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(DOC)-初中数学重要知识点总结
初中数学重要知识点总结
线
1、基本概念
2、直线的性质
经过两点有一条直线,并且只有一条直线。
简单地:
两点确定一条直线。
3、画一条线段等于已知线段
(1)度量法
(2)用尺规作图法
4、线段的大小比较方法
(1)度量法
(2)叠合法
5、线段的中点(二等分点)、三等分点、四等分点等
定义:
把一条线段平均分成两条相等线段的点。
图形:
AB=2AM=2BM。
符号:
若点M是线段AB的中点,则AM=BM=AB,
6、线段的性质
两点的所有连线中,线段最短。
简单地:
两点之间,线段最短。
7、两点的距离连接两点的线段长度叫做两点的距离。
8、点与直线的位置关系
(1)点在直线上
(2)点在直线外.
1
1过两点有且只有一条直线
2两点之间线段最短
3过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
4直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
5平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
6如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
7定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
8逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
9线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
等边三角形
1推论等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60?
2推论三个角都相等的三角形是等边三角形
3推论有一个角等于60?
的等腰三角形是等边三角形
等腰三角形
1等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)
2推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
3等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
4等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
角
1、角:
由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。
2、角的表示法(四种):
用三个字母及角的符号“”表示。
中间的字母表示顶点,其他两个字母分别表示角的两边上的店;
当顶点处只有一个角时,可用表示顶点的这个字母来表示该角;
用一个数字表示一个角;
用一个希腊字母表示一个角。
2
3、角的分类
4、角的比较方法
(1)度量法
(2)叠合法
5、画一个角等于已知角
(1)借助三角尺能画出15?
的倍数的角,在0,180?
之间共能画出11个角。
(2)借助量角器能画出给定度数的角。
(3)用尺规作图法。
6、角的平线线
定义:
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线。
7、互余、互补
(1)若?
1+?
2=90?
,则?
1与?
2互为余角.其中?
1是?
2的余角,?
2是?
1的余角.
(2)若?
1+?
2=180?
,则?
1与?
2互为补角.其中?
1是?
2的补角,?
2是?
1的补角.
(3)余(补)角的性质:
等角的补(余)角相等.
8、方向角
(1)正方向
(2)北(南)偏东(西)方向
(3)东(西)北(南)方向
1同角或等角的补角相等
2同角或等角的余角相等
3同位角相等,两直线平行
4内错角相等,两直线平行
5同旁内角互补,两直线平行
6两直线平行,同位角相等
7两直线平行,内错角相等
8两直线平行,同旁内角互补
9定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
10定理2到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
11角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
3
三角形
1定理三角形两边的和大于第三边
2推论三角形两边的差小于第三边
3三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180?
4推论1直角三角形的两个锐角互余
5推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
6推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
7全等三角形的对应边、对应角相等
8边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
9角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
10推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
11边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等
12斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
13直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
14在直角三角形中,如果一个锐角等于30?
那么它所对的直角边等于斜边的一半
15勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a2+b2=c2
16勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
平行四边形
1平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等
2平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等
3推论夹在两条平行线间的平行线段相等
4平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分
5平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形
7平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形
8平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形
9矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
多边形
1定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形
2定理2如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
4
3定理3两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
4逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
5定理四边形的内角和等于360?
6四边形的外角和等于360?
7多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180?
8推论任意多边的外角和等于360?
分式
A
设A、B表示两个整式。
如果B中含有字母,式子B就叫做分式。
注意分母B的值不能为零,否则分式没有意义。
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
如果分子分母有公因式,要进行约分化简。
2、分式的基本性质
AAMAAMBBM,BBM(M为不等于零的整式)
3(分式的运算(分式的运算法则与分数的运算法则类似)
acadbcbdbd(异分母相加,先通分);
acac
bdbd;
acadadbdbcbc;
anan
()nbb
4(零指数a0=1(a?
0)
a,p1
ap(a?
0,p为正整数)5(负整数指数
mnm,n注意正整数幂的运算性质aaa,
mnm,naaa(a?
0)
5
mnmn(a)a
nnn(ab)ab
可以推广到整数指数幂,也就是上述等式中的m、n可以是0或负整数(
正比例反比例一次函数
第一象限(,,,),第二象限(,,,)第三象限(,、,)第四象限(,,
)
x轴上的点的纵坐标等于0,反过来,纵坐标等于0的点都在x轴上,y轴上的点的横坐标等于0,反过来,横坐标等于0的点都在y轴上,
若点在第一、三象限角平分线上,它的横坐标等于纵坐标,若点在第二,四象限角平分线上,它的横坐标与纵坐标互为相反数;
若两个点关于x轴对称,横坐标相等,纵坐标互为相反数;若两个点关于y轴对称,纵坐标相等,横坐标互为相反数;
若两个点关于原点对称,横坐标、纵坐标都是互为相反数。
1、一次函数,正比例函数的定义
(1)如果y=kx+b(k,b为常数,且k?
0),那么y叫做x的一次函数。
(2)当b,0时,一次函数y=kx+b即为y=kx(k?
0)。
这时,y叫做x的正比例函数。
注:
正比例函数是特殊的一次函数,一次函数包含正比例函数。
2、正比例函数的图象与性质
(1)正比例函数y=kx(k?
0)的图象是过(0,0)(1,k)的一条直线。
(2)当k>0时?
y随x的增大而增大?
直线y=kx经过一、三象限?
从左到右直线上升。
当k<0时?
y随x的增大而减少?
直线y,kx经过二、四象限?
从左到右直线下降。
3、一次函数的图象与性质
b
(1)一次函数y=kx+b(k?
0)的图象是过(0,b)(k,0)的一条直线。
b
注:
(0,b)是直线与y轴交点坐标,(k,0)是直线与x轴交点坐标。
(2)当k>0时?
y随x的增大而增大?
直线y=kx+b(k?
0)是上升的
(3)当k<0时?
y随x的增大而减少?
直线y,kx+b(k?
0)是下降的
4、一次函数y=kx+b(k?
0,kb为常数)中k、b的符号对图象的影响
(1)k>0,b>0?
直线经过一、二、三象限
(2)k>0,b<0?
直线经过一、三、四象限
6
(3)k<0,b>0?
直线经过一、二、四象限
(4)k<0,b<0?
直线经过二、三、四象限
5、对一次函数y=kx+b的系数k,b的理解。
(1)k(k?
0)相同,b不同时的所有直线平行,即直线
l1:
yk1x,b1l1:
y=k1x+b1;直线
k1k2k1k2l//l合12l1与l2重
2l2:
yk2x,b2(k1,k2均不为零,k1,b1,k2,b2为常bb
数)b1b21
(2)k(k?
0)不同,b相同时的所有直线恒过y轴上一定点(0,b),例如:
直线y=2x+3,y=-2x+3,y1x,32均交于y轴一点(0,3)
6、直线的平移:
所谓平移,就是将一条直线向左、向右(或向上,向下)平行移动,平移得到的直线k不变,直线沿y轴平移多少个单位,可由公式,b1,b2,得到,其中b1,b2是两直线与y轴交点的纵坐标,直线沿x轴平移多少个单位,可由公式,x1,x2,求得,其中x1,x2是由两直线与x轴交点的横坐标。
7、直线y=kx+b(k?
0)与方程、不等式的联系
(1)一条直线y=kx+b(k?
0)就是一个关于y的二元一次方程
(2)求两直线l1:
yk1x,b1(k10),l2:
yk2x,b2(k20)的交点,就是解关于x,y的方
yk1x,b1yk2x,b2程组
(3)若y>0则kx+b>0。
若y<0,则kx+b<0
(4)一元一次不等式,y1?
kx+b?
y2(y1,y2都是已知数,且y1 y? y2那条线段所对应的自变量的取值范围。 (5)一元一次不等式kx+b? y0(或kx+b? y0)(y0为已知数)的解集就是直线y=kx+b上满足y? y0(或y? y0)那条射线所对应的自变量的取范围。 8、确定正比例函数与一次函数的解析式应具备的条件 (1)由于比例函数y=kx(k? 0)中只有一个待定系数k,故只要一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值。 (2)一次函数y=kx+b中有两个待定系数k,b,需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点,或两对x,y的值。 9、反比例函数 7 (1)反比例函数及其图象yk x(k是常数,k? 0),那么,y是x的反比例函数。 如果 反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,可用描点法画出反比例函数的图象。 (2)反比例函数的性质 当k>0时,图象的两个分支分别在一、三象限内,在每个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,图象的两个分支分别在二、四象限内,在每个象限内,y随x的增大而增大。 yk x(k是常数,k? 0)中只有一个待定系数k,故只要一个条件(如一对(3)由于比例函数 x,y的值或一个点)就可求得k的值。 三边对应成比例,三个角对应相等的两个三角形叫做相似三角形。 二元一次方程组 1(二元一次方程: 含有两个未知数,并且含未知数项的次数是1,这样的方程是二元一次方程。 注意: 一般说二元一次方程有无数个解。 2.二元一次方程组: 两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组。 3.二元一次方程组的解: 使二元一次方程组的两个方程,左右两边都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解。 注意: 一般说二元一次方程组只有唯一解(即公共解)。 4(二元一次方程组的解法: (1)代入消元法; (2)加减消元法; (3)注意: 判断如何解简单是关键. 5(一次方程组的应用: (1)对于一个应用题设出的未知数越多,列方程组可能容易一些,但解方程组可能比较麻烦,反之则“难列易解”; (2)对于方程组,若方程个数与未知数个数相等时,一般可求出未知数的值;(3)对于方程组,若方程个数比未知数个数少一个时,一般求不出未知数的值,但总可以求出任何两个未知数的关系。 一元一次不等式(组) 1.不等式: 用不等号“,“”,”“? ”“? ”“? ”,把两个代数式连接起来的式子叫不等式。 8 2(不等式的基本性质: 不等式的基本性质1: 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变; 不等式的基本性质2: 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的基本性质3: 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变。 3.不等式的解集: 能使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解;不等式所有解的集合,叫做这个不等式的解集。 4(一元一次不等式: 只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于零的不等式,叫做一元一次不等式;它的标准形式是ax+b,0或ax+b,0,(a? 0)。 5(一元一次不等式的解法: 一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似,但一定要注意不等式性质3的应用; 注意: 在数轴上表示不等式的解集时,要注意空圈和实点。 6(一元一次不等式组: 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组; ab0a0a0a0或b0bb0注意: ; a0a0aab00或b0bb0; amamab0a0或b0;am 7.一元一次不等式组的解集与解法: 所有这些一元一次不等式解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集;解一元一次不等式时,应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴确定这个不等式组的解集。 8(一元一次不等式组的解集的四种类型: 设a,b x,y0正数x、y是xy09(几个重要的判断: , x,y0x,y0x、y是负数号且正数绝对值大x、y异xy0xy0 x,y0号且负数绝对值大x、y异xy0, 整式的乘除 1.同底数幂的乘法: am? an=am+n,底数不变,指数相加。 2(幂的乘方与积的乘方: (am)n=amn,底数不变,指数相乘;(ab)n=anbn,积的乘方等于各因式乘方的积。 3(单项式的乘法: 系数相乘,相同字母相乘,只在一个因式中含有的字母,连同指数写在积里。 4(单项式与多项式的乘法: m(a+b+c)=ma+mb+mc,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。 5(多项式的乘法: (a+b)? (c+d)=ac+ad+bc+bd,先用多项式的每一项去 乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。 6(乘法公式: (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差; (2)完全平方公式: ? (a+b)2=a2+2ab+b2,两个数和的平方,等于它们的平方和,加上它们 的积的2倍;? (a-b)2=a2-2ab+b2,两个数差的平方,等于它们的平方和,减去它们的积的2倍;? (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc,略。 7.配方: 10 pq 2 (1)若二次三项式x+px+q是完全平方式,则有关系式: 2; 2 (2)二次三项式ax2+bx+c经过配方,总可以变为a(x-h)2+k的形式,利用a(x-h)2+k? 可以判断ax2+bx+c值的符号; ? 当x=h时,可求出ax2+bx+c的最大(或最小)值k。 11 x2,2x,,2 xx(3)注意: 2 8(同底数幂的除法: am? an=am-n,底数不变,指数相减。 9(零指数与负指数公式: (1)a0=1(a? 0); a,n 1 an,(a? 0).注意: 00,0-2无意义; (2)有了负指数,可用科学记数法记录小于1的数,例如: 0.0000201=2.01×10-5.10(单项式除以单项式: 系数相除,相同字母相除,只在被除式中含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式。 11(多项式除以单项式: 先用多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加。 12(多项式除以多项式: 先因式分解后约分或竖式相除;注意: 被除式-余式=除式? 商式。 13(整式混合运算: 先乘方,后乘除,最后加减,有括号先算括号内。 线段、角、相交线与平行线 几何A级概念: (要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明) 几何B级概念: (要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题) 一基本概念: 直线、射线、线段、角、直角、平角、周角、锐角、钝角、互为补角、互为余角、邻补角、两点间的距离、相交线、平行线、垂线段、垂足、对顶角、延长线与反向延长线、同位角、内错角、同旁内角、点到直线的距离、平行线间的距离、命题、真命题、假命题、定义、公理、定理、推论、证明. 二定理: 1.直线公理: 过两点有且只有一条直线. 2.线段公理: 两点之间线段最短. 3.有关垂线的定理: (1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; (2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短. 4.平行公理: 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 三公式: 直角=90? ,平角=180? ,周角=360? ,1? =60′,1′=60″. 四常识: 1(定义有双向性,定理没有. 2(直线不能延长;射线不能正向延长,但能反向延长;线段能双向延长. 3(命题可以写为“如果„„„那么„„„”的形式,“如果„„„”是命题的条件,“那 么„„„”是命题的结论. 4(几何画图要画一般图形,以免给题目附加没有的条件,造成误解. 5(数射线、线段、角的个数时,应该按顺序数,或分类数. 6(几何论证题可以运用“分析综合法”、“方程分析法”、“代入分析法”、“图形观察法”四种方法分 析. 7 14 (1) (2) 8(比例尺: 比例尺1: m中,1表示图上距离,m表示实际距离,若图上1厘米,表示实际距离m厘米. 9(几何题的证明要用“论证法”,论证要求规范、严密、有依据;证明的依据是学过的定义、公理、定理和推论。 有理数的基础知识 1、三个重要的定义: (1)正数: 像1、2.5、这样大于0的数叫做正数; (2)负数: 在正数前面加上“-”号,表示比0小的数叫做负数; (3)0即不是正数也不是负数. 2、有理数的分类: (1 (2)按性质符号分类: 3 15 数轴有三要素: 原点、正方向、单位长度。 画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴.在数轴上的所 表示的数,右边的数总比左边的数大,所以正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数. 4、相反数 如果两个数只有符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数。 0的相反数是0,互为相反的两上数,在数轴上位于原点的两则,并且与原点的距离相等。 5、绝对值 (1)绝对值的几何意义: 一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。 (2)绝对值的代数意义: 一个正数的绝对值是它本身;0的绝对值是0;一个负数的绝对值是 a(a>0) (3)两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 有理数的运算 1、有理数的加法 (1)有理数的加法法则: 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反的两个数相加得0;一个数同0相加,仍得这个数. (2)有理数加法的运算律: 加法的交换律: a+b=b+a; 加法的结合律: (a+b)+c=a+(b+c) 用加法的运算律进行简便运算的基本思路是: 先把互为相反数的数相加;把同分母的分数先相加;把符号相同的数先相加;把相加得整数的数先相加. 2、有理数的减法 (1)有理数减法法则: 减去一个数等于加上这个数的相反数. (2)有理数减法常见的错误: 顾此失彼,没有顾到结果的符号;仍用小学计算的习惯,不把减法变加法;只改变运算符号,不改变减数的符号,没有把减数变成相反数. (3)有理数加减混合运算步骤: 先把减法变成加法,再按有理数加法法则进行运算;0-a(a=0)(a<0) 3、有理数的乘法 (1)有理数乘法的法则: 两个有理数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与0相乘都得0。 (2)有理数乘法的运算律: 交换律: ab=ba; 结合律: (ab)c=a(bc); 交换律: a(b+c)=ab+ac. (3)倒数的定义: 乘积是1的两个有理数互为倒数,即ab=1,那么a和b互为倒数;倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。 4、有理数的除法 有理数的除法法则: 除以一个数,等于乘上这个数的倒数,0不能做除数.这个法则可以把除法转化为乘法; 除法法则也可以看成是: 两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数都等于0。 5、有理数的乘法 (1)有理数的乘法的定义: 求几个相同因数a的运算叫做乘方,乘方是一种运算,是几个相同的因数的特殊乘法运算,记做“an”其中a叫做底数,表示相同的因数,n叫做指数,表示相同因数的个数,它所表示的意义是n个a相乘,不是n乘以a,乘方的结果叫做幂。 (2)正数的任何次方都是正数,负数的偶数次方是正数,负数的奇数次方是负数。 6、有理数的混合运算 (1)进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。 比较复杂的混合运算,一般可先根据题中的加减运算,把算式分成几段,计算时,先从每段的乘方开始,按顺序运算,有括号先算括号里的,同时要注意灵活运用运算律简化运算。 (2)进行有理数的混合运算时,应注意: 一是要注意运算顺序,先算高一级的运算,再算低一级的运算; 二是要注意观察,灵活运用运算律进行简便运算,以提高运算速度及运算能力。 方程 1、方程的概念: (1)含有未知数的等式叫方程。 (2)在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,系数不为0,这样的方 程叫一元一次方
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