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足球生产计划论文
B题:
生产计划安排
摘要:
本文讨论了B题给出的足球生产计划问题。
首先我们充分分析了题意,建立了足球生产计划的优化模型。
其次,该模型的求解我们采用了LINGO数学软件对求解的结果进行了检验以确保其正确性。
作为一个企业的生产者或者供应商,在企业经营中追求的总是最大化利益,这从另一个层面上来讲就是在满足客户要求的前提下尽最大可能减小成本,结合本题,我们要考虑生产足球所带来的生产成本,又得满足客户的需求量下,必定会有库存量,库存量会带来储存成本,在生产成本与储存成本之间需要找到一个平衡,而储存率正是把生产成本与储存成本连接起来,要使得总成本最优化,储存率就得找一个最优值,找一个符合公司本身的生产计划。
针对于选题B的问题二、三,我们将从储存率的改变来寻找问题的求解方式。
对于问题一,在按满足需求量的条件下,使生产总成本和储存成本最小化的生产计划中,我们通过确定目标函数,寻找约束条件,建立了线性规划模型,并用生产计划模型和目标规划进行了检验。
对于问题二和问题三,我们采用了列表法,通过改变储存率降低时会出现的值一一列举出来,得到相应的生产计划,发现当储存率改变时有规律:
持有成本率a在0.007到0.008之间时,第五个月的产量x5由30000个变为25000个,第六个月的产量x6由5000个变到10000个;第五个月的库存量y5由5000个变为0个,其他不变;当持有成本率a在0.003到0.004之间时,第一个月的产量x1由10000个变为5000个,第二个月的产量x2由15000个变为20000个,y1由5000个变为0个,其他不变。
在这两个问题的讨论中忽略了产品风险等一些次要因素的影响,可以认为是一个理想模型,也为模型在实际运用中带来了一些问题,这个就是需要修正的部分。
在本文的最后,我们对模型进行了报告优势分析,模型结果分析,模型的误差分析,模型的改进分析及模型的推广,使模型逐渐趋向于完善,同时对模型进行了几方面的改进,还提出了几点宝贵的改进意见,论证严密,逻辑性强,并将它推广应用于实际中,使我们对实际数据的处理结果与实际经验尽量吻合。
关键词:
线性规划;最优化求解;Lingo数学软件;成本最小。
一、问题综述
1.1问题的描述:
某皮革公司生产足球,它必须确定每个月生产多少足球。
该公司决定以6个月为一个规划周期;根据市场调查,今后6个月的预计需求量分别是10,000、15,000、30,000、35,000、25,000和10,000.该公司希望按时满足这些需求量。
它目前的存货是5,000,该公司可以用该月的生产量来满足该月的需求量(公司有一整个月的时间来生产,而需求则在月底发生);在每个月中,该公司的最大产量是30,000个足球,而公司在扣掉需求后,月底的库存量最多只能储存5000个足球。
预测今后六个月的足球的生产单位成本分别是$12.50、$12.55、$12.70、$12.80、$12.85和$12.95;而每一个足球在每个月中的持有成本是该月生产成本的5%。
(这个成本包含了库存的成本和将货物搁置在仓库的成本。
)而足球的销售金额和这次的生产决策无关,因为不管销售的金额为何,该公司都打算尽可能满足顾客的需求,因此该公司希望确定使生产总成本和储存成本最低的生产计划。
建立数学模型,并求出按时满足需求量的条件下,使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。
如果储存成本率降低,生产计划会怎样变化?
储存成本率是多少时?
储存容量达到极限。
1.2简化问题:
问题一:
求出按时满足需求量的条件下,使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。
问题二:
如果储存成本率降低,生产计划会怎样变化?
问题三:
储存成本率是多少时?
储存容量达到极限。
二、问题分析
通过分析题目的已知条件和题设,我们找到我们要解决的是足球生产计划投资最少的问题,分析易知这是个典型的线性规划问题
(1),通过
(1)我们找到线性规划解题的基本步骤:
第一步,找目标函数;第二步,找约束条件;第三步,对规划函数进行求解。
分析后,我们尝试找到总成本与产量的目标函数,建立关于按时满足需求量的条件下,使生产总成本和储存成本达到最小的数学模型。
其次是我们需要对约束条件的寻找,通过分析题中已知条件建立表格,找到约束条件,考虑题设的中给定的因素我们确定了目标函数,最终通过计算机软件对规划模型进行最优求解。
问题一:
是要在满足客户要求下确定每个月生产额定需求足球,从而使生产总成本和储存总成本达到最小化的生产方式,我们考虑以6个月为一个生产周期,同时考虑到每个月的最大生产量和预计需求以及储存最大量的约束,制定一个最优化的生产计划使生产总成本和储存成本最小化的方案。
在这个过程中可能会有总成本与储存成本之间的求和问题,因此我们决定先用线性规划来解决我们的约束条件中需要找到的一个平衡点,从而确定最后的总成本。
通过分析条件中的数据我们作出如下图形以作讨论:
通过对数据的分析,我们来讨论约束条件。
第四个月达到了35000达到了每个月的最大生产限额,即第四个月必须要生产30000,前一个月(第三个月)必须要有5000的库存量,同时考虑第三个月的预计需求量为30000,故第三个的产量必须为30000;由此往前推,我们得出了第二个月的生产量和库存量的范围分别为:
15000至20000之间,5000;第一个月的生产量和库存量的范围分别为:
5000至10000,0到5000;同样的以第四个月为基准分析得到:
第四个月的库存为0,第五个月的生产量在25000到30000之间,库存量在0到5000之间,第六个月的生产量在0到10000,库存量为0;
问题二:
每个月的库存量是上个月满足生产要求后的剩余量,而每月的持有成本又与生产成本与数量有关,这将直接影响储存率,要使得储存成本的降低,生产成本需降低,而为了使公司获利且满足客户需求,所以要将生产计划改变。
问题三:
问题三的数值涉及到最大值,因此我们将通过列表的方法先整体分析数据,然后逐一分析,找出问题中的储存容量的极限。
三、基本假设
3.1、题设部分:
1、假设足球的销售金额和这次的生产决策无关
3.2、作出假设:
1、假设第三、四月份的生产量确定为30000个;
2、假设第二个月和第三个月的库存为5000个,第四个月和最后一个月月末的库存为0;
3、不考虑隔月传递库存的足球,本月库存只分给下月销售,下月不够部分由生产量补足;
4、假设六个月内其他风险因素不会影响生产;
5、在一个周期六个月内,在每个月每个足球的生产成本保持稳定不变;
四、定义符号
每月库存量:
;每月储存成本率:
a;每月需求量:
n;每月生产费用:
f;每月储存成本:
e;每月单位生产成本:
;
每月单位储存成本:
b;每月产量:
;每月总成本:
;
六个月生产和储存成本:
W;
五、模型的建立
5.1问题一模型的建立:
问题一要求设计一种生产计划,按时满足需求量的条件下,使生产总成本和储存成本达到最小。
设今后六个月分别是1月,2月,3月,4月,5月,6月,根据题意中的已知数据(如单位生产成本、预计需求量和最大生产量等等)绘制成以下表格,再把具体数据对应填入表1中。
表1每月各项数据
月份
一
二
三
四
五
六
预计需求量n(万个)
1
1.5
3
3.5
2.5
1
单个足球生产成本
($)
12.5
12.55
12.7
12.8
12.85
12.95
单个足球持有成本b($)
0.625
0.6275
0.635
0.64
0.6425
0.6475
生产量
(万个/月)
0.5≤x1≤1
1.5≤x2≤2
x3=3
x4=3
2.5≤x5≤3
0.5≤x6≤1
库存量
(万个)
0≤y1≤0.5
y2=0.5
y3=0.5
y4=0
0≤y5≤0.5
y6=0
每个月的生产成本为:
f=
*
;i=[1,6]
每月单个足球储存成本为:
b=a*
;i=[1,6]
每月的储存成本为:
e=b*(
+
);i=[1,6]
每月的总成本为:
=f+e;i=[1,6]
六个月的总成本:
W=
;
约束条件:
0≤x1≤3
0≤x2≤3
x4=3
x5=3
0≤x5≤3
0≤x6≤3
0≤y1≤3
y2=0.5
y3=0.5
y4=0
0≤y5≤3
y6=0;
目标函数:
W=
5.2、模型的求解:
线性规划模型,求解线性规划问题一般采用单纯形方法,单纯形方法是解决线性规划问题的一个很有效的方法,它并不是在所有的可行解中找最优解,而是在有限的一些特殊解、基本可行解中寻找最优解——基本最优解。
基本可行解有个限制是要在图形中寻找可行解,但如果手工作图必然出现误差,且我们受到软件限制,故放弃作图寻找可行解这一平衡点的方法,而是采用lingo软件对数据和约束条件的分析,寻找出可行解中的数据联系。
最终求解模型。
在编辑窗口中输入如下模型:
模型在Lingo中的运行结果为:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
1535562.
Objectivebound:
1535562.
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
A0.5000000E-010.000000
X15000.00012.50000
X220000.0012.55000
X330000.000.000000
X430000.000.000000
X525000.0012.85000
X610000.0012.95000
Y10.0000000.6250000
Y25000.0000.000000
Y35000.0000.000000
Y40.0000000.000000
Y50.0000000.6425000
Y60.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
11535562.-1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
85000.0000.000000
90.000000-0.6274996
100.000000-0.6350002
110.000000-0.6400003
125000.0000.000000
130.000000-0.6475000
140.0000000.000000
155000.0000.000000
165000.0000.000000
170.0000000.000000
180.000000-12.70000
190.000000-12.80000
200.0000000.000000
215000.0000.000000
225000.0000.000000
230.0000000.000000
由上可知,使该厂全年生产(包括存储、维护)费用最小的决策是:
第一个月生产5000个足球,仓库不储存足球;第二个月生产20000个足球,仓库储存5000个足球;第三个月生产30000个足球,仓库储存5000个足球;第四个月度生产30000个足球仓库不储存足球;第五个月生产25000个足球,仓库不储存足球;第六个月生产10000个足球,仓库不储存足球;
通过对模型求解得到生产总成本和储存总成本最低为1535562元。
问题二:
如果储存成本率降低,生产计划会怎样变化?
在满足需求量和降低储存成本的前提下,如果储存成本率降低,生产计划的变化用LINGO软件计算得到下面的表格。
a
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0.050
5000
20000
30000
30000
25000
10000
0.045
5000
20000
30000
30000
25000
10000
0.040
5000
20000
30000
30000
25000
10000
0.035
5000
20000
30000
30000
25000
10000
0.030
5000
20000
30000
30000
25000
10000
0.025
5000
20000
30000
30000
25000
10000
0.020
5000
20000
30000
30000
25000
10000
0.015
5000
20000
30000
30000
25000
10000
0.010
5000
20000
30000
30000
25000
10000
0.009
5000
20000
30000
30000
25000
10000
0.008
5000
20000
30000
30000
25000
10000
0.007
5000
20000
30000
30000
30000
5000
0.006
5000
20000
30000
30000
30000
5000
0.005
5000
20000
30000
30000
30000
5000
0.004
5000
20000
30000
30000
30000
5000
0.003
10000
15000
30000
30000
30000
5000
0.002
10000
15000
30000
30000
30000
5000
0.001
10000
15000
30000
30000
30000
5000
0.000
10000
15000
30000
30000
30000
5000
表2
由表一可以看出,当储存成本率在0.008到0.05之间时,生产计划保持第一个月x1=5000,第二个月x2=20000,第三个月x3=30000,第四个月x4=30000,第五个月x5=25000,第六个月x6=10000不变。
当储存成本率在0.004到0.007之间每隔0.001变化时时,生产计划保持相对稳定。
当储存成本率为0到0.003之间时,生产计划中的生产量同样保持不变。
在0—0.05之间的三个数据段内,生产计划会出现三个不停的平衡状态。
(具体各个月份的生产计划详见表2)
问题三:
储存成本率是多少时?
储存容量达到极限。
在满足需求量和降低储存成本的前提下,如果储存成本率降低,储存容量的变化用LINGO软件计算得到下面的表格。
a
y1
y2
y3
y4
y5
y6
0.050
0
5000
5000
0
0
0
0.045
0
5000
5000
0
0
0
0.040
0
5000
5000
0
0
0
0.035
0
5000
5000
0
0
0
0.030
0
5000
5000
0
0
0
0.025
0
5000
5000
0
0
0
0.020
0
5000
5000
0
0
0
0.015
0
5000
5000
0
0
0
0.010
0
5000
5000
0
0
0
0.009
0
5000
5000
0
0
0
0.008
0
5000
5000
0
0
0
0.007
0
5000
5000
0
5000
0
0.006
0
5000
5000
0
5000
0
0.005
0
5000
5000
0
5000
0
0.004
0
5000
5000
0
5000
0
0.003
5000
5000
5000
0
5000
0
0.002
5000
5000
5000
0
5000
0
0.001
5000
5000
5000
0
5000
0
0.000
5000
5000
5000
0
5000
0
表3
由表二可以看出,当储存成本率大于等于0.008且小于等于0.05时,储存容量保持5000+5000=10000不变。
当储存成本率介于0.004到0.007之间时时,储存量总量为:
5000+5000+5000=15000,大于0.008到0.005之间的储存总量10000。
当储存成本率为0到0.003时,储存容量达到最大,为:
5000*4=20000。
(具体各个月份的储存容量详见表3)
六、结果分析
对于一采用的线性规划,建立了数学模型,需要确定目标函数中的目标值W,每月产量等,具有一定的主观性与模糊性,随着主观者的决策不同而不同。
我们对模型的求解运用lingo软件。
对于问题二和三,我们用了列表法解决,储存率降低时会出现的值一一列举出来,得到相应的生产计划,发现规律:
持有成本率a在0.007到0.008之间时,x5由30000变为25000,x6由5000变到10000;y5由5000变为0,其他不变;在0.003到0.004之间时,x1由10000变为5000,x2由15000变为20000,y1由5000变为0,其他不变。
在此讨论中忽略了一些次要因素的影响。
因此,模型各量的取值将直接影响模型结果的稳定性和精确性。
变量的选取,取值的不稳定性,都影响着最终结果的判定。
用不同的数值方法会得不同的结果。
七、问题一模型检验
模型检验本次生产计划根据目标函数W=
得出第一个月生产5000个足球,仓库不储存足球;第二个月生产20000个足球,仓库储存5000个足球;第三个月生产30000个足球,仓库储存5000个足球;第四个月度生产30000个足球仓库不储存足球;第五个月生产25000个足球,仓库不储存足球;第六个月生产10000个足球,仓库不储存足球。
第一个月产量:
5000;
第二个月产量:
20000;
第三个月产量:
30000;
第四个月产量:
30000;
第五个月产量:
25000;
第六个月产量:
10000;
第一个月的库存量:
0≤5000;
第二个月的库存量:
5000≤5000;
第三个月的库存量:
5000≤5000;
第四个月的库存量:
0≤5000;
第五个月的库存量:
0≤5000;
第六个月的库存量:
0≤5000;
有检验结果可知,模型求解的结果满足题中的约束条件。
因此,按此方案生产该公司在一个规划周期的生产总成本和储存总成本最低为1535562元。
八、模型评价与改进
8.1、论文模型的优势:
在我国市场经济的情况下,无论国企还是私企都在不断的发展,在企业生产上都无一不面临利益最大化,成本最小化的问题,对于此类问题,我们大部分可以考虑线性规划的知识;
我们的论文模型通过运用线性规划的知识,将现实企业中的问题抽象为模型,本文以足球生产成本最小化为例,我们的模型算法总体上较为简单,只运用了几个公式,便于理解;同样,我们的模型准确性高,利用统计,画图,列表等综合方式分析可以求得结果;虽然受到一定的条件制约,但是同样能客观反映公司所希冀的生产成本最小化的的要求,减少主观误差。
在计算过程中,数据分析和计算量都比较繁琐,但是我们所运用的lingo软件应用线性规划和整数规划,高效的解决复杂的线性规划和整数规划的问题并且具有高精度的数据。
对于问题二、问题三我们运用lingo软件,通过改变储存率a,得到一系列的数据,通过数据列表一一列出了储存率和生产计划、储存计划的关系。
简单易懂,方便查阅适合在公司或工厂中进行数据变更的参考.
8.2本题建立的模型的优点
(1)为便于分析问题,模型简化了生产、需求和存储的关系,省去了生产时间、存储时间和需求时间三者之间的复杂关系;
(2)在需求方面,优先考虑上周剩余量的使用,省去了产品长时间积压带来的一些问题;
(3)忽略了一些市场因素的影响,例如我们假设中的各个量在一个周期中每个月是稳定不变的,这就省去了修正各个量的步骤,使模型简单易求。
(4)采用列表法,得到的结果肯定是正确的;列举算法的思路简单,程序编写和调试方便。
(5)本文在正确,清楚地分析了题意的基础上,建立了科学,合理的生产计划模型,为求储存率做准备。
(6)对模型中的生产量,储存成本,生产成本进行了量化分析,使的文章跟具说服力。
(7)论文中的Lingo软件的程序和运行结果的附录使数据的使用性得到充分肯定。
8.3本文建立的模型的缺点
(1)在模型中生产、需求和存储的关系过于简单,与实际生产有所出入,比如生产需要一定的时间来完成,生产时间拉的越长,存储与需求的关系越复杂,从而导致存储和生产的费用变化;
(2)在实际中往往会遇到诸如竞争、供求关系的影响,而在模型中忽略了这类市场风险的影响,从而使所得的结果并不能很好的反映实际情况。
(3)我们3.2中的第2个假设最后一个月月末的库存为零,不符合实际,太过理想化。
而且,在实际生产与销售中,会受到各种各样的风险因素与竞争压力。
(4)规划模型中的约束条件太过于简单,没能全方面考虑到各个要素,如忽视了销售价格对于生产计划的影响。
如果市场上,供过于求,公司不得不在价格做出让步,以求得商品的销售,这时,并非生产的越多越好,生产的成本直接会降低一个公司的利润。
(5)论文中的假设部分有些理想化,而且本论文基于不考虑利润而只考虑最低成本和满足客户要求,在实际中很难实现。
8.4模型的改进
以上的模型是在给定一些假设,诸如每个月的单位生产成本不变;足球的销售金额和这次的生产决策无关等,这是对实际的抽象简化与实际情况并不完全相符。
为了使模型在现实中得到应用,我们可以对模型进行改进。
在模型中我们假设中并没有考虑销售金额及其他风险因素的影响,所以我们在实际运用的时候应该考虑销售金额,市场竞争力,客户无法履行合同等种种风险,修改模型,从而达到最大的利润。
九、模型推广
本模型是一个典型的线性规划模型,用来求解最优目标函数值问题。
此类问题很多,也有很多的推广应用价值。
优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。
如设计师要在满足强度要求下选择材料的尺寸,使结构总重量最轻;公司经理要根据生产成本和市场要求下确定产品价格,使所获利润最高;投资者要选择一些股票、债券“下注”,使收益最大,而风险最小等。
(2)
这种用数学建模的方法来处理优化问题,即建立和求解所谓优化模型。
虽然由于建模时要做适当的简化,可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优,但是它基于客观规律和数据,又不需要多大的费用。
如果在建模的基础上再辅之以适当的经验和试验,就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。
参考文献:
《数学模型》(第四版)姜启源谢金星叶俊编;
注:
(1)参考《数学模型》第四版72页“生产者的决策”内容。
(2)
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