205 《等腰梯形的判定》教学设计华东师大版八年级下doc.docx
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205《等腰梯形的判定》教学设计华东师大版八年级下doc
20.5等腰梯形的判定教学设计
一、知识与技能
1.能说出和证明等腰梯形的判定定理.
2.能运用等腰梯形的判定定理进行有关的判定、论证和计算.
3.会画出符合条件的等腰梯形.
二、过程与方法
1.经历探究梯形的判定条件的过程,在简单的操作活动中发展学生的说理意识.
2.初步学会通过添加辅助线,把梯形问题转化成平行四边形、矩形、三角形来解决.
三、情感态度与价值观
1.通过探究活动,发展学生的说理意识,培养主动探究的习惯.
2.在解决梯形问题的过程中渗透转化思想.
教学重点梯形的判定及应用.
教学难点解决梯形问题的基本方法.
教具准备多媒体课件.
教学过程
一、创设问题情境,引入新课
师:
上节课,我们研究了梯形,并且研究了特殊的梯形──等腰梯形的概念及其性质,请同学们说出什么样的梯形是等腰梯形?
生:
两腰相等的梯形是等腰梯形.
师:
等腰梯形有什么性质?
生:
等腰梯形是特殊的梯形,所以它具有梯形的性质,它还具有下列一般梯形所不具备的性质.
同一底上的两个内角相等;对角线相等;是轴对称图形.
师:
下面请同学们来做一做(老师播放课件,学生进行画图、讨论、总结)在下图中的每个三角形中画一条线段.
(1)怎样画才能得到一个梯形?
(2)在哪些三角形中,能够得到一个等腰梯形呢?
生:
(1)因为梯形的上、下两底平行且不相等,所以只要在三角形的两边上各找一点,使这两点的连线平行于第三边即可得到梯形.
(2)第
(2)(3)个三角形中能够得到一个等腰梯形.在等腰三角形的两腰上分别找一点,使这两点的连线平行于等腰三角形的底边即可得到一个等腰梯形.
师:
说得太好了,这节课,我们就来探讨等腰梯形的判定.
二、讲授新课
师:
受刚才做图的启发:
只有等腰三角形才能得到等腰梯形.请同学们考虑下面的问题.
议一议:
“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”这个命题成立吗?
能否加以证明.
学生活动:
(通过想一想,试一试,议一议,做一做的小组活动,初步懂得添加辅助线的一般方法,学会将梯形问题转化为平行四边形、矩形、等腰三角形、直角三角形来处理)
证法一:
如下图延长BA、CD相交于点E.
∵∠B=∠C,(三角形中等角对等边)
∴BE=CE.
∵四边形ABCD是梯形,
∴AD∥BC.
∴∠EAD=∠B,∠EDA=∠C.
∴∠EAD=∠EDA.(三角形中等角对等边)
∴AE=DE.
∴BE-AE=CE-DE.
即AB=CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
证法二:
如下图将CD平移到AE位置,此时四边形AECD是平行四边形.
则AE∥CD且AE=CD,
∴∠AEB=∠C.
又∵∠B=∠C,
∴∠B=∠AEB.
∴AB=AE.(三角形等角对等边)
∴AB=CD,
因此梯形ABCD是等腰梯形.
证法三:
如下图
作梯形ABCD的高AE、DF分别交BC于E、F.
∵梯形上、下底平行,即AD∥BC,
∴AE=DF.(夹在平行线间的垂线段相等)
又∵∠AEB=∠DFC=90°,∠B=∠C,
∴△ABE≌△DCF.
∴AB=DC.
∴梯形ABCD是等腰梯形.
师:
通过活动,同学们的说理能力已有了很大提高.由此我们也得到等腰梯形的两种判定方法.
(1)两腰相等的梯形是等腰梯形.
(2)同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形.
应用举例:
【例2】如下图,梯形ABCD中,BC∥AD,DE∥AB.DE=DC,∠A=100°,求梯形其他三个内角的度数.
师生共析:
(1)梯形上、下底平行,可以由同旁内角互补求得∠B=80°.
(2)可想办法证明梯形ABCD是等腰梯形,从而解决∠C和∠ADC的问题.
解:
∵BC∥AD,DE∥AB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=DE.
又DE=DC,
∴AB=DC.
梯形ABCD是等腰梯形,
∴∠C=∠B=180°-∠A=80°,
∠D=∠A=100°.
补充题:
画一个等腰梯形,使它的上、下底分别为4cm和10cm,高为3cm.
分析:
假设等腰梯形ABCD已画出,如下图,作出高AE和DF,可证得Rt△ABE≌Rt△DCF,所以EF=AD=4cm,BE=CF=
(BC-EF)=3cm,AE=3cm.于是可先画出Rt△ABE,进而确定点C,过A作AD∥BC,使AD=4cm,可确定D,连结DC,即可确定等腰梯形ABCD.
画法:
(1)画Rt△ABE使∠AEB=90°,AE=3cm,BE=3cm.
(2)延长BE到C使BC=10cm.
(3)过A作AM∥BC,且使BC、AM在AB的同旁,在AM上截取AD=10cm.
(4)连结DC,则梯形ABCD就是所要画的等腰梯形.(如下图)
(还可以启发学生思考、讨论,得多种画法)
如左下图,平行移动一腰AB到DE,可在Rt△CDF中算出腰CD的长,CD=
=5(cm),因此可先画出等腰△DCE,从而画出等腰梯形ABCD;又如右下图利用等腰梯形轴对称图形,且对称轴是连结上、下两底中点的线段所在的直线.因此可以先画直角梯形ABEF,使EF=3cm,EF⊥BE,BE=6cm,AF=2cm,AF∥BE.然后利用轴对称性画出等腰梯形ABCD.
三、随堂练习
1.课本练习
(1)参看例1:
证法三.
(2)画法:
参看补充题.
腰长=
=5(cm).
周长=2×5+5+11=26(cm).
面积=
(5+11)×4=32(cm2).
2.补充练习.
(1)等腰梯形与等腰三角形有哪些联系?
答:
延长一个等腰梯形的两腰,可以得到一个等腰三角形;过一个等腰三角形腰上一点作底边的平行线,可以得到一个等腰梯形.
(2)有两个内角是70°的梯形一定是等腰梯形吗?
为什么?
答:
是等腰梯形,理由是:
这两个70°的内角的位置仅有三种可能:
①相邻:
顶点是同一条腰的两个端点.
②相邻:
顶点是同一底边的两个端点.
③相对.
当顶点是一条腰的两个端点时,两个角应该是互补的;两角相对时,可以推得此时的四边形是平行四边形.因此,这两个70°的内角只能是同一底上的两个内角,因此这个梯形是等腰梯形.
四、课时小结
(与学生共同梳理,总结梯形的判定方法及添加辅助线解决有关梯形问题常用方法.同时演示课件,让学生加深理解并记忆).
等腰梯形的判定方法:
(1)两腰相等(定义)
(2)同底上的两个角相等(判定定理)
梯形的画法:
画出符合条件的梯形,通常先要“分析”,借助辅助线找出可以画出的部分图形(等腰三角形,直角三角形等)
梯形中常用的四种辅助线的添法(如下图):
五、课后作业
习题
板书设计
20.5等腰梯形的判定
1.等腰梯形的判定方法
(1)两腰相等的梯形是等腰梯形.
(2)同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形.
2.应用举例
例2
补充题:
画法一、画法二、画法三.
3.随堂练习
4.小结
5.作业习题
活动与探究
如下图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A点开始沿AD边以1cm/s的速度向D运动,动点Q从C点开始沿CB边以3cm/s的速度向B运动,P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到端点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为ts,t分别为何值时,四边形PQCD是平行四边形,等腰梯形?
过程:
这是一个探索性的题,题中涉及了平行四边形的判定,等腰梯形的性质及判定,让学生在充分理解题的情况下,进行探讨.
结果:
解:
∵AD∥BC,
∴只要PD=CQ,四边形PQCD是平行四边形.
这时,根据题意有
24-t=3t,解得t=6(s).
同理可知:
只要PQ=CD,PD≠CQ四边形PQCD是等腰梯形.
过P、D分别作BC的垂线,交BC于点E、F,则四边形PEFD是矩形,△PQE≌△DCF.
∴PD=EF,CF=QE=2.
∴24-t=3t-2×2,解得t=7(s).
因此,t为6时,四边形PQCD是平行四边形,t为7时,四边形PQCD是等腰梯形.
习题详解
习题19.3
1.解:
FC=
(BC-AD)=
(4-2)=1,
DC=
.
四边形ADEB是平行四边形
AD=DE=6,AD=BE=5.
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AB=CD=6.
EC=BC-BE=8-5=3.
∴△CDE的周长为6+6+3=15.
3.证明:
∵四边形ABCD是梯形.
∴AD∥BC,
∴∠A与∠B互补,
∵∠A与∠C互补,
∴∠B=∠C.
∴梯形ABCD是等腰梯形.
4.解:
S横截面=
×20×1.5+
(2.65+1.5)×(40-20)+2.65(60-40)+(2.65+1.9)(80-60)+
(100-80)×1.9=174(m).
∠C+∠AEC=180°
四边形AECD是平行四边形
AD=EC,AE=CD.
△ABE的周长=梯形ABCD的周长-2AD=29-2×5=19.
6.证明:
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AD∥BC,∠B=∠DCB.
∴∠CDE=∠DCB.
∵CD=CE,
∴∠E=∠CDE.
∴∠B=∠E.
7.证明:
AD∥BC
△ABM≌△DCM
AB=CD
梯形ABCD是等腰梯形.
8.6个等腰梯形.
9.解:
EF=
(AD+BC),
平移CD到AM,交EF于点N,
则四边形ADCM是平行四边形,且N是MA的中点.
∴EN是△ABM的中位线.
∴EN=
BM,
EF=
BM+FN=
BM+
(AD+NC)
=
(AD+BC).
Rt△ODA≌Rt△OEC
∠DAO=∠ECO,DO=EO
∠ADE=∠CED,
同理可证∠DAC=∠ECA.
又∵四边形内角和为360°,
∠DAC+∠ADE=180°.
∴DE∥AC.
又∵AD
EC.
∴四边形ADEC是梯形.
又AD=EC,
∴四边形ACED是等腰梯形.
梯形的高h=
.
备课资料
一、求梯形的面积
1.在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=5,BC=9,∠B=60°,求AB的长和梯形ABCD的面积.
2.已知在梯形ABCD中AD∥BC,BC=BD,AD=AB=4cm,∠A=120°,求梯形ABCD的面积.
1.答案:
AB=4S梯形ABCD=14
.
BD=4
,
∴BC=BD=4
(cm).
∵四边形ABCD是梯形,且AD∥BC,
∴∠B=180°-∠A=60°,
又AB=4.
∴梯形的高h=2
.
∴S梯形ABCD=
(AD+BC)·h=
(4+4
)·2
=12+4
(cm)2.
二、梯形中常见的辅助线做法
- 配套讲稿:
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