实变函数习题与解答docx.docx
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实变函数习题与解答docx
实变函数复习范围
3、
设A{={x:
0 设={x: l-- ii/=, 7、 设=[0,2-—! —],%”=[0,1+丄],则如人=(C 〃T8 2h-1~2n 9、 设An=(0,71),neN,则lim心=(C) 〃T8 B、[0,n] C、 D、(0, oo) 10、设An=(0,—),n neN,则limAn=(D "T8 A、(0,1) B、(0,-) n C、{0} D、 11、设= =(0,-),A2n=(0,n),nwN,则limA”=(A) A、① B、(0,-)C、(0,n)D、(0,oo) n 12、集合E的全体内点所成的集合称为E的(A) A、开核 B、边界C、导集D、闭包 13、集合E的全体聚点所成的集合称为E的(C) A、开核 B、边界C、导集D、闭包 14、集合E的全体边界点和内点所成的集合是E的(D) A、开核 B、边界C、导集D、闭包 15、E-E7所成的集合是(D) A、开核 B、边界C、外点D、{E的全体孤立点} 16、E的全体边界点所成的集合称为E的(B) A、开核 B、边界C、导集D、闭包 17、设点P是集合E的边界点,则(D) A、P是E的聚点B、P是E的孤立点C、P是E的内点D、P是CE的边界点 18、设E是[0,1]上有理点全体,则下列各式不成立的是(D) (A)E'=[0,1](B)E=0(C)E=[0,1](D)mE=1 oo 19、若{A”}是一开集列, 则UA”是: (A) A、开集B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、 无法判断 20、若{A”}是一开集列, 则C九是: (D) n=\ A、开集B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、 无法判断 21、若{A”}是一闭集列, 则U九是: (D) n=\ A、开集B、闭集 C、既非开集又非闭集 D、 无法判断 22、若{A”}是一闭集列, 则C九是: (B) n=\ A、开集B、闭集 C、既非开集乂非闭集 D、 无法判断 23、下列集合不是可数集的是(C) A.左中的有理数集Q B.自然数集N C.[0,1]中的无理数集 D.庄中互不相交的开区间族 24>P表示康托尔(cantor)集,则mP=(A) A、0B、1C、2D、3 25、集合列{[0丄=的上限集为(C) n A[0,1]B0C{0}D[0,1) 26、下列集合不是可数集的是(C) A.疋中的整数集Z B.自然数集N C.[0,1]中的Cantor集 D. 左中互不相交的开区间族 D、3 A、连续函数B、单调函数 C.简单函数D、简单函数列的极限 29、若/(兀)可测,则它必是( 30>若E=[0J]-Q,则mE=(B) A.0B、1C、2D、3 31、下列说法不正确的是(A) A、E的测度有限,则E必有界B、E的测度无限,则E必无界 C、有界点集的测度有限D、/? "的测度无限 (xxwE 32、设f(%)=\=其中E是[0,1]的不可测集,则下列函数在[0,1]可测的是(A). [-X,xe[0J]-E A、I/(x)|B、f(x)C、广(x)D、f~(x) 33、设E是[0,l]上的不可测集,/(兀)斗? 则下列函数在[OJ]可测的是(C)• —xxw[0,1]—E A>/(x)B、f+(x)C、|f(x)|D、f'(x) 34、设E为可测集,则下列结论中正确的是(D) A、若{/,(%)}在E上收敛于一个有限的可测函数/(%),则£(x)i致收敛于/(%) B、若{/〃(Q}在E上d,幺收敛于一个g,幺有限的可测函数/(%),则£(力基本上一致收敛于/(%) C、若{//%)}在E上收敛于一个a,e有限的可测函数/(%),则/Jx)=>/(%) D、若{£(兀)}在E上基本上一致收敛于/(x),则fn(X)a9e收敛于f(x) \—兀3XE 35、设/(%)=\,其中E是[0,1]上的不可测集,贝IJ(D)在[0,1]可测. [x,xe[0J]-E A、/(兀)、B、f+(x)C、广(兀)D、|/(X)| 36、关于连续函数与可测函数,下列论述中正确的是(C) A、它们是同一概念B、有限的可测函数是连续函数 C、a,e有限的可测函数是基本上连续的函数D、有限的可测函数是a,£连续的函数 f—V*兀we 37、设/(x)=2'其屮E是[0,1]上的不可测集,则(A)在[0,1]上是可测的. x,xe[0,1]-E A、|/(x)|B、/(兀)C、f{x)D、广(兀) 38、关于简单幣数与可测幣数下述结论不正确的是(C) A、简单函数一定是可测函数B、简单函数列的极限是可测函数 C、简单函数与可测函数是同一概念D、简单函数列的极限与可测函数是同一概念 A、/(x)B、|/(x)|C、广(兀)D、f~(x) 40、关于依测度收敛,下列说法中不正确的是(C) A、依测度收敛不一定一致收敛 B、依测度收敛不一定收敛 C、若{£(%)}在E上必.收敛于a.e有限的可测函数/(X),则fn(x)=>f(x) D、若fn(x)=>f(x),则存在子列{九(x)}a.e收敛于f(x)41、设/(兀)是可测集E上的非负可测函数,则/(x)(C) A、必可积B、必几乎处处有限C、必积分确定D、不一定积分确定 42、设/(兀)在可测集E上可积,则在E上(B) A、f+(Q与/一(X)只有一个可积B、f+(X)与f'(x)皆可积 C、f+(x)与/・(x)不一定可积D、/+(x)与/-(兀)至少有一个不可积 43、设mE=Q(Eh①),/(兀)是E上的实函数,则下面叙述正确的是(C) A、/(x)在E上不一定可测B、/(兀)在£上可测但不一定可积 C、/(兀)在E上可积且积分值为0D、/(兀)在E上不可积 44、/(兀)在可测集E上(厶)可积的必要条件是,/(x)为(D) A、连续函数B、几乎处处连续函数C、单调函数D、几乎处处有限的可测函数 45、设》(无)为狄立克雷函数,贝ij(£)^D{x)dx=(A) A、0B、1C、1/2D、不存在 46、设/(X)为Cantor集的特征函数,则(L)£f(x)dx=(A) A、0B、1/3C、2/3D、1 47、设f(x)是[a,b]上有界变差函数,则下面不成立的是(D) (A)/(X)在[a,b]上有界(B)f(x)在[a.b]上几乎处处存在导数 fb (C)/'⑴在上L可积(D)Jf(x)dx=f(b)-f\a) Ja 48、设{&}是一列可测集,E.=)£2=>•••=)£„=)•••,且加耳VW,则有(A) (00\ (8\ (A)m 严; =limmEn ”T8 (B)m "T8 (C)nin£J 49、设f(x)是[dj]上绝对连续函数,则下面不成立的是(B) (A)/(兀)在[a,b]上的一致连续函数(B)/(兀)在[⑦甸上处处可导 (C)/⑴在⑺上]上L可积(D)/(力是有界变差函数 二填空题 1、设A为一集合,B是A的所有子集构成的集合;若7二n,则方二—2"— 2、设A为一集合,B是A的所有子集构成的集合;若A是一可数集,则B=_c 3、若A=c,B=c,则AuB=c 4、若A=c,B是一可数集,则AUB=_c 5^若A=c,B=n,则A\JB=c 6、若{A”}是一集合列,且Afl=c,uAfl-c /l=l 7、设{S,}是一列递增的可测集合,则SJ=mSn 〃T8"T8 8、[a,b]上的连续函数及单调函数都是—可测函数o 9、叶果洛夫定理反映了_点态收敛与—一致收敛的关系。 10、卅(CM”乞m*人称为测度的—次可数可加性— z=iz=i 11、可测集EuR”上的连续函数都是_可测函数。 12、可测函数列的极限是可测函数。 13、鲁金定理反映了_可测函数_与_连续函数—的关系。 14>设{S,}是一列递减可测集合,且炭,mEk HT8川T8 15、厶可测集和波雷尔集相差一个零测集。 16、设/(兀)在可测集E上可积,则mE[\f\=oo]=(0) 17、(叙述积分的绝对连续性)设f(x)在E上可积,则对任何可测集AuE,有limff(x)clx=(0) 〃讷toJa 18、设佗为Cantor集,则fsinxdx=(0) 19>设垃为Cantor集,则£cosAz£r=(0) 20、设Q为有理数集,则\fdx=(0) 21、设N为自然数集,RiJInxdx=(0) Jn 三、判断题 1、任意集合都有子集。 (7) 2、E的孤立点必然属于E.(V) 3、hmAn={x\当77充分大以后都有施九}.・(V) 4、若mE<,且£二>/,lim/„(%)=/(x)d,纟于£(X) 7? T8 若Vre2,E(/>r)都可测,则/在可测集£上也可测.(V) 函数/(X)在E上可测,当且仅当对于每一个实数°,集合£(/=a)可测.(X) 若mE=0,则£一定是可数集(X) 设M是疋中的紧集,则M是疋中的有界闭集.(V) 凡博雷尔集都是厶可测集..(V) 连续函数一定是有界变差函数.(X) 若/(兀)在可测集E上可测,则£(/=+oo)也可测。 (V) 若mEv+oo,且fn=>f,limfn(x)二f(x)a,幺于E(X) 设S】,S2都可测,则S.-S2也可测,且m(S}-S2)=mS}-mS2O(X) 若/(x)在可测集E上可测,则/(兀)在E的任意可测子集上也可测(V)。 无限集的外测度一定不为零。 (X) 若/(%)在可测集E上可测,则/(X)在E的任意子集上可测(X) 若可测集4是可测集〃的子集,且mB=mA,则m(B-A)=0(X) 若VreQ,E(f>r)都可测,则/在可测集£上也可测(V) 若E可测,A可测,且m(A-E)=0,则mE=m(E\JA)o(V) 计算题 1、设f(x)
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