人教版数学第二十七章相似第21讲相似三角形的综合应用.docx

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人教版数学第二十七章相似第21讲相似三角形的综合应用

第21讲　　相似三角形的综合应用

考点·方法·破译

1．能熟练运用三角形相似的判定定理证明三角形相似，并能把证角等、求边长、求比值、求面积等问题转化为相似问题；

2．能熟练运用相似的典型模型求解、证明；

3．能运用相似解决一些数学综合问题。

经典·考题·赏析

【例１】如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点Ｐ时，发现身后他影自得顶部刚好接触到路灯ＡＣ的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m,，则两路灯之间的距离是（　　）

A．24mB．25mC．28mD．30m

【解法指导】本题可利用平行比例求解

解：

设身高为h，由平行比例得

=

=

=

设AP=BQ=x,则

=

解得x=5，∴两路灯之间的距离AB＝20+5+5=30（m）.本题应选D

【变式题组】

1.如图

（1）是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD垂直BD，且测的AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（　　）

A．６米　　　B．８米　　　C．１８米　　　D．２４米

【例２】如图（２），一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了５个部分.①、②、③这三块的面积比依次为１：

４：

４１，那么，④、⑤这两块的面积比是（　　　）

A．3：

4B．9：

14C．4：

5D．9：

16

【解法指导】本题首先要找出④的直角边、⑤的宽与正方形边长的关系。

根据①②相似，先找出正方形边长与①的直角边的关系，最后以①的直角边为单位量，表示出正方形边长、④的直角边、⑤的宽，即可求解。

解法：

设①的直角边为k，可判定①,②相似。

由相似性质得②直角边为2k。

再设正方形的边长为x，可列方程为3k·x=42·（k·k÷2），解得x=7k。

所以⑤的宽为4k，④的直角边为6k，则④,⑤这两块的面积比是9：

14，选B.

【变式题组】

2．如图G是△ABC的重心（三边中线的交点），直线l过Ａ点与ＢＣ平行，若直线ＣG分别与AB、l交与D、E两点，直线BG与AC交与F点，则△AED面积：

四边形ADGF的面积为（　　　）

A．１：

２　　　　　　B．２：

１　　　　C．２：

３　　　D．３：

２

3.如图，点A1，A２，A３，A４在射线OA上，点B１，B２，B３，在射线OB上，且A1B1

∥A2B2∥A3B3,A2B1∥A3B2∥A4B3.若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为１，４，则图中三个阴影三角形面积之和为　　　　　　

4.图为△ABC与△DEC重迭的情形，其中Ｅ在BC上，AC交DE与F点，且AB∥DE，若△ABC与△DEC的面积相等，且EF＝９，AB＝１２，则DF＝（）

【例２】已知四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AE·AC，BD=8,求△ABD的面积。

【解法指导】由题设得AB2=AE·AC，∴AB：

AC=AE：

AB,又∠EAB=∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE=∠ACB,从而AB=AD，连接AO交BD于F，则BF=DF=1，连接OB，由勾股定理得AF=OA―OF=2，故S=

BD·AF=8，

【变式题组】

5.如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点D，且PB=4，PD=3,则AD×DC等于（）

A.6B.7C.12D.16

6.如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面４种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（　　　）

A.AD·BC=AB·BDB.AB2=AD·ACC.∠ABD=∠ACBD.AB·BC=AC·BD

【例3】如图，H、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BH=BQ，过B作HC的垂线，垂足为P，求证:

DP⊥PQ

【解法指导】根据条件BP⊥HC，只要证明∠DPC=∠BPQ即可，但本题从边角代换证角等无处下手，可考虑用相似证明。

解：

∵BP⊥HC∴∠BPH=∠CPB=90°,∴∠PCB+∠PBC=∠HBP+∠PBC=90°,∴∠HBP=∠BCP,∴△HBP∽△BCP,∴BP：

CP=HB：

HC,又∵BH=BQ,BC=CD∴BP：

CP=BQ：

CD,∵AB∥CD,∴∠DCP=∠BHP又∠BHP=∠QBP,∴∠DCP=∠QBP,∴△DCP∽△QBP,∴∠DPC=∠BPQ,又∠BPQ+∠CPQ=90°∴∠DPC+∠CPQ=90°,即DP⊥PQ

【变式题组】

7.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（）

A.

B.

C.

D.

8.已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5,EF=2，则FG的长是　　　

【例４】在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E、F分别在线段AD，DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y.（１）求y与x的函数表达式；（２）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

【解法指导】本题是“直线上架直角”相似模型的变式探究。

解：

（１）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，∴∠A＝∠D＝120°，∴∠AEB＋∠ABE＝180°－120°=60°，∵∠BEF=120°,∴∠AEB＋∠DEF＝180°－120°＝60°∴∠ABE＝∠DEF。

∴△ABE∽△DEF。

∴

=

∵AE=x,DF=y,∴

=

∴y与x的函数表达式是y=

·x·（6-x）=－

x2+x;

（2）∴y=－

x2+x=－

（x-3）2+

∴当x=3时,P有最大值，最大值为

．

【变式题组】

9.阅读理解：

如图１，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠Ｂ＝900,点P在边BC上，当∠APD=90°时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP·PC=AB·CD，解答下列问题：

（１）模型探究：

如图２，在四边形ABCD中，点P在ＢＣ上，当∠B=∠C=∠APD时,求证BP·PC=AB·CD

（２）拓展应用：

如图３，在四边形ABCD中，AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=600，AO⊥BC与于点O，以O为原点，以BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）

①当∠APD=600时，求点P的坐标；

②过点P作PE⊥PD，交y轴于点E，设OP=x，OE=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

演练巩固·反馈提高

1.如图，已知零件的外径为25mm,现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）量零件的内孔直径AB，若OC:

OA=1:

2，量得CD=10mm,则零件的厚度x=mm．

2.如图，在正三角形ABC中,D、E、F分别是BC,AC,AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（　　　）

A.1:

3B.2:

3C.

:

2D.

:

3

3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=900，AD=DC=4，AB=1,F为AD的中点，则点F到BC的距离是（　　）

A.2B.4C.8D.1

4.如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，P是BC边上的一点，作PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，设BP=x，则PD+PE=（）

A.

+3B.4－

C.

D.

-－

5.如图，直线AB经过⊙O上的点C，且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线AB于点E、D，连接EC、CD

（１）求证：

直线AB是⊙O的切线

（２）试猜想BC、BD、BE三者之间的等量关系，并加以证明；

（３）若⊙O半径为３，求OA的长

6.如图在平面直角坐标系中，直线y=－

x-12分别交x轴，y轴于Ａ，Ｂ两点，点Ｃ在x轴上，且△ABC∽△AOB

（１）求点C的坐标

（２）若点P从点A出发，以每秒１个单位的速度沿AB向B运动，同时点Q从点C出发，以每秒１个单位的速度沿CA向A运动，连结PQ，设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围

（３）在（２）的条件下，是否存在t的值，使以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

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1．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°,若AD=

AC，CE=

BC，则∠1与∠2的大小关系是（　　）

A.∠1＞∠2B.∠1＜∠2C.∠1=∠2D.无法确定

2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE交CB延长线于点E，则结论正确的是（　　）

A.△AED∽△ACDB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC

3．如图△ABC中,∠ABC=60°，点P是△ABC内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB=　　　　

4．如图，△ABC和△A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D，求证：

AA1⊥CC1

5．如图，设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，连结AP，它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，求证：

BP·PC=BM·CN

6.如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD是角平分线，DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC于点F，求证：

（1）四边形CEDF是正方形；

（2）CD2=2AE·BF

3、苍蝇落在竖直光滑的玻璃上，不但不滑落，而且还能在上面爬行，这和它脚的构造有关。

蟋蟀的耳朵在足的内侧。

蝴蝶的翅膀上布满彩色小鳞片，其实是扁平的细毛。

14、在太阳周围的八颗大行星，它们是水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星。

1、月相的变化有什么规律？

（P49）

25、意大利的科学家伽利略发明了望远镜，天文学家的“第三只眼”是天文望远镜，可以分为光学望远镜和射电望远镜两种。

7.如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。

答：

①利用微生物的作用，我们可以生产酒、醋、酸奶、馒头和面包等食品。

②土壤中的微生物可以分解动植物的尸体，使它们变成植物需要的营养素。

③在工业生产和医药卫生中也都离不开微生物。

18、建立自然保护区是保护生物多样性的有效方法，我国的九寨沟、长白山、四川卧龙等地都建立了自然保护区，自然保护区为物种的生存、繁衍提供了良好的场所。

14、大我数地区的自来水水源取自水库、湖泊或河流。

自来水是主要的饮用水，饮用水源受到污染，会直接影响我们的身体健康。

3、除了我们日常生活产生的家庭垃圾外，工厂、学校、医院、建筑工地等每天也在产生大量的垃圾。

19、细胞也是生物最基本的功能单位，生物的呼吸、消化、排泄、生长、发育、繁殖、遗传等生命活动都是通过细胞进行的。

6、二氧化碳气体有什么特点？

8．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE与BC交于点N，求证：

BN=CN