31高考数学导数及其应用怎么考高考二轮复习专题.docx
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31高考数学导数及其应用怎么考高考二轮复习专题
高考数学导数及其应用怎么考
一.设计立意及思路:
导数是高中新课程的新增内容,它既是研究函数性态的有力工具,又是对学生进行理性思维训练的良好素材。
从近几年的高考命题分析,高考对到导数的考查可分为三个层次:
第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景,求导公式和求导法则。
第二层次是导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的增减性等;
第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起,设计综合试题。
正是基于以上的认识,本专题在例题设计上也是逐层递进,而在每一个例题上又注意一题多解和多题一解,并且逐步拓展,使学生能循序渐进的掌握知识和方法,
二.高考考点回顾:
1.考试要求:
(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)。
掌握函数在某一点处的导数的定义和导数的几何意义。
理解导函数的概念。
(2)熟记基本导数公式(c,xm(m为有理数),sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数)。
掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。
了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。
(3)了解可导函数的单调性与其导数的关系。
了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)。
会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
2.近5年全国新课程卷对本章内容的考查情况:
科别
年份
题型
题量
分值
考查内容
文科
2000
解答题
1
14
导数在实际中的应用
2001
解答题
1
12
利用导数求函数的单调区间
2002
解答题
1
12
综合运用导数的几何意义证明不等式
2003
解答题
1
12
利用导数求曲线的切线方程
2004
(浙江卷)
解答题
1
12
求函数导数。
利用导数求最值,解有关单调性问题。
理科
2000
解答题
1
12
导数在实际中的应用
2001
选择、解答题
各1题
5+12
利用导数求函数的极值和证明函数的单调性。
2002
解答题
1
12
综合运用导数的几何意义证明不等式
2003
选择、解答题
各1题
5+12
导数的几何意义,利用导数求函数的单调区间
2004
(浙江卷)
选择、解答题
各1题
5+12
导函数的概念,;利用导数求曲线的切线方程,求函数的最值。
三.基础知识梳理:
1.导数的有关概念。
(1)定义:
函数y=f(x)的导数f/(x),就是当
时,函数的增量
与自变量的增量
的比
的极限,即
。
(2)实际背景:
瞬时速度,加速度,角速度,电流等。
(3)几何意义:
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。
2.求导的方法:
(1)常用的导数公式:
C/=0(C为常数);
(xm)/=mxm-1(m∈Q);
(sinx)/=cosx;
(cosx)/=-sinx;
(ex)/=ex;
(ax)/=axlna
;
.
(2)两个函数的四则运算的导数:
(3)复合函数的导数:
3.导数的运用:
(1)判断函数的单调性。
当函数y=f(x)在某个区域内可导时,如果f/(x)>0,则f(x)为增函数;如果f/(x)<0,则f(x)为减函数。
(2)极大值和极小值。
设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近所有的点,都有f(x)
(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。
四.例题讲解:
例1.
(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义;
(2)若f(x)在R上可导,且f(x)=-f(x),求f/(0)。
(1)解:
如果函数y=f(x)在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比
,当
时有极限,这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。
记作
。
(2)解法一:
∵f(x)=f(-x),则f(△x)=f(-△x)
∴
当
时,有
∴
∴
。
解法二:
∵f(x)=f(-x),两边对x求导,得
∴
∴
。
评析:
本题旨在考查学生对函数在某一点处的定义的掌握。
题
(2)可对其几何意义加以解释:
由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数,它的图象关于y轴对称,因此它在x=x0处的切线关于y轴对称,斜率为互为相反数,点(0,f(0))位于y轴上,且f/(0)存在,故在该点的切线必须平行x轴(当f(0)=0时,与x轴重合),于是有f/(0)=0。
在题
(2)的解二中可指出:
可导的偶函数的导数为奇函数,让学生进一步思考:
可导的奇函数的导函数为偶函数吗?
例2.设f(x)在点x0处可导,a为常数,则
等于()
A.f/(x0)B.2af/(x0)C.af/(x0)D.0
解:
故选(C)
评析:
在例1的基础之上,本题旨在巩固学生对函数在某一点处的导数的定义的掌握。
例3.一汽车以50km/h的速度沿直线驶出,同时,一气球以10km/h的速度离开此车直线上升,求1h后它们彼此分离的速度。
(人教版高三数学教材(选修Ⅱ)第三章复习参考题B组第6题)
解:
以汽车和气球运动方向所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系系(如图),t时刻汽车位于(50t,0)处,气球位于(0,10t)处,
则两汽车和气球的距离
令t=1,
故1h后它们彼此分离的速度为
。
(例3图)
评析:
本题考查学生对导数的某些实际背景的了解,要求学生能熟练运用复合函数的求导法则。
而且考查了学生的画图识图能力,考查了学生用所学数学知识处理实际问题的能力。
2004年全国高考湖北卷(数学理科)第16题就是由本题改编而成。
例4.已知抛物线C:
y=x2+2x,按下列条件求切线方程:
(1)切线过曲线上一点(1,3)。
拓展:
已知抛物线C1:
y=x2+2x和C2:
y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,当a取何值时,C1和C2有且仅有一条切线?
写出此公切线的方程。
(2003年全国高考卷新课程(数学文科))
(2)切线过抛物线外的一点(1,1)。
(3)切线的斜率为2。
拓展:
点P为抛物线C:
:
y=x2+2x上任意一点,则点P到直线y=2x-2的最小距离为_______。
评析:
本题考查曲线y=f(x)在点x0处的导数的几何意义:
曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处切线的斜率。
以题组的形式通过不同角度让学生熟练掌握导数几何意义的应用。
第
(1)小题的拓展是将第
(1)小题中的点一般化,考查内容是一样的,是在第
(1)小题的基础上有所提高,激发学生的兴趣。
第(3)小题的拓展与第(3)小题解法类似,只是在出题上换个角度,属多题一解的类型。
例5.设f/(x)是函数f(x)的导函数,y=f/(x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能是()
(2004年全国高考浙江卷(数学理科)第11题)
答案:
(C)
评析:
此题以直观的角度揭示了可导函数的单调性和其导数的关系。
令
,可由对此题的分析,结合图象作以下拓展:
(1)求f(x)的极值;
在此处注意结合图形让学生理解极值的有关概念。
如让学生判断下列说法是否正确:
①极大值一定比极小值大;②区间的端点一定是极值点;③导数为0的点一定是极值点;④极值点一定是导数为0的点。
从而进一步强调求极值的方法。
(2)求y=f(x)在x∈[0,3]上的最值;
让学生辨析极值和最值的区别,让学生进一步熟悉利用导数求函数最值的基本思路。
(3)用总长为14.8的钢条制做一个长方形的框架,如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少是容器的容积最大?
并求出它的最大容积。
(2002年全国新课程高考卷(理科)第20题)
此题为题
(2)的类似拓展,强调了导数在实际生活中的应用。
(4)解不等式f(x)≥1。
导数是分析函数单调性的有力工具,故有很多问题如:
证明不等式、解不等式、解方程、分析方程根的个数等等都可以转化为利用函数单调性处理,进而用导数方法求解。
例6.设函数
,其中a>0。
(1)求f(x)的单调区间;
(2)解不等式f(x)≤1。
解:
(1)
1当a≥1时,有
,此时f/(x)<0,
∴函数f(x)在区间
上是单调递减函数。
2当0 解不等式f/(x)<0得 , ∴f(x)在区间 上是单调递减函数。 解不等式f/(x)>0得 , ∴f(x)在区间 上是单调递增函数。 (2)当a≥1时,∵函数f(x)在区间 上是单调递减函数, 由f(0)=1, ∴当且仅当x≥0时f(x)≤1. 当0 ∵f(x)在区间 上是单调递减函数, f(x)在区间 上是单调递增函数, 由f(x)=1得x=0或 , 且 ∴当且仅当 时,f(x)≤1. 综上可得: 当a≥1时,f(x)≤1的解集为{x|x≥0};
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- 31 高考 数学 导数 及其 应用 怎么 二轮 复习 专题