随机变量x的密度函数为 x,0x1f(x)2x,1x2, 0,其他 求 (1)EX, (2)E|XEX|。 5.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列为 0 1 0 0.3 0.4 1 0.2 0.1 解: (1) (2)E(X2Y)10.4 (2)0.2 (1)0.10.1 E(3XY)3E(XY)310.10.3。 6. (X,Y)服从在A上的均匀分布,其中A为x轴、y所围成的区域,求 (1)E(X);( 设 及直线xy10 轴 2) E(3X2Y);(3)E(XY)。 解: 由题意知(X,Y)的联合密度为: f(x,y)0其他A 001 (1)E(X) xf(x,y)dxdy(2xdy)dx- 1x1Q o ⑵E(3X2Y)3E(X)2E(Y)12E(Y) yf(x,y)dxdy 001 12/1y2ydx)dy3 3o (3)E(XY) 001 xyf(x,y)dxdy=1(1xxyg2dy)dx=12。 习题3-2方差 1.填空题 (1)设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1~U(0,6), (2) X2~N(0,4),X3服从参数为3的泊松分布,则D(Y)46 0.5 D(Y)。 21 F(x)—arctanx,1x1, 2 1, 求 (1)X的密度函数; (2)E(X),D(X)。 4.设随机变量X: P()且E[(X1)(X2)]1,随机变量Y: BQ*) 且X与丫相互独立,试求E(X3Y4)及D(X3Y4)。 1 D(X)1.由于丫叫),故E(Y)4,D(Y)2.所以, E(X3Y4)E(X)3E(Y)415 习题3-3协方差与相关系数 习题3-4其他特征数 1
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