春人教版八年级数学下册同步测试微专题六 以菱形为背景的证明和计算.docx
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春人教版八年级数学下册同步测试微专题六以菱形为背景的证明和计算
微专题六__以菱形为背景的证明与计算__[学生用书A26]
(教材
P60习题18.2第6题)
如图1,AE∥BF,AC平分∠BAD且交BF于点C,BD平分∠ABC且交AE于点D,连接CD.求证:
四边形ABCD是菱形.
证明:
∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD.
∵AE∥BF,∴∠BCA=∠CAD,
∴∠BAC=∠BCA,
∴AB=BC,同理可证AB=AD,∴AD=BC.
又∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.
【思想方法】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:
(1)定义;
(2)四边相等;(3)对角线互相垂直平分.
如图2,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F;再分别以点B,F为圆心,大于
BF的相同长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.
根据以上尺规作图的过程,求证四边形ABEF是菱形.
图2
证明:
由作图过程可知,AB=AF,AE平分∠BAD.
∴∠BAE=∠EAF.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BC∥AD.∴∠AEB=∠EAF.
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.∴BE=AF.
∴四边形ABEF为平行四边形.∴四边形ABEF为菱形.
如图3,在▱ABCD中,E为BC边上的一点,连接AE,BD,且AE=AB.
(1)求证:
∠ABE=∠EAD;
(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:
四边形ABCD是菱形.
图3
证明:
(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠AEB=∠EAD.
∵AE=AB,
∴∠ABE=∠AEB,
∴∠ABE=∠EAD;
(2)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.
又∵∠AEB=2∠ADB,∠AEB=∠ABE,
∴∠ABE=2∠DBC,∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.
又∵四边形ABCD为平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.
如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,且AE∥CD.CE∥AB,连接DE交AC于F.
(1)证明:
四边形ADCE是菱形;
(2)试判断BC与线段EF的关系,并说明理由.
图4
解:
(1)证明:
∵AE∥CD,EC∥AD,
∴四边形ADCE是平行四边形,
∵∠ACB=90°,BD=AD,∴CD=AD=BD,
∴四边形ADCE是菱形;
(2)结论:
BC∥EF,BC=2EF.
理由:
∵四边形ADCE是菱形,
∴DE⊥AC,DF=EF,
∴∠DFA=∠ACB=90°,∴DE∥BC,
∵BD=AD,∴CF=FA,∴BC=2DF=2EF.
已知:
如图5,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点,点F,G是边AC的三等分点,DF,EG的延长线相交于点H.
(1)求证:
四边形FBGH是平行四边形;
(2)如果AC平分∠BAH,求证:
四边形ABCH是菱形.
图5
变形4答图
证明:
(1)∵点F,G是边AC的三等分点,
∴AF=FG=GC.
又∵点D是边AB的中点,∴DH∥BG.
同理:
EH∥BF.
∴四边形FBGH是平行四边形;
(2)如答图,连接BH,交AC于点O.
∵四边形FBGH是平行四边形,
∴BO=HO,FO=GO.
又∵AF=FG=GC,
∴AF+FO=GC+GO.即AO=CO,
∴四边形ABCH是平行四边形,
∴AH∥BC,∴∠HAC=∠BCA,
∵AC平分∠BAH,∴∠HAC=∠BAC,
∴∠BAC=∠BCA,∴AB=BC.
又∵四边形ABCH是平行四边形,
∴四边形ABCH是菱形.
D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.
(1)如图6,当点O在△ABC的内部时,求证:
四边形DGFE是平行四边形;
(2)若四边形DGFE是菱形,则OA与BC应满足怎样的数量关系?
(直接写出答案,不需要说明理由)
图6
解:
(1)证明:
∵D,E分别是AB,AC边的中点,
∴DE∥BC,DE=
BC,同理,GF∥BC,GF=
BC,
∴DE∥GF且DE=GF,
∴四边形DGFE是平行四边形;
(2)若四边形DGFE是菱形,则OA=BC.
如图7,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC,分别与BC,CD交于点E,F,EH⊥AB于点H,连接FH.求证:
四边形CFHE是菱形.
图7
证明:
由题意知∠CAE+∠CEA=90°,∠EAH+∠AEH=90°,
又∵∠CAE=∠EAH,
∴∠CEA=∠AEH,
∵CD⊥AB,EH⊥AB,∴CD∥EH,
∴∠CFE=∠AEH,∴∠CFE=∠CEA,
∴CF=CE,
又∵点E在∠CAB的平分线上,∴CE=EH.
在四边形CFHE中,CF綊EH,CE=EH,
∴四边形CFHE是菱形.
如图8,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点.点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD的延长线于点N,连接MD,AN.
(1)求证:
四边形AMDN是平行四边形;
(2)填空:
①当AM的值为__1__时,四边形AMDN是矩形;
②当AM的值为__2__时,四边形AMDN是菱形.
图8
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴ND∥AM,∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME,
又∵点E是AD边的中点,∴DE=AE,
∴△NDE≌△MAE,∴ND=MA,
∴四边形AMDN是平行四边形;
(2)①当AM的值为1时,四边形AMDN是矩形.理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=2.
∵AM=1=AE,∠DAB=60°,
∴△AEM是正三角形,EM=1,
∴EM=ED,∠EDM=30°,
∵∠DAM=60°,∴∠AMD=90°,∴▱AMDN是矩形;
②当AM的值为2时,四边形AMDN是菱形.理由如下:
∵AM=2,∴AM=AD=2,
∵∠DAM=60°,∴△AMD是等边三角形,
∴AM=DM,∴▱AMDN是菱形.
[2018·安顺]如图9,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:
AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
图9
解:
(1)证明:
∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE.
在△FAE与△BDE中,
∴△FAE≌△BDE,∴AF=DB.
∵AD是BC边上的中线,∴DB=DC,∴AF=DC;
(2)四边形ADCF是菱形.
理由:
由
(1)知AF=DC,
又∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形,
∵AB⊥AC,∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°.
∵AD是BC边上的中线,∴AD=CD,∴四边形ADCF是菱形.
如图10,将等腰三角形ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度角到△A1BC1的位置,AB与A1C1相交于点D,AC与A1C1,BC1分别交于点E,F.
(1)求证:
△BCF≌△BA1D;
(2)当∠C=α时,判定四边形A1BCE的形状并说明理由.
图10
解:
(1)证明:
∵△ABC是等腰三角形,∴AB=BC,∠A=∠C,
由旋转的性质,得A1B=AB=BC,∠A=∠A1=∠C,∠A1BD=∠CBC1,
在△BCF与△BA1D中,
∴△BCF≌△BA1D(ASA);
(2)四边形A1BCE是菱形.理由:
由旋转的性质,得∠A1=∠A,
∵∠ADE=∠A1DB,∴∠AED=∠A1BD=α,
∴∠DEC=180°-α,即∠A1EC=180°-α,
∵∠C=α,∴∠A1=α,
∴∠A1BC=360°-∠A1-∠C-∠A1EC=180°-α,
∴∠A1=∠C,∠A1BC=∠A1EC,
∴四边形A1BCE是平行四边形,
又∵A1B=BC,∴四边形A1BCE是菱形.
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