75解直角三角形.docx

75解直角三角形.docx

《75解直角三角形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《75解直角三角形.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

75解直角三角形

7.5解直角三角形

教学目标:

使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角（两锐角互余），边与边（勾股定理）、边与角关系解直角三角形。

教学重点：

使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角（两锐角互余），边与边（勾股定理）、边与角关系解直角三角形。

教学难点：

能运用直角三角形的角与角（两锐角互余），边与边（勾股定理）、边与角关系解直角三角形。

教学过程：

一、自学：

如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处。

问大树在折断之前高多少米?

显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为＝，大树在折断之前的高为

解直角三角形的定义

任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角形。

像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形。

二、互教

1．如图7—12，在Rt△ABC中，

∠ACB＝90°，

其余5个元素之间有以下关系：

（1）两锐角互余∠A＋∠B＝

（2）三边满足勾股定理a2＋b2＝

（3）边与角关系sinA＝

＝，cosA＝sinB＝

，

tanA＝＝，

cotA＝＝

。

例1：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠C＝30°，a=5，解直角三角形。

例2：

Rt△ABC中，∠C＝90°，a=104，b=104

，求

（1）c的大小

（2）∠A、∠B的大小。

例3：

圆O半径为10，求圆O的内接正六边形ABCDE的边长

三、检测：

1、已知：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，b=2

，c=4，

求

（1）a；

（2）求∠B、∠A

2、求半径为12的圆的内接正四边形的边长

四、拓展练习：

书本P53习题7.51、2

五、反思：

7.6锐角三角函数的简单应用

（1）

教学目标:

通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。

教学重点、难点：

通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。

教学过程：

一、自学：

1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则BC：

AC：

AB=。

2、在△ABC中，∠C=90°。

（1）已知∠A=30°，BC=8cm，求AB与AC的长；

（2）已知∠A=60°，AC=

cm，求AB与BC的长。

二、互教：

例1：

“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min。

小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m）开始1周的观光，2min后小明离地面的高度是多少（精确到0.1m）？

分析：

如图，小明开始在车厢点B，经过2min后到了点C，点C离地面的高度就是小明离地面的高度，其实就是DA的长度

DA=AE-

解：

拓展延伸：

1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？

2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？

三、检测；书本P551、2

四、思考练习

如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东30°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离。

分析：

本题中，已知条件是什么?

（AB＝2000米，

∠CAB＝90°－∠CAD＝60°），那么求AC的长是用

“弦”还是用“切”呢?

求BC的长呢?

显然，

AC是直角三角形的斜边，应该用余弦函数，

而求BC的长可以用正切函数，也可以用余切函数。

五、反思：

7.6锐角三角函数的简单应用

（2）

教学目标:

进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

教学重点、难点：

进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

教学过程：

一、自学：

如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。

二、互教：

例2、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°。

若小明的眼睛离地面1.6m，小明如何计算气球的高度呢（精确到0.1m）

分析：

1、由题目可知道，气球的高度就是CD的长加上小明的眼睛离地面1.6m

2、假设CD为hm，BD为xm，在Rt△ADC和Rt△BDC利用正弦列出两个方程求出

解：

二、检测：

书本P561、2

3、思考与探索：

大海中某小岛的周围10km范围内有暗礁。

一艘海轮在该岛的南偏西60°方向的某处，由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西30°方向的另一处。

如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？

四、拓展训练：

1、如图，A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器（皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角）。

（1）你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据（用字母表示），并画出测量图形。

（2）用你测量的数据（用字母表示）写出计算B楼高度的表达式。

分析：

如右图，由于楼的各层都能到达，所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角，再测B楼的底端的俯角，这样在Rt△ABD中就可以求出BD的长度，因为AE＝BD，而后Rt△ACE中求得CE的长度，这样CD的长度就可以求出．

五、反思：

7.6锐角三角函数的简单应用（3）

教学目标:

使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

教学重点、难点：

使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

教学过程：

一、自学：

如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?

显然，斜坡A1Bl的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。

从图形可以看出

，即tanAl＞tanA。

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。

1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。

如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度（或坡比），记作i，即i＝

，

坡度通常用l：

m的形式，

例如上图中的1：

2的形式。

坡面与水平面的夹角叫做坡角。

从三角函数的概念可以知道，

坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。

二、互教

例3如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角

为30°背水坡AD的坡度i（即tan

）为1：

1,坝顶宽DC=2.5m，坝高4.5m。

求

（1）背水坡AD的坡角

；

（2）坝底宽AB的长（精确到0.1m）

三、检测：

书本P581、2、3

四、小结

会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。

五、反思：

回顾与思考

（1）

教学目标:

通过复习，使学生系统地掌握本章知识。

由于本章的概念比较多，需要记忆的知识也比较多，因此，课前应该让学生先看看书本，以求得较高的复习效率。

在系统复习知识的同时，使学生能够灵活运用知识解决问题。

教学重点：

通过复习，使学生系统地掌握本章知识。

教学难点：

在系统复习知识的同时，使学生能够灵活运用知识解决问题。

教学过程：

一、自学：

1．应用相似测量物体的高度

（1）

如图

（一），利用光线的平行和物体在地面的投影和物体构成的两个直角三角形相似，从而求得物体的高度。

（2）如图

（二），我们可以利用测角仪测出∠ECB的度数，用皮尺量出CE的长度，而后按一定的比例尺（例如1:

500）画出图形，进而求出物体的高度。

2．锐角三角函数。

（如图三）

（1）定义：

sinA＝，cosA＝，＝

，cota＝

（余切）。

（2）若∠A是锐角，则0＜sinA＜l，0＜cosA＜1，tinA×cotA＝1，sin2A＋cos2A＝1，你知道这是为什么吗?

（3）特殊角的三角函数值。

a

sina

cosa

tana

cota

30°

45°

60°

（4）正弦、正切值是随着角度的增大而，

余弦是随着角度的增大而．

5）一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值。

正切、余切也一样。

二、互教：

例1．Rt△ABC中，∠C＝90°，

∠B＝60°，两直角边的和为14，

求这个直角三角形的面积。

例2．如图，AC⊥BC，cos∠ADC＝

，

∠B＝30°AD＝10，求BD的长。

三、检测：

1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，则a：

b：

c＝（）

A、1:

2:

3B、1:

:

C、1:

:

2D、1:

2:

2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.1cm

BC＝2.8cm。

求:

（1）△ABC的面积；

（2）斜边的长；（3）高CD.

3．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，

∠A的平分线AD＝

，求∠B的度数以及边BC、AB的长。

四、小结

本节课我们系统地复习了三角函数的定义、勾股定理等内容，同学们在理解、记忆知识的基础上，应做到灵活地运用这些知识解决问题，这就要求同学们在课后要做一定量的练习才能达到。

五、反思：

回顾与思考

（2）

教学目标:

使学生掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力。

教学重点、难点：

使学生掌握直角三角形的边与边，角与角，边与角的关系，能应用这些关系解决相关的问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力。

教学过程：

一、自学：

1．边与边关系：

a2＋b2＝c2

2．角与角关系：

∠A＋∠B＝90°

3．边与角关系，sinA＝

，cosA＝

，tanA＝

，cota＝

4．仰角、俯角的定义：

如右图，从下往上看，

视线与水平线的夹角叫做仰角，

从上往下看，视线与水平线的夹角

叫做俯角。

右图中的∠1就是仰角，

∠2就是俯角。

坡角、坡度的定义：

坡面的铅垂高度

与水平宽度的比叫做坡度（或坡比），

读作i，即i＝

，坡度通常用1:

m的

形式，例如上图的1:

2的形式。

坡面与水平面的夹角叫做坡角。

从三角函数的概念可以知道，

坡度与坡角的关系是i＝tanB。

显然，

坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。

二、互教：

例1．北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距离A地40海里的B处训练。

突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治。

已知C岛在A的北偏东方向60°，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院?

（精确到0.1小时）

例2．如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i＝2:

1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道．请问：

在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?

请说明理由（在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）。

三、检测：

P629、10、11

四、小结

这节课进一步学习了应用解直角三角形的知识解决实际问题，在解决这样的问题时，一方面，根据题意能够画出图形，另一方面，要把问题归结到直角三角形中来解决。

五、反思：