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概率与统计
一、选择题
1、在1000个有机会中奖的号码(编号为000-999)中,在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码,该抽样运用的抽样方法是()
A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.以上均不对
2、某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽
C.3D.-
5
23
6.(2010辽宁)两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为一和一,两个
34
零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
(A)-(B)—(C)丄(D)丄
21246
7.—位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测。
方法一:
在10箱子中各任意抽查一枚;方法二:
在5箱中各任意抽查两枚。
国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为°和卩2,则
8.
(2011湖北)有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10,12]内的频数为()
A.18B.36
C.54D.72
9.
Do以上三种情况都有可能
从1.2.3.4.5中任取2各不同的数,事件A=“取到
的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=()
1121
(A)-(B)-(0-(D)-
8452
10.
间[0,10]内随机取出两个数,则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是:
填空题
11.在区间[—6,6],内任取一个元素xo,若抛物线y二x?
在x二X。
处的切线的倾角为则
TH]的概率为
12.[2012江苏6】现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若
从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是.
13.从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动,则所选3位中有甲但没有乙的概率
为
14.(2011年江西卷)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于丄,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于丄,则去打篮球;
24
否则,在家看书,则小波周末不在家看书的概率为
15.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球。
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以厶和合表示山甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表不由乙罐取出的球是红球的事件,则下
列结论中正确的是(写出所有正确结论的编号)。
75
①P(B匕;②P(B|;③事件B与事件4相互独立;④a,a2,A是两两互斥的事件;
⑤P(B)的值不能确定,因为它与4,%,九中哪一个发生有关
三.解答题
乙组
0X89
1.以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。
乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示。
(I)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数;
(II)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取
一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布1110列和数学期望.
2.某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:
每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次,在A区每进一球得2分,不进球得0分;在B区每进一球得3分,不进球得0
亠91
分,得分高的选手胜出.已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是匕和一•
103
(I)如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准,问该选手应该选择哪个区投篮?
请说明理由;
(II)求该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率.
3.一个口袋中有2个白球和"个红球(/?
>2,且neN*),每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中),若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖。
(1)试用含"的代数式表示一次摸球中奖的概率P;
(2)若n=3,求三次摸球恰有一次中奖的概率;
(3)记二次摸球恰有一次中奖的概率为/(p),当"为何值时,/(p)取最大值。
4.甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲,乙各胜1局.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)设&表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求百的分布列及数学期望.
概率与统计答案
1、在1000个有机会中奖的号码(编号为000-999)中,在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码,该抽样运用的抽样方法是()
A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.以上均不对
分析:
实际“间隔距离相等”的抽取,属于系统抽样.
解析:
题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码,中奖号码依次为:
088,188,288,
388,488,588,688,788,888,988.答案B.
点评:
关于系统抽样要注意如下几个问题:
(1)系统抽样是将总体分成均衡几个部分,然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本的一种抽样方法.
(2)系统抽样的步骤:
①将总体中的个体随机编号;②将编号分段;③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号;④按事先研究的规则抽取样本.(3)适用范围:
个体数较多的总体.
2、(2008年高考广东卷理3)某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取
64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为()
C.16D.12
年级
年级
年级
-i
生
37:
y
r
生
3T
37(
分析:
根据给出的概可以知道二年级的学解析:
C二年级女生
率先求出x的值,这样就生人数,问题就解决了.占全校学生总数的19%,
即x=2000x0.19=380,这样一年级和二年级学生的总数是
373+377+380+370=1500,三年级学生有500人,用分层抽样抽取的三年级学生
64应是-^―x500=16.答案C.
2000
点评:
本题考查概率统计最基础的知识,还涉及到一点分析问题的能力和运算能力,题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识.
3、(2011年高考福建卷文科7)如图,矩形ABCD点E为边CD
的重点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自AABE内部的概率等于
1
A.—
4
【答案】C
-ABAD]
【解析】这是-几何概型,所求概率为土济石,故选C.
4、【2012高考真题北京理2】设不等式组\Q-x-2\表示平面区域为D,在区域D内随机
0 取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 71兀一27C4_” (A)—(B)(C)—(D) 4264 【答案】D 【解析】题目中表示的区域如图正方形所示,而动点D可以、 '0 存在的位苴为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此 ■八■3■兀。 4-TL P==—,故选D-o, 2x24 5、(2008高考山东文9)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为() 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 分析: 根据标准差的计算公式直接计算即可. 100 解析: 平均数是*20+4x10+3x30+2x30+1x10=3, 标准差是 20x(5-3『+10x(4-3)2+30x(3-3)2+30x(2-3『+10x(1— 100 80+10+30+40=\= 答案B. 6、两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 1 1 (D)- o 51 (A)一(B)——(C)- 2124 【答案】B 【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率,考查了有关概率的计算间题 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A,则 21155 P(A'»=P(A;j-P(A: )=—>: —_—〉: 一=—— 7、(2010江西理数)11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测。 方法一: 在10箱子中各任意抽查一枚;方法二: 在5箱中各任意抽查两枚。 国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为从和°2, 9、从1.2.3.4.5中任取2各不同的数,事件A=“取到的2个 数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B丨A)=() 1121 ⑷-(B)-(0-(D)- 8452 答爲3 解析,由皿林=弩=孰品寻洛故: 卄辔j 10、在区间[0,10]内随机取出两个数,则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是: 11.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科】在区间[—6,6],内任取一 TT 个元素Xo,若抛物线y二X? 在X二X。 处的切线的倾角为a,则,—的概率为 44 【答案】鲁 【解析】当罟时,斜率心或匕1,又y=2x,所以详*或兀T,所 以唏. 12.[2012高考江苏6】(5分)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是▲. 【答案】 【解析】••: 以1为首项,-3为公比的等比数列的10个数为1,—3,9,-27,•…其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8, .••从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的槪率是A= 105 13、(2011年高考重庆卷文科14)从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动,则所选 3位中有甲但没有乙的概率为 7 【答案】— 30 14、(2011年高考江西卷理科12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于丄,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于丄, 24 则去打篮球;否则,在家看书,则小波周末不在家看书的概率为 13 【答案】— 16 【解析】小波周末不在家看书包含两种情况: 一是去看电影;二是去打篮球;所以小波周末不 17171 111q 在家看书的概率为一=—. 7C16 15、(2010安徽理数)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个 白球和3个黑球。 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以%和妁表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是(写出所有正确结论的编号)。 95 ①p(fi)=y;②P(5|A1)=—;③事件B与事件4相互独立; ④£,爲,含是两两互斥的事件;⑤P(B)的值不能确定,因为它与£,人,為中哪一个发生有关 15.②④ 【解析】易见£,仏,4是两两互斥的事件,而 5574340 P(B)=P(B\A.}+P(B\A,}+P(B\AA=——x一+—x一+—x一=——。 \U\I*2丿\I3丿10111011101122 【方法总结】本题是概率的综合问题,掌握基本概念,及条件概率的基本运算是解决问题的 关键.本题在是两两互斥的事件,把事件B的概率进行转化 P(B)=P(B\A1)+P(B\A2)+P(B\A3),可知事件B的概率是确定的. 三"解答题 1.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试理科】(本小题满分12分)以下茎叶图记录了 甲、乙两组个四名同学的植树棵树。 乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表不。 乙组 甲组 990X89 1110 (I)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数; (II)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望. 【答案】解 (1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是: 8,8,9,10, (II)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是: 9,9,11,11;乙组 同学的植树棵数是: 9,8,9,10o分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4x4=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20, 21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”所以 21 该事件有2种可能的结果,因此P(¥=17) 168 同理可得P(Y=18)=t;P(Y=1刃P(y=20)=|;P(y=21)= 所以随机变量Y的分布列为: Y 17 18 19 20 21 1 1 1 1 1 r 8 4 4 4 8 EY=17xP(Y=17)+18xP(Y=18)+19> 12分 -17x-+18x-+19x-+20x-+21x--19 2.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科】(木小题满分12分) 某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是: 每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在 B区投篮3次,在A区每进一球得2分,不进球得0分;在B区每进一球得3分,不进球得0分,得分高的选手胜出.已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是2和丄. 103 (I)如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准,问该选手应该选择哪个区投篮? 请说明理由; (II)求该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率. 【答案】解: (I)设该选手在A区投篮的进球数为X,则(9、QQ X〜B2,—,故E(X)=2x—=—, I10丿105 9 则该选手在/区投篮得分的期望为2x-=3.6.(3分) 5 设该选手在B区投篮的进球数为Y,贝故£(y)=3x|=l, 则该选手在B区投篮得分的期望为3x1=3. 所以该选手应该选择A区投篮.(6分) (II)设“该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件G“该选手在A区投篮得4分且在B区投篮得3分或0分”为事件D,“该选手在A区投篮得2分且在B区投篮得0分”为事件丘则事件C=D^E,且事件〃与事件g互斥.(7分) P(D)=—xf-+—Ki,(9分) 100(927J5 P(E)=—xA=±,(11分) 1002775 3449 P(C)=P(DUE)=—+, 57575 故该选手在/区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为竺.(12分) 75 3.【云南省玉溪一中2013届高二第二次月考理】(本小题满分12分)一个口袋中有2个白球和"个红球("22,且neN'),每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中),若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖。 (1)试用含"的代数式表示一次摸球中奖的概率P; (2)若n=3,求三次摸球恰有一次中奖的概率; (3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为/(p),当"为何值时,/(p)取最大值。 【答案】解: (1)一次摸球从«+2个球中任选两个,有C;2种选法,其中两球颜色相同有 c,;+cf种选法;一次摸球中奖的概率P=£L±^=»2-"+24分 C“+2n+3〃+2 (2)若”=3,则一次摸球中奖的概率是P=|,三次摸球是独立重复实验,三次摸球中恰 有一次中奖的概率是^ (1)=C;-P-(1-P)28分 (3)设一次摸球中奖的概率是p,则三次摸球中恰有一次中奖的概率是 /(p)=C;•p•(1_p)2=3p3_6p2+3p,0 g=9p2-12p+3=3(p-l)(3p-1) ;.f(p)在(0,£|是增函数,在是减函数, .•.当p=^时,/(p)取最大值10分 n2-n+21,_、 : .p=—=-G;>2,neN*), n2+3n+23 n=2,故n=2时,三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。 12分 4.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考理】甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲,乙各胜1局. ⑴求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设§表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求§的分布列及数学期望. 【答案】解: ⑴若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率是0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是2*0.6*0.6*0.4=0.288. 所以甲获胜的概率是0.36+0.288=0.64& (2)设进行的局数为J则E的可取值为2,3,p(&=2)=0.6*0.6+0.4*0.4=0.52, P(§=3)=2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48. Eg二2*0.52+3*0.48=2.48
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